Сопротивление материалов с примерами решения задач в системе Microsoft Excel

А.В. КОРГИН
СОПРОТИВЛЕНИЕ 
МАТЕРИАЛОВ
с примерами решения 
задач в системе 
Microsoft Excel 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Рекомендовано
Учебно-методическим объединением вузов РФ
по образованию в области строительства
в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по направлениям 08.03.01 «Строительство»
и 23.03.02 «Наземные транспортно-технологические комплексы»
Москва
ИНФРА-М
2021

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11
УДК 539.3(075.8)
ББК 30.121
 
К66
К66
Коргин А.В. 
Сопротивление материалов с примерами решения задач в системе Microsoft Excel: учебное пособие / А.В. Коргин. — Москва : 
ИНФРА!М, 2021. — 389 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).
ISBN 978-5-16-004840-6
В пособии изложен расширенный курс лекций и практических занятий по курсу сопротивления материалов для подготовки студентов по направлениям подготовки 08.03.01 «Строительство» и 23.03.02 «Наземные 
транспортно-технологические комплексы».
Материал сопровожден вариантами решений практических задач в 
компьютерной системе электронных таблиц Microsoft Excel с описанием 
алгоритмов и текстов решений.
ББК 30.121
ISBN 978-5-16-004840-6 
© А.В. Коргин, 2011
Формат 70100/16. Г
арнитура Times. Бумага офсетная. 
Печать офсетная. Усл. печ. л. 32,25. Уч.-изд. л. 29,4.
ПТ20.
Цена свободная.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    7
1. Решение инженерных задач в системе Microsoft Excel  
 
 
    9
1.1. Основные сведения, понятия и операции  
 
 
 
 
    9
1.2. Встроенные функции  
 
 
 
 
 
 
 
  12
1.3. Принцип 3-х «С»   
 
 
 
 
 
 
 
  16
2. Цели и задачи сопротивления материалов, основные определения    17
3. Геометрические характеристики поперечных сечений  
 
 
  19
3.1. Определение геометрических характеристик  
 
 
 
  19
3.2. Моменты инерции простых фигур  
 
 
 
 
 
  23
3.3. Расчет составного сечения  
 
 
 
 
 
 
  24
3.4. Расчет составных сечений в системе Excel   
 
 
 
  27
4. Внутренние усилия в статически определимых стержневых системах    33
4.1. Общие положения, определения и правила   
 
 
 
  33
4.2. Построение эпюр внутренних усилий в стержневых системах   
  36
4.3. Построение эпюр в балках  
 
 
 
 
 
 
  38
4.4. Построение эпюр в балках в системе Excel   
 
 
 
  42
4.5. Построение эпюр в плоских рамах   
 
 
 
 
  53
4.6. Определение усилий в рамах в системе Excel  
 
 
 
  57
4.7. Построение эпюр в криволинейных брусьях  
 
 
 
  67
4.8. Определение усилий в криволинейных брусьях в системе Excel  
  71
4.9. Определение усилий в плоских фермах  
 
 
 
 
  77
4.10. Определение усилий в плоских фермах в системе Excel  
 
  81
4.11. Пространственные статически определимые рамы  
 
 
  87
4.12. Определение усилий в пространственных рамах в системе Excel  
  93
5. Напряженное состояние  
 
 
 
 
 
 
 
107
5.1. Основные определения   
 
 
 
 
 
 
107
5.2. Виды напряженного состояния  
 
 
 
 
 
108
5.3. Изменение напряжений при повороте площадок   
 
 
109
6. Одноосное растяжение-сжатие прямого бруса  
 
 
 
111
6.1. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии  
 
 
111
6.2. Закон Гука   
 
 
 
 
 
 
 
 
112
6.3. Потенциальная энергия деформаций   
 
 
 
 
113
6.4. Диаграмма работы материала на растяжение  
 
 
 
113
6.5. Основы расчета конструкций по методу допускаемых напряжений
114
6.6. Расчет на прочность и жесткость при одноосном растяжении-сжатии
по методу допускаемых напряжений  
 
 
 
 
 
115
6.7. Основы расчета конструкций по предельным состояниям
115
6.8. Расчет статически неопределимых стержней на одноосное
растяжение-сжатие методом сил  
 
 
 
 
 
118
6.9. Расчет стержней на растяжение-сжатие в системе Excel   
 
121
3

7. Сдвиг  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
127
7.1. Напряжения и деформации при сдвиге  
 
 
 
 
127
7.2. Закон Гука при сдвиге   
 
 
 
 
 
 
127
7.3. Напряжения на главных площадках при сдвиге   
 
 
128
7.4. Потенциальная энергия деформаций при сдвиге   
 
 
128
7.5. Связь между модулями упругости – Е и сдвига – G  
 
 
129
7.6. Расчет на прочность при сдвиге по методу допускаемых
напряжений  
 
 
 
 
 
 
 
 
130
8. Кручение  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
131
8.1. Напряжения и деформации при кручении   
 
 
 
131
8.2. Потенциальная энергия деформаций  
 
 
 
 
133
8.3. Напряжения в продольных и наклонных сечениях  
 
 
133
8.4. Расчет вала на кручение по методу допускаемых напряжений
134
8.5. Расчет статически неопределимых валов на кручение   
 
136
8.6. Расчет валов на кручение в системе Excel   
 
 
 
137
8.7. Кручение бруса прямоугольного сечения   
 
 
 
142
8.8. Кручение тонкостенных стержней   
 
 
 
 
143
8.9. Расчет цилиндрических винтовых пружин с малым шагом
145
8.10. Расчет упругих (пружинных) опор в жестких балках   
 
146
8.11. Расчет упругих опор жестких балок в системе Excel   
 
149
9. Изгиб элементов конструкций  
 
 
 
 
 
 
153
9.1.
Чистый изгиб прямого бруса   
 
 
 
 
 
153
9.1.1. Деформации и напряжения при чистом изгибе   
 
 
153
9.1.2. Расчет прочности балок при чистом изгибе по методу
допускаемых напряжений  
 
 
 
 
 
155
9.1.3. Потенциальная энергия деформаций при чистом изгибе  
 
156
9.2. Поперечный изгиб прямого бруса  
 
 
 
 
 
157
9.2.1. Деформации и нормальные напряжения при поперечном изгибе
157
9.2.2. Касательные напряжения при поперечном изгибе 
 
 
157
9.2.3. Расчет прочности балок при поперечном изгибе по методу
допускаемых напряжений  
 
 
 
 
 
159
9.2.4. Потенциальная энергия при поперечном изгибе  
 
 
160
9.2.5. Расчет прочности балок на изгиб в системе Excel  
 
 
163
9.3. Изгиб плоского кривого бруса  
 
 
 
 
 
169
9.3.1. Деформации и напряжения при изгибе кривого бруса  
 
 
169
9.3.2. Определение положения нейтрального слоя  
 
 
 
171
9.3.3. Расчет кривого бруса в системе Excel   
 
 
 
174
9.4. Перемещения при изгибе 
 
 
 
 
 
 
177
9.4.1. Определение перемещений методом прямого интегрирования
 
(метод начальных параметров)   
 
 
 
 
177
9.4.2. Вычисление перемещений в системе Excel  
 
 
 
187
9.4.3. Расчет балок на жесткость при изгибе   
 
 
 
194
9.4.4. Расчет балок на жесткость при изгибе в системе Excel  
 
194
4

10. Определение перемещений в общем случае нагружения
195
10.1. Общее выражение потенциальной энергии бруса  
 
 
195
10.2. Определение перемещений с помощью интеграла Мора
196
10.3. Частные случаи интеграла Мора   
 
 
 
 
197
10.4. Вычисление интеграла Мора методом Верещагина 
 
 
198
10.5. Вычисление перемещений с помощью интеграла Мора
в системе Excel  
 
 
 
 
 
 
 
199
11. Определение внутренних усилий в статически неопределимых
стержневых системах  
 
 
 
 
 
 
 
201
11.1. Метод сил  
 
 
 
 
 
 
 
 
201
11.1.1. Определение внутренних усилий в неразрезных балках
с помощью уравнения 3-х моментов   
 
 
 
 
203
11.1.2. Расчет неразрезных балок в системе Excel   
 
 
209
11.2. Метод перемещений   
 
 
 
 
 
 
213
11.2.1. Определение внутренних усилий в плоских фермах  
 
215
11.2.2. Расчет ферм методом перемещений в системе Excel  
 
223
12. Балка на упругом основании  
 
 
 
 
 
 
229
12.1. Модель упругого основания Винклера   
 
 
 
229
12.2. Дифференциальное уравнение балки на упругом основании
230
12.3. Балки бесконечной длины   
 
 
 
 
 
231
12.4. Балки конечной длины  
 
 
 
 
 
 
235
12.5. Расчет балок на упругом основании в системе Excel   
 
244
13. Сложное напряженное состояние  
 
 
 
 
 
255
13.1. Обобщенный закон Гука  
 
 
 
 
 
 
255
13.2. Потенциальная энергия в общем случае нагружения   
 
256
13.3. Теории прочности 
 
 
 
 
 
 
 
258
13.3.1. 3-я теория прочности (пластичности)  
 
 
 
258
13.3.2. 4-я теория прочности (пластичности)  
 
 
 
259
13.3.3. Теория прочности Мора  
 
 
 
 
 
259
13.4. Сложное сопротивление прямого бруса   
 
 
 
261
13.4.1. Косой изгиб  
 
 
 
 
 
 
 
261
13.4.2. Изгиб с кручением  
 
 
 
 
 
 
262
13.4.3. Перемещения бруса в общем случае нагружения   
 
264
13.4.4. Расчет на сложное сопротивление в системе Excel  
 
269
13.4.5. Внецентренное растяжение-сжатие прямого бруса  
 
273
13.4.6. Расчет на внецентренное растяжение-сжатие в системе Excel
277
14. Расчеты на устойчивость   
 
 
 
 
 
 
281
14.1. Устойчивость центрально сжатого стержня (задача Эйлера)
281
14.2. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня 283
14.3. Устойчивость стержня при наличии пластических деформаций
284
14.4. Расчет на прочность при сжатии с учетом устойчивости
285
14.5. Продольно-поперечный изгиб  
 
 
 
 
 
288
14.6. Расчеты на устойчивость в системе Excel  
 
 
 
290
14.6.1. Расчет стержней составного сечения  
 
 
 
 
290
14.6.2. Расчет ферм  
 
 
 
 
 
 
 
295
5

15. Расчеты на усталость  
 
 
 
 
 
 
 
297
15.1. Общие понятия об усталостном разрушении 
 
 
 
297
15.2. Параметры и виды цикла нагружения  
 
 
 
 
297
15.3. Предел выносливости конструкционных материалов   
 
299
15.4. Факторы, влияющие на усталостную прочность  
 
 
299
15.5. Расчет на усталость (выносливость)  
 
 
 
 
302
15.6. Усилия в валах зубчатых и ременных передач   
 
 
303
15.7. Расчет валов на выносливость в системе Excel   
 
 
310
16. Расчеты на динамические нагрузки  
 
 
 
 
 
317
16.1. Общие понятия о динамических нагрузках  
 
 
 
317
16.2. Расчет на действие сил инерции   
 
 
 
 
317
16.2.1. Линейное движение с ускорением  
 
 
 
 
317
16.2.2. Вращение стержней с постоянной угловой скоростью  
 
319
16.2.3. Вращение колец и дисков с постоянной угловой скоростью
321
16.2.4. Расчеты на действие сил инерции в системе Excel   
 
323
16.3. Расчет на ударную нагрузку  
 
 
 
 
 
331
16.3.1. Расчет при вертикальном падении груза  
 
 
 
331
16.3.2. Учет массы конструкции при вертикальном ударе   
 
333
16.4. Расчет на колебания   
 
 
 
 
 
 
335
16.4.1. Свободные колебания системы с одной степенью свободы
с учетом затухания  
 
 
 
 
 
 
335
16.4.2. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
339
16.5. Расчеты на удар и колебания в системе Excel   
 
 
342
17. Изгиб и кручение тонкостенного стержня  
 
 
 
 
347
17.1. Секториальные геометрические характеристики  
 
 
347
17.2. Напряжения при нагружении тонкостенного стержня
351
17.3. Расчет тонкостенных стержней в системе Excel  
 
 
356
18. Расчеты конструкций за пределами упругости  
 
 
 
363
18.1. Основы расчета за пределами упругости  
 
 
 
363
18.2. Упругопластический изгиб прямого бруса  
 
 
 
364
18.3. Метод предельных нагрузок  
 
 
 
 
 
367
18.4. Расчет статически неопределимых балок методом предельных
нагрузок  
 
 
 
 
 
 
 
 
368
18.5. Расчет прочности неразрезных балок в системе Excel 
371
19. Контактные напряжения   
 
 
 
 
 
 
375
19.1. Общие понятия о контактных напряжениях  
 
 
 
375
19.2. Давление на упругое полупространство   
 
 
 
375
19.3. Учет формы площадки контакта   
 
 
 
 
378
19.4. Напряжения в зоне контакта  
 
 
 
 
 
379
19.5. Расчет на прочность при контактном воздействии  
 
 
380
19.6. Расчет на контактное воздействие в системе Excel  
 
 
382
Заключение  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
387
Список литературы  
 
 
 
 
 
 
 
 
388

Введение
Стремительный
технический
прогресс
и
безудержное
вторжение
информационных технологий в повседневную производственную деятельность
и быт современного человека постепенно приводят к тому, что он все больше и
больше перестает понимать, а как же работают все эти многочисленные
устройства, которые по идее призваны повысить производительность его труда
и облегчить ему жизнь, но на деле больше создают заботу о необходимости
помнить, как ими пользоваться.
В результате часто наблюдается обратный эффект с двумя негативными
последствиями 
– 
бездумное
использование
новейших
технологий
с
непредсказуемыми и даже опасными результатами, или напротив – стремление
работать
по
привычке,
избегая
применения
новой
техники,
постоянно
требующей дополнительных затрат на ее освоение и поддержку.
В полной мере эта проблема проявляется и в сфере образования, где
вступают в противоречие две основные задачи, решаемые при подготовке
современного инженера – обеспечить уровень его фундаментальных знаний,
которые являются основой качества хорошего специалиста, и научить его
грамотно пользоваться современными технологиями, что гарантирует его
востребованность на рынке труда.
Рост числа дисциплин и объема изучаемого материала в программах
вузовской подготовки приводит к необходимости сокращения количества
часов на их освоение. Подобная тенденция без изменения сложившихся
методик
преподавания
и
привлечения
современных
образовательных
технологий неизбежно ведет к снижению качества подготовки специалистов.
При этом особое внимание должно быть обращено на использование резервов
времени, затрачиваемого на рутинные и повторяющиеся операции, смещение
акцентов на самостоятельную работу студентов, предоставляя возможность им
самим получать необходимые знания и принимать правильные решения.
Сопротивление материалов является дисциплиной, стоящей особняком в
ряду
многочисленных
предметов,
входящих
в
программы
инженерной
подготовки. Помимо того, что это фактически первый предмет, освоение
которого позволяет студенту реально рассчитывать простые конструкции, он
также дает основы понимания работы конструкций и принципов их расчета.
Без этого понимания дальнейшее изучение прикладных дисциплин становится
неэффективным, а успех освоения сопротивления материалов превращается в
лакмусовую бумажку на способность стать настоящим инженером.
Сопротивление материалов исторически основано на проведении ручных
расчетов, не предполагающих наличия каких-либо вычислительных средств и
до настоящего времени одним из основных преимуществ предмета является
возможность провести расчет в полевых условиях, выполняя вычисления
вручную в столбик на листе бумаги. Но по той же самой причине владение
техникой
вычислений,
умение
не
совершать
вычислительные
ошибки
становятся
важными
компонентами
результативности
и
надежности
проводимых расчетов. При этом основным средством контроля получаемых
результатов является умение оценить их достоверность на основе здравого
смысла, понимания работы конструкций и опыта инженерной практики.
7

Появление
вспомогательных
вычислительных
устройств,
таких
как
логарифмические линейки и калькуляторы ускорило проведение вычислений,
но не изменило их ручного характера. К тому же при этом возросла проблема
достоверности получаемых результатов, поскольку механистические действия
в процессе счета с помощью подобных устройств снижают возможности
текущего контроля проводимых расчетов.
Современная
вычислительная
техника
и
программное
обеспечение,
совершив революционный переворот в возможностях автоматизированных
вычислений, напротив, еще более заострили проблему «черного ящика» – 
непонимания того, как достигнуты и насколько правильны полученные
результаты.
Коммерческие
прикладные
программы,
привлекаемые
для
преподавания различных дисциплин, включая сопротивление материалов, при
всей их мощи обладают многими методическими недостатками – неясностью
путей и методов достижения результатов, невозможностью менять алгоритмы,
при необходимости вмешиваться и корректировать ход расчетов и т.д.
По этим причинам особое место в преподавании должно отводиться
универсальным программам профессиональной разработки, не требующим
специальных
навыков
программирования
и
позволяющих
пользователям
решать свои прикладные задачи в привычном виде, сохраняя при этом все
преимущества, предоставляемые вычислительной техникой.
В первую очередь к ним относится шедевр современного программного
обеспечения – Microsoft Excel, программа обработки данных в таблицах. Она
имеется практически на каждом персональном компьютере, ее пользуются
сотни миллионов людей во всем мире. Аналогичные ей системы – MathCad, 
MathLab, Mathematica и ряд других существенно менее распространены из-за
достаточно высокой стоимости, но все они ориентированы на применение в
образовательных целях, рассчитаны на пользователей-непрофессионалов и не
требуют значительных усилий для освоения и адаптации в учебном процессе.
Настоящая работа является результатом обобщения многолетнего опыта
автора
по
преподаванию
сопротивления
материалов
на
факультете
механизации и автоматизации строительства Московского государственного
строительного
университета,
а
также
по
разработке
универсальных
вычислительных систем, предназначенных как для инженерных расчетов, так и
для использования в учебном процессе. Ее основой является традиционный
курс читаемых лекций и практических занятий, дополненный реализациями
решений типовых задач в системе Microsoft Excel. 
Особое внимание в работе уделено сохранению традиционного подхода к
формулировке
задач и проведению
расчетов, хотя отдельные моменты
потребовали специальной доработки для возможности реализации в системе
Microsoft  Excel. В составе предложенных реализаций использован ряд методов
и приемов, известных из курсов высшей и прикладной математики.
Пособие предназначено для студентов и преподавателей, изучающих и
преподающих
курс
сопротивления
материалов,
стремящихся
повысить
результативность своей деятельности с помощью вычислительной техники и
знакомых с основами работы в системе Microsoft Excel. 

1. Решение инженерных задач в системе Microsoft Excel 
1.1.
Общие сведения, понятия и операции
Система Microsoft Excel является программой компьютерной обработки
числовых и текстовых данных, называемой электронными таблицами.
Основами работы являются следующие возможности программы:
• проведение вычислений в ячейках таблиц с использованием вводимых
числовых и текстовых данных, формул и встроенных функций;
• использование в вычислениях, проводимых в отдельной ячейке,
данных, расположенных в других ячейках;
• ввод информации с помощью копирования и размножения групп ячеек
вместе с содержащимися в них данными и формулами;
• проведение вычислений в группах ячеек по единым формулам;
• построение графиков на основе данных, содержащихся в таблицах;
• сохранение разработанных приложений на электронных носителях.
Основные преимущества электронных таблиц
Электронные таблицы предназначены для обработки и представления
больших объемов данных, обладая по сравнению с традиционными ручными
и полуавтоматическими средствами следующими преимуществами:
• автоматические вычисления в ячейках по введенным формулам – 
если исходные данные и формулы введены правильно, то гарантирован
правильный
результат
в
отличие
от
ручного
счета,
подверженного
возможности человеческой ошибки;
• быстрый ввод и обработка большого количества данных и формул за
счет функций копирования и размножения;
• ускоренное решение разнообразных задач за счет использования
большого числа встроенных функций;
• оперативный оптимизационный анализ зависимостей результатов
расчета от состава исходных данных и используемых формул;
• большое разнообразие форм представления результатов в виде
таблиц и графиков, быстро создаваемых на основе шаблонов;
• значительная
экономия
времени
при
проведении
повторных
вычислений и разработке новых задач за счет использования и модификации
уже созданного материала, сохраненного на электронных носителях.
Основные понятия
Рабочая книга – независимый документ системы Microsoft Excel, 
открываемый в отдельном окне и сохраняемый на электронном носителе в
виде отдельного файла c уникальным именем. Состоит из рабочих листов,
возможное число которых определяется оперативной памятью компьютера
и, как правило, многократно превышает реальные потребности.
9

Рабочий лист – зона экрана компьютера, имеющая структуру плоской
таблицы, состоящей из ячеек, адресуемых по горизонтали сочетаниями букв
латинского
алфавита,
образуя
столбцы,
а
по
вертикали – числовой
нумерацией, образуя строки. На листе в произвольном порядке можно
разместить одну или несколько независимых таблиц, графиков и рисунков
(рис.1-1). Название листа в составе отдельной рабочей книги должно быть
уникально. В текущий момент на экране доступен только один (текущий)
рабочий лист, выделенный в нижней части экрана ярлыком со своим именем.
Рис.1-1. Рабочий лист книги Microsoft Excel 
Ячейка – элемент рабочего листа, в который вводится, вычисляется или
сохраняется отдельное числовое или текстовое данное. Адрес ячейки
формируется
номерами
столбца
и
строки,
на
пересечении
которых
расположена ячейка, например B6. В текущий момент доступна может быть
только одна (активная) ячейка, выделяемая на экране курсором в виде рамки.
Диапазон ячеек (массив) – группа ячеек на рабочем листе, как правило,
имеющая форму прямоугольника. Диапазон обозначается адресами 1-й
(верхней левой) и последней (нижней правой) ячеек, например B37:E37, или
присвоенным ему уникальным именем.
10