Математика

МАТЕМАТИКА

Ю.М. ДАНИЛОВ 
Л.Н. ЖУРБЕНКО 
Г.А. НИКОНОВА 
Н.В. НИКОНОВА 
С.Н. НУРИЕВА

Под редакцией 
Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой

Допущено
Министерством образования и науки Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по техническим специальностям

Москва
ИНФРА-М
2022

Министерство образования и науки Российской Федерации
Казанский государственный технологический университет

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
 
М34

 
М34  
Математика : учебное пособие / Ю.М. Данилов, Л.Н. Журбенко, 
Г.А. Никонова, Н.В. Никонова, С.Н. Нуриева ; под ред. Л.Н. Журбенко, 
Г.А. Никоновой. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 496 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-010118-7 (print)
ISBN 978-5-16-102130-9 (online)
Учебное пособие для студентов технических высших учебных заведений, обучающихся по программе бакалавров в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего 
образования.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

Р е ц е н з е н т ы:
Гурьянов Н.Г., доктор физико-математических наук, профессор, 
заведующий кафедрой общей математики Курского государственного 
университета;
Кац Б.А., доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Красноярской государственной архитектурно-строительной академии;
Гараев К.Г., заслуженный работник высшего образования РФ, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой специальной математики Калининградского государственного 
технического университета

ISBN 978-5-16-010118-7 (print)
ISBN 978-5-16-102130-9 (online)

© Данилов  Ю.М., Журбенко Л.Н., 
Никонова Г.А., Никонова Н.В., 
Нуриева С.Н., 2006

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Подписано в печать 21.07.2018. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 31,0.
Доп. тираж 120 экз. 
ТК 73850-989799-260106

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ПРЕДИСЛОВИЕ

В учебном пособии представлен материал, позволяющий студенту получить тот объем знаний, который соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования для бакалавров технического направления.
Основной принцип, который использован авторами при написании учебного пособия, можно сформулировать так: учебное
пособие должно выступать в роли «организатора» систематической познавательной деятельности  студента, «компаса в море»
учебной информации, накопленной человечеством.
При отборе материала для включения в учебное пособие авторы придерживались условия минимальности объема при достаточности информации, содержащейся в нем. Весь материал разбит на
четыре части, 13 глав. Первые две части изучаются в течение первого года, третья и четвертая части — в течение второго года обучения в вузе. Материал рассчитан на объем 250–300 аудиторных
часов. Авторы придерживаются принципов модульной технологии
обучения, главы являются теоретической частью обучающих модулей, а их разделы — подмодулями (законченными по своему содержанию информационными дозами). Каждый подмодуль снабжен помещенным в его начале опорным конспектом, который отражает в сжатой форме основной смысл подмодуля и содержит
необходимые сведения для практического применения материала подмодуля. Опорные конспекты позволяют получить целостное представление о содержании всего модуля, если читатель возвращается к ним после изучения соответствующего подмодуля и
затем всего модуля. Применение опорных конспектов позволило
также, по мнению авторов, более компактно и удобно для запоминания преподнести материал подмодулей. Предусмотрено рас

ширение объема подмодулей за счет отсылок к доступным библиографическим источникам.
Основу учебного пособия составляет математический анализ
(главы 2—4, 6, 8, 10) и его прикладные вопросы (главы 7, 9, 11).
Первая глава посвящена линейной алгебре и аналитической геометрии и может излагаться в первом семестре параллельно дифференциальному исчислению. Понятия комплексных чисел,
функций комплексных переменных даются в главе 5 второй части перед изложением интегрального исчисления. Теория вероятностей и математическая статистика содержатся в главе 12 четвертой части.
Авторы при изложении материала придерживались дидактического принципа «от простого к сложному». Так, в подмодуле 2 изучение векторов начинается с пространств R2, R3, с которыми студенты знакомились в школе, а затем переходит к пространству Rn.
Понятия прямой и плоскости (подмодуль 3) также переносятся на
пространство Rn. Следует отметить, что аналитическая геометрия
дается как приложение векторной алгебры, и прямая на плоскости,
в основном, — как частный случай прямой и плоскости в пространстве. Это позволило объединить данные подмодули в один модуль.
Изложение дифференциального исчисления (главы 3, 4), интегрального исчисления (главы 6, 8, 9) и дифференциальных уравнений (главы 7, 11) построено на переходе от одной переменной к
нескольким переменным. В теории вероятностей (глава 12) рассматриваются сначала одномерные, а затем многомерные случайные
величины. В главе 6 после изучения интеграла Римана приводятся
его обобщения — интегралы Римана–Стилтьеса и Лебега.
Авторы стремились вводить математические понятия не формально, а предварительно рассматривая приводящие к ним физические и геометрические задачи или давая приложения введенных
понятий. Рассматривается применение математических методов в
математическом моделировании.
Пособие содержит необходимое количество задач и упражнений, позволяющих читателю получить навыки правильного использования изученного материала и иллюстрирующих связь математики с другими дисциплинами.
В подборе материала главы 12 принимал участие доцент
Н.К. Нуриев, в подготовке учебного пособия к изданию — доцент
О.М. Дегтярева. Авторы выражают им свою глубокую благодарность.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Ы
—
равносильность (эквивалентность)
Щ
—
и (конъюнкция)
Ъ
—
или (дизъюнкция)
"
—
любой
$
—
существует
$!
—
существует и единственно
$
—
не существует
Ю
—
следует
:
—
такое что
®
—
стремится выполнять равенство
-—
параллельны и одинаково направлены
-Ї
—
параллельны и противоположно направлены
^
—
перпендикулярность
D, det —
определитель
Ґ
—
бесконечность, бесконечное множество
N, Z, Q, R, C — множества натуральных, целых, рациональных,
действительных, комплексных чисел соответственно
Rn
—
n-мерное векторное пространство с положительными
значениями элементов
R+
—
множество неотрицательных действительных чисел
є
—
тождественно
~
—
эквивалентно
М
—
включает
Н
—
включает или равно
О
—
принадлежит
П
—
не принадлежит
Ж
—
пустое множество
И
—
объединение множеств
З
—
пересечение множеств
\
—
разность множеств
—
отображение множеств, соответствие
—
взаимно-однозначное соответствие

®
g
g
«
g
g

О: ...
—
определение
Т: ...n —
теорема
Л: ...u —
лемма
q
—
начало доказательства
x
—
конец доказательства
—
начало решения
—
конец решения
т.
—
точка
гмт
—
геометрическое место точек
10
—
свойство 1
[ ]
—
целая часть числа
{ }
—
дробная часть числа, элементы множества
неопределенность
—
все значения от 1 до n
б.м.
—
бесконечно малая функция
б.б.
—
бесконечно большая функция
э.
—
экстремум
a = о(b)—
б.м. более высокого порядка малости по сравнению с b
D( f )
—
область определения функции
E( f )
—
область допустимых значений функции

Ud(a)
—
дельта-окрестность т. а, 
d
d
a = 
a \ a
U ( ) 
U ( ) { }

C[X]
—
класс функций, непрерывных на множестве Х

C[a,b]
—
класс функций, непрерывных на отрезке 
%
a b
[ , ]

М
—
наибольшее значение функции на множестве
m
—
наименьшее значение функции на множестве
f°j
—
суперпозиция функций f и j
т.р.
—
точка разрыва
т.п.
—
точка перегиба

Z
—
возрастает

]
—
убывает
З
—
выпуклый вверх (выпуклый)
И
—
выпуклый вниз (вогнутый)
l
—
диаметр ограниченной фигуры (тела)
Re
—
действительная часть числа
S
—
 сумма
!
—
факториал
grad U
—
градиент скалярного поля U
div ra
—
дивергенция векторного поля ra

n
1,

$

Излагаются основные вопросы теории определителей, матриц, систем линейных уравнений, векторной алгебры, линейных
операторов, квадратичных форм. Включены основные сведения
о прямой и плоскости, кривых и поверхностях II порядка. Излагается дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Глава 1

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Опорный конспект № 1

1.1. Определители, их свойства

11
12

21
22

a
a
A
a
a
= ж
ц
з
ч
и
ш  — квадратная матрица II порядка

11
12
11 22
21 12
21
22
det
a
a
A
a a
a a
a
a
D є
=
=
 — определитель II порядка

11
12
13
22
23
21
23
21
22
21
22
23
11
12
13
32
33
31
33
31
32
31
32
33

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

D =
=
+
 —

определитель III порядка

Часть 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ

Свойства:
10.
Транспонирование
20.
Разложение по "  ряду: det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3,

Aij = (-1)i + j Mij — алгебраическое дополнение;
Mij — минор элемента aij
30.
Перестановка двух строк (столбцов) Ю смена знака D
40.
Условия равенства D = 0
50.
Вынесение общего множителя ряда за знак D
60.
Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца),
умноженной на число k № 0, не меняет D

1.2. Системы линейных уравнений. Методы Гаусса
и Крамера

1
, 
1,

n

ij
j
i
j
a x
b
i
m

=
=
=
е

совместная
несовместная

определенная
неопределенная
($! решение)
(Ґ много решений)

Метод Гаусса — последовательное исключение неизвестных
Расширенная матрица

(
) =

ж
ц
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
и
ш

11
12
1
1

21
22
2
2

1
2

...

...

...
...
...
...
...

...

n

n

m
m
mn
m

a
a
a
b

a
a
a
b
A B

a
a
a
b

|

~ матрице ступенчатого вида,

число ее ненулевых строк = rаng(AЅB).

Формулы Крамера:   m = n,

D
D є
=
№
=
=
D

11
12
1

21
22
2

1
2

...

...
det 
0,
,
1,
...
...
...
...

...

n

j
n
j

n
n
nn

a
a
a

a
a
a
A
x
j
n

a
a
a

Dj получается из D заменой j-го столбца столбцом свободных
членов.

1.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения
СЛАУ

(
),
(
),
1,
,
1, ,
ij
ij
ij
ij
A
a
B
b
i
m
j
n
A
B
a
b
=
=
=
=
=
Ы
=

Сложение матриц:  С = А + В = (аij + bij)
Умножение матрицы на число m:  В = mА = (m аij)
Умножение матриц:  А — размерности m ґ p, В — размерности p ґ n

1 1
2 2
(
...
),
i
j
i
j
ip pj
C
A B
a b
a b
a b
=
Ч
=
+
+
+

1,
,
1, ,
(
)
i
m
j
n
AB
BA
=
=
№

=
=
Ю
=
=
ж
ц
з
ч
з
ч
з
ч
и
ш

100...0

 = 010...0 ,
(
), ,
1,

000...1

ij
E
A
a
i j
n
AE
EA
A

1
1
1,
— обратная к
(
),
,
ij
A
j
n
AA
E
A
a
i
=
Ы
=
=

Т:   
1
1,
(
),
,
,
det
0
ij
j
n
A
a
i
A
A=
=
№
Ы $

- =

ж
ц
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
и
ш

11
21
1

12
22
2
1

1
2

...

...
1
;
...
...
...
...
det

...

n

n

n
n
nn

A
A
A

A
A
A
A
A

A
A
A

Aij — алгебраическое дополнение аij n

Матричная форма записи СЛАУ:

,
(
),
,
1, ,
ij
AX
B
A
a
i j
n
=
=
=

 
 
=
=
№
Ю
=
1
(
),
(
) — матрицы-столбцы,
det
0
ij
j
Х
x
B
b
A
X
A
B

1.1. Определители, их свойства

О: Квадратной матрицей n-го порядка называется таблица чисел

11
12
1

21
22
2

1
2

...

...

...
...
...
...

...

.

n

n

n
n
nn

a
a
a

a
a
a
A

a
a
a

ж
ц
з
ч
з
ч
= з
ч
з
ч
з
ч
и
ш

Числа (аij), 
1,
, j
n
i
=
 — элементы матрицы; i — номер стро
ки; j — номер столбца.
Определителем (детерминантом) II порядка, соответствующим квадратной матрице II порядка, называется число,
обозначаемое символом

11
12

21
22
det
a
a
A
a
a
D є
=

и вычисляемое по правилу  D = a11 a22 - a21 a12.
Определителем III порядка, соответствующим квадратной
матрице III порядка, называется число, вычисляемое по
правилу

11
12
13

21
22
23

31
32
33

a
a
a
a
a
a

a
a
a

D =
=

= 
22
23
21
23
21
22
11
12
13
32
33
31
33
31
32
.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
(1.1)

Примеры:

1)  

2
1
2 5
( 1) 3
13.
3
5

=
Ч
- Ч
=