Основы математического моделирования

А. Г. Поздеев      Ю. А. Кузнецова 

 
 
 
 
 

ОСНОВЫ  

МАТЕМАТИЧЕСКОГО  

МОДЕЛИРОВАНИЯ 

 
 

Практикум 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Йошкар-Ола 

ПГТУ 
2017 

УДК 519.87 
ББК  22.18 

П 47  

 
 

Рецензенты: 

И. А. Полянин, доктор технических наук (ПГТУ); 

Е. М. Царев, доктор технических наук (ПГТУ) 

 
 
 
 

Печатается по решению 

редакционно-издательского совета ПГТУ 

 
 
 
 
 

Поздеев, А. Г. 

П 47 
 
Основы 
математического 
моделирования: 
практикум 
/  

А. Г. Поздеев, Ю. А. Кузнецова. – Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический университет, 2017. – 92 с. 
ISBN 978-5-8158-1913-9 

 

Рассмотрены примеры моделирования технических систем разнооб
разного прикладного назначения. В представленных моделях сочетаются 
подсистемы природного и техногенного происхождения. Все рассмотренные примеры оформлены в соответствии с требованиями к структуре 
научно-технического отчета. Использованы математические методы решения задач прикладного инженерного характера, элементы теории подобия и планирования эксперимента, основы статистических методов. 

Для студентов, обучающихся по направлению бакалавриата 20.03.02 

«Природообустройство и водопользование». 

 

УДК 519.87 
ББК  22.18 

 

ISBN 978-5-8158-1913-9  
© Поздеев А. Г., Кузнецова Ю. А., 2017 
© Поволжский государственный  
технологический университет, 2017 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 

Цель и задачи изучения дисциплины «Основы математического 

моделирования» состоят в формировании у студентов необходимых 
знаний в области теории систем для овладения практическими приемами составления моделей различных прикладных задач и выполнения на их основе имитационных экспериментов. В результате изучения дисциплины студент должен получить практические навыки в 
проведении имитационных экспериментов и составлении моделирующих алгоритмов в прикладном программном пакете MathCad.  

В настоящем практикуме представлены задания для расчетно
графических работ по дисциплине «Основы математического моделирования» и примеры их выполнения. Расчетно-графическая работа 
предполагает теоретическое обоснование объекта, определенного 
заданием, формирование модели технической системы, построение 
вычислительного алгоритма, анализ состояния системы на основе 
составленной теоретической модели и определение прикладного 
значения проектируемого объекта. Готовая работа представляется 
для рецензирования преподавателю в форме научно-технического 
отчета. Примеры отчетов, приведенные в практикуме, содержат ряд 
простых имитационных балансовых моделей, реализованных в форме алгоритмов в среде MathCad. Все примеры моделей систем как 
природного, так и техногенного характера относятся к водохозяйственной отрасли в соответствии с профилем подготовки «Комплексное использование и охрана водных ресурсов» бакалавров 
направления 20.03.02 «Природообустройство и водопользование». 

В первом разделе приведены варианты заданий для расчетно
графических работ студентов в соответствии с примерами, содержащимися в разделах со второго по шестой. 

Во втором разделе описана модель экологических последствий 

разрушения линейных сооружений нефтепроводов. Загрязнения поверхностных вод при повреждении нефтепроводов оцениваются на 
основе статистического анализа опасностей и риска эксплуатации 
нефтепроводов. Оценка риска аварий и чрезвычайных ситуаций на 

нефтепроводе выполнена на основе системного анализа устойчивости нефтепроводов к внешним воздействиям. Имитационная системная модель оценки ущерба природной среде от загрязнения нефтепродуктами, основанная на балансовом подходе, реализована в среде 
MathCad. 

Анализ контроля качества природной среды при производ
ственно-хозяйственной деятельности, выполненный в третьем разделе, содержит постановку задачи системного анализа экологического состояния природных вод. Системный анализ состояния водных ресурсов региона сопровождается аналитическим решением 
системы уравнений темпов и уровней.  

Анализ загрязнения водотоков при эксплуатации подводных пе
реходов нефтепроводов в зимний период приведен в четвертом разделе. Предаварийные ситуации и аварии проанализированы с учетом 
загрязнения окружающей среды при повреждении подводного перехода. Осуществлено математическое моделирование процессов разбавления загрязненных вод в проточных водных объектах и кислородного баланса водных объектов. На этой основе получены решения системы дифференциальных уравнений кислородного баланса. 

ВВЕДЕНИЕ 

 

При решении отдельных задач проектно-изыскательской и про
изводственно-технологической деятельности бакалавра по направлению 20.03.02 «Природообустройство и водопользование» требуется замена реальных объектов (явления природы, производственного 
процесса, конструкции, системы управления, экономического плана) 
их формальными представителями – моделями. Математические 
модели являются методом математического описания сложных объектов исследования. 

Процесс математического моделирования можно разделить на 

несколько основных этапов. 

На первом этапе по изучаемым объектам формируется массив 

числовых данных, фактов, выявляются общие признаки, осуществляются простейшие классификации, количественные оценки, выполняются привязки наблюдаемых явлений к известным при различных условиях исследования, устанавливаются типичные закономерности, определяются и группируются факторы, оказывающие 
существенное влияние на исследуемые объекты. Этот этап завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели. 

На втором этапе путем анализа математической модели выво
дятся выходные данные для дальнейшего сопоставления с экспериментальными результатами. На этом этапе важную роль приобретает 
математический алгоритм, необходимый для анализа математической модели. 

На третьем этапе выясняется вопрос о точности, достоверности 

результатов моделирования. Существуют модели и методы их исследования, для которых хорошо известны границы применимости. 
Математические следствия должны быть подтверждены большим 
предшествующим практическим опытом. Поэтому при обосновании 
достоверности моделирования можно сделать анализ трансформации следствий уточненной модели в математическое следствие известной, хорошо изученной модели. Другой способ обоснования до

стоверности появляется в случае, если модель вполне определена и 
все параметры заданы. Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте недостаточны. В этом случае 
при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической 
модели, носят для изучаемого объекта условный характер. Они 
справедливы для него настолько, насколько правильны исходные 
предположения. Для их проверки необходимо сопоставить математические следствия со всей имеющейся информацией об объекте. 

На заключительном этапе в связи с накоплением данных об изу
чаемых объектах выполняется последующий анализ модели и ее модернизация. 

Для проведения всестороннего анализа полученных моделей и 

получения детальной количественной информации о свойствах изучаемых объектов проводятся вычислительные эксперименты с привлечением современных информационных технологий. Автоматизация исследования позволяет в короткий срок обработать большой 
объем информации, выполнить ее сложную математическую обработку, необходимую для интерпретации этой информации. Для математической обработки информации можно использовать стандартные пакеты программ, такие как MathCad, Matlab, Statistica, 
Origin, Microsoft Exel. Вычислительный эксперимент в прикладной 
программной среде позволяет глубже понять результаты натурного 
эксперимента, сопоставить их с теорией. Часто вычислительный 
эксперимент проводится для планирования будущих экспериментов 
и прогнозирования их результатов, для проектирования экспериментальных установок следующего поколения и определения оптимальных режимов работы различных конструкций. В ходе автоматизированного вычислительного эксперимента можно поддерживать нужные значения параметров, определяющих его условия; менять параметры по заданному закону; вести поиск оптимальных режимов протекания процессов. 

Таким образом, в результатах научной работы и прикладной 

инженерной деятельности может найти отражение модернизация 
математической модели под свойства исследуемого объекта; развитие дискретной модели объекта, развитие вычислительного алгоритма; автоматизированная программа расчета, реализующая новый 
или модернизированный вычислительный алгоритм; новые свойства 
объекта, обнаруженные в результате вычислительного эксперимента; новая интерпретация данных натурного эксперимента. Здесь же 
можно отметить результаты усилий, направленных на автоматизацию исследований, приводящую к увеличению репрезентативности 
данных и достоверности выводов. 

1. ПОДГОТОВКА ОТЧЕТОВ 

ПО РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИМ РАБОТАМ 

 

1.1. Общие сведения 

 
Изучение студентами направления 20.03.02 «Природообустрой
ство и водопользование» дисциплины «Основы математического 
моделирования» включает выполнение расчетно-графических работ. 
Для оценки результатов усвоения теоретического материала и овладения практическими приемами составления моделей технических 
систем различного прикладного назначения им предлагается выполнить индивидуальное задание и представить отчет по результатам 
его выполнения. Работы должны быть оформлены в соответствии с 
требованиями к структуре научно-технических отчетов [49]. 

Тематика индивидуальных заданий соответствует основным 

разделам рабочей программы дисциплины «Основы математического моделирования» учебного плана направления 20.03.02 «Природообустройство и водопользование». 

Теоретическая часть отчета может быть связана с другими дис
циплинами, изученными студентами данного направления ранее. 

Выбор тематики индивидуальных заданий для составления отчета 

по расчетно-графическим работам осуществляется в соответствии с 
учебными задачами дисциплины «Основы математического моделирования» и ее разделов. На основе этих требований выбрана общая 
направленность тематики индивидуальных заданий студентов. 

Кроме того, при выборе тематики учитываются особенности ре
ализации составленных моделей систем в прикладном программном 
пакете MathCad и проведения имитационных экспериментов. 

 

1.2. Требования к оформлению отчетов 

 
Объем и содержание отчета. Общий объем отчета не должен 

превышать 25-30 машинописных страниц формата А4. 

Отчет по расчетно-графическим работам должен давать доста
точно полное представление о принципе решения задачи моделирования системы с обоснованием правильности ее решения в прикладной программной среде MathCad. Записка иллюстрируется схемами 
и программами, выполняемыми с соблюдением всех требований 
ЕСКД. Эти схемы и программы входят в общий объем пояснительной записки и нумеруются. 

Отчет должен включать в указанной последовательности сле
дующие разделы: титульный лист; аннотацию (реферат); бланк задания, подписанный руководителем и заведующим кафедрой; содержание (оглавление) с указанием страниц; введение; разделы и подразделы основной части; заключение; список литературы; приложения (при необходимости). 

Содержание основных разделов пояснительной записки следу
ющее. 

Титульный лист, оформленный по установленной форме. 
Аннотация в краткой форме раскрывает содержание отчета. 
Бланк задания, полностью оформленный, должен содержать от
зыв руководителя и оценку отчета. 

Содержание включает наименование всех разделов отчета, а 

также подразделов и пунктов, если они имеют наименование, с указанием номера страниц, на которых размещается начало материала 
разделов, подразделов, пунктов. 

Введение содержит постановку задачи, анализ актуальности и 

цели моделирования системы. Во введении дается краткий анализ 
возможных методов решения поставленной задачи, но так, чтобы он 
не «заслонял» основного содержания работы. Указываются литературные источники, по которым делается обзор, позволяющий судить, насколько полно изучена литература по моделированию конкретной системы. Обзор должен содержать краткую оценку изложенных материалов и принципов моделирования. 

Основная часть состоит из разделов, в которых рассматривается 

существо проблемы, дается аналитический обзор возможностей исследования заданного объекта моделирования, обоснование выбран

ного подхода к моделированию, описание концептуальной модели, 
формализация и алгоритмизация модели, описание выбранного математического и программного обеспечения, алгоритмов и программ, инструкции по использованию программ при моделировании, 
результаты моделирования, анализ полученных на модели результатов и выводы по их использованию для исследования и разработки 
объекта моделирования. 

В основной части приводится описание моделируемой системы 

и задание на моделирование; структурная схема модели системы; 
схемы алгоритмов; текст программы; описание текста программы; 
аналитическая оценка характеристик функционирования моделируемой системы; результаты моделирования (дневник отладки, распечатки отдельных прогонов модели, полученные результаты), сравнение результатов имитационного моделирования и аналитического 
расчета, оценки возможных улучшений в работе системы (согласно 
заданию) и выработка дополнений к имеющейся модели, окончательный вариант модели с результатами. 

Отчет по практическим работам должен содержать листинги 

программы и их описание. При большом объеме эти материалы выносятся в приложение к отчету. Результаты машинного эксперимента с моделью системы должны быть представлены в форме графиков, таблиц, распечаток и т.п. Приводится анализ полученных результатов имитационного моделирования системы. При несовпадении расчетных и экспериментальных результатов необходимо объяснить причины расхождения. 

Заключение должно содержать качественные и количественные 

оценки результатов моделирования, особенно точности и достоверности результатов моделирования. 

Следует представить краткий вывод по результатам моделиро
вания системы (примерно на 0,5 страницы), отметить достоинства 
выбранного способа моделирования. Если в процессе моделирования системы был выбран не оптимальный способ, то следует указать 
причины, обусловившие такое решение, а также нерешенные вопро