Моделирование управленческих решений в сфере экономики в условиях неопределенности

Москва

ИНФРА-М

2021

МОДЕЛИРОВАНИЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
УПРАВЛЕНЧЕСКИХ
УПРАВЛЕНЧЕСКИХ
РЕШЕНИЙ В СФЕРЕ
РЕШЕНИЙ В СФЕРЕ

ЭКОНОМИКИ В УСЛОВИЯХ 
ЭКОНОМИКИ В УСЛОВИЯХ 

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

МОНОГРАФИЯ
МОНОГРАФИЯ

È.È. ÁÅËÎËÈÏÖÅÂ, Ñ.À. ÃÎÐÁÀÒÊÎÂ
È.È. ÁÅËÎËÈÏÖÅÂ, Ñ.À. ÃÎÐÁÀÒÊÎÂ

À.Í. ÐÎÌÀÍÎÂ, Ñ.À. ÔÀÐÕÈÅÂÀ
À.Í. ÐÎÌÀÍÎÂ, Ñ.À. ÔÀÐÕÈÅÂÀ

Белолипцев И.И.
Моделирование управленческих решений в сфере экономики в условиях неопределенности : монография / И.И. Белолипцев, С.А. Горбатков, А.Н. Романов, С.А. Фархиева ; под ред. А.Н. Романова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2021. — 299 с. — (Научная мысль). — DOI 10/12737/7761.
ISBN 978-5-16-010269-6 (print)
ISBN 978-5-16-102202-3 (online)
Монография посвящена общим принципам разработки эффективных математических моделей поддержки принятия решений для экономических объектов, 
характеризующихся сложными условиями моделирования. Учитывается так 
называемая триада «НЕ-факторов»: неполнота, неточность, неопределенность 
в данных. На основе системного подхода разработан концептуальный базис и 
9 оригинальных методов моделирования, реализующих этот базис, и современные 
продвинутые инструментарии применительно к классам задач восстановления 
многомерных зависимостей, скрытых в данных, ранжирования объектов, классификации и их кластеризации, многофакторного прогноза, оптимизации. Особое 
внимание уделено малоисследованным вопросам построения динамических 
моделей оценки кредитоспособности предприятий, обоснования адекватности 
моделей и управления ею, устойчивости и регуляризации моделей. Теоретические 
предложения подробно иллюстрируются на ряде прикладных задач. Материал 
книги на 90% оригинален и обобщает опыт многолетних исследований авторов 
по указанной проблематике. 
Монография предназначена для магистрантов и преподавателей широкого 
круга специальностей экономического профиля вузов, а также научных работников, проявляющих интерес к проблемам моделирования управленческих 
решений в сфере экономики в условиях неопределенности.

УДК 65.0(075.4)
ББК 65.290-2

УДК 65.0(075.4)
ББК 65.290-2
 
Б43

© Белолипцев И.И., Горбатков С.А., 
Романов А.Н., Фархиева С.А., 2015
ISBN 978-5-16-010269-6 (print)
ISBN 978-5-16-102202-3 (online)

Б43

Подписано в печать 25.02.2015.
Формат 6090/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Усл. печ. л. 19,0. Уч.изд. л. 21,66. ПТ10.
ТК 478150-480352-250215

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

СПИСОК ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ УСЛОВНЫХ 
СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

Аббревиатуры:

РФ — Российская федерация;
МО — муниципальное образование;
МУ — муниципальное учреждение;
НСМ — нейросетевая модель;
ГНСМ — гибридная нейросетевая модель;
Э — энтропия;
НЭ — негэнтропия;
ОПП — обобщенное перекрестное подтверждение результатов рас
четов в модели;

ФМР — фонд материального развития;
СНА — система налогового администрирования;
ОПВП — оптимальный план выездных налоговых проверок;
ЛПР — лицо, принимающее решения;
МВММ — модифицированный вложенных математических моделей 

(метод);

ЕНВД — единый налог на вмененный доход;
НДФЛ — налог на доходы физических лиц;
БД — база данных;
НССМ — нейросетевая субмодель;
НДС — налог на добавленную стоимость;
ЕСН — единый социальный налог;
НК РФ — налоговый кодекс Российской Федерации;
ЕСХН — единый сельскохозяйственный налог;
УСНО — упрощенная система налогообложения;
RBF — с радиальными базисными функциями (нейросети);
MLP — многослойный персептрон (Multi Lauer Perseptron);
BP (Back Propagation) — обратного распространения ошибки алго
ритм;

НС — нейросеть;
ЕМ — Expectation — Maximization (алгоритм);
ГНЛБ — гибридный нейросетевой с логистической трансформацией 
вероятности риска и байесовской регуляризацией метод;
СПВП — синтез плана выездных проверок;
ЭСНП — экспертная система налогового планирования;
ЭСНР — экспертная система налогового регулирования;
ЭСНК — экспертная система налогового контроля;
ФНС — федеральная налоговая служба;
ЭОД — электронная обработка данных в системе налогового конт
роля;

УЗ — учреждение здравоохранения.

Математические символы:

learn (в индексах) — процедура (либо множество) обучения НСМ;
test — процедура (либо множество) тестирования НСМ;
exam — процедура (либо множество) экзаменации (верификации) 

НСМ;

М [·] — оператор математического ожидания;
→ — выборочная статистическая оценка;
max (·) — оператор нахождения максимума;
min (·) — оператор нахождения минимума;
|(вертикальная черта) — заменяет слова «при условии»;
|·| — знак модуля;
: — заменяет слова «такой, что выполняется условие»; 
∈ — квантор принадлежности;
⊂ — знак подмножества;
∪ — знак объединения (дизъюнкции) множеств;
⊗ — знак прямого произведения;
 
X x
,
 — векторы входных факторов (независимых переменных);
 
Y y
,
 — векторы выходных величин (зависимых переменных).

Большие латинские буквы X, Y обозначают случайные величины, 

а малые буквы x, y — их конкретную расчетную или экспериментальную реализацию;

^ — знак расчетной величины;
agr (·) — аргумент какой-либо математической операции;
‹ ·‚ ·› — знак кортежа;
sup (·) — точная верхняя граница;
inf (·) — точная нижняя граница;
th (·) — гиперболический тангенс;
∇  (набла) — векторный дифференциальный оператор;
∇ = ∇⋅∇
2
 — оператор Лапласа;

||f||En — норма функции в евклидовом n-мерном пространстве En;
r U (x1,x2) — расстояние между элементами х1, х2 в пространстве U

возмущенных значений наблюдаемых характеристик объекта;

Аz — оператор А, действующий на элемент (функцию) z;
k — номер кластера при кластеризации, номер элемента множества, 

номер шага итераций;

M — число задаваемых кластеров в методе k-средних;
r — номер шага итераций;
m, l — номера двух разных элементов X m

и Xl

 кластера;

i — номер опыта;
Nk

r( )  — количество опытов в k-м кластере на r-й итерации;

S — номер итерации внешнего цикла в методе кластеризации с се
лекцией признаков и байесовской регуляризацией;

dm,l — расстояние (евклидово) между элементами X m

и Xl

внутри 

кластера;

 xj, xu , u ≠ j — компоненты вектора 


X ;

R(n) — n-мерное пространство вещественных чисел;
hq — априорная гипотеза-нейросеть с номером q в байесовском ан
самбле;

H — метагипотеза, т.е. совокупность априорных гипотез-нейросетей 

в байесовском ансамбле.

СЛОВАРЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ИНДЕКСАХ

Обозначение
Английская расшифровка 

обозначения
Русский перевод

CV
Cross Validation Set
Множество перекрестного 

подтверждения

GCV
Generalised Cross Validation
Обобщенное перекрестное 

подтверждение

learn
Learning Set
Обучающее множество

rep
Representative
Репрезентативный

TC
Tax Check
Налоговая проверка

test
Testing Set
Тестовое множество

Параграфы основного текста нумеруются двумя цифрами. Например, 

1.2 — это параграф из главы 1, имеющий номер 2. Соответственно, двумя 
цифрами маркируются формулы, таблицы, рисунки. Параграфы, в свою 
очередь, разбиты на пункты, которые маркируются тремя цифрами. Например, пункт 3.2.1 — это пункт номер 1 из параграфа 2 главы 3.

В нумерацию пунктов приложений ставится на первое место буква 

«П». Например П1.1.1 — это пункт 1 из параграфа 1 Приложения П1. 
Соответственно, в нумерации формул, таблиц, рисунков стоит первая 
буква «П».

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вопросы, рассматриваемые в монографии, возникли в связи с объ
ективной необходимостью проведения исследований, направленных на 
повышение эффективности работы налоговых органов, финансовых 
учреждений, а также обеспечения экономической безопасности функционирования предприятий путем мониторинга их платежеспособности.

Условия моделирования в указанных прикладных проблемах оказа
лись столь сложными, что потребовали серьезной доработки методологии (концептуального базиса), методов и инструментов моделирования. 
В итоге были разработаны методы, эффективно работающие в сложных 
условиях моделирования и применимые для очень широкого круга задач 
разработки экспертных систем поддержки принятия управленческих 
решений. При этом высокая общность методологии моделирования 
опиралась на системный подход к разработке концептуального базиса, 
а общность предложенных методов, реализующих концептуальный базис, опиралась на свойства нейросетей как универсальных аппроксиматоров и классификаторов.

Для наглядности материал книги изложен на конкретных примерах 

нейросетевого моделирования задач налогового контроля, планирования и регулирования, оценки платежеспособности и кредитоспособности предприятий, исследования стадий развития в динамике процесса 
кризиса предприятий. В указанном круге задач сложности условий моделирования проявляются особенно остро (см. параграф 1.5). Предлагаемые подходы к моделированию и методы, по мнению авторов, далеко 
выходят за пределы указанных приложений и могут широко использоваться в теории и практике моделирования экономических объектов.

Таким образом, назрела необходимость усовершенствования инфор
мационно-математического обеспечения советующих систем в экономике на базе новейших достижений в области математического моделирования и информационных технологий. Это прежде всего методы 
теории нечетких множеств, фрактальных, нейросетевых и нейронечетких методов, методов теории устойчивости, проблемно ориентированных на сложные условия моделирования. Это и предопределило один из 
посылов к исследованиям в данной монографии по классу обратных 
задач восстановления многомерных нелинейных зависимостей, скрытых 
в данных.

Применительно к нейросетевым моделям систем налогового адми
нистрирования (СНА), которые отличаются сильным зашумлением данных, отягченным в ряде случаев дефицитом наблюдений, исследования 
по регуляризации нейросетей в обратных задачах ранее не проводились.

Другой посыл связан с классом задач распознавания образов (клас
сификации и кластеризации), связанных с налоговым администрированием (управлением).

Очень важным классом задач, близким к задачам налогового конт
роля по методологии и теоретическим основам разработки методов и 

нейросетевых моделей, является класс задач диагностики банкротств 
корпораций, а также оценки банком кредитоспособности заемщиков. 
Здесь следует отметить, что нейросетевые модели банкротств в России 
и за рубежом появились фрагментарно только в последние 10 лет, причем, несмотря на давнюю предысторию этого вопроса (со времен первых 
работ Альтмана и его последователей в 70-х гг. прошлого столетия), оставались открытыми важнейшие вопросы, предопределяющие эффективность моделей:

 
• обоснование адекватности моделей;

 
• количественное сравнение систем экономических показателей 

(факторов) и их оптимального выбора для модели;

 
• сокращение размерности факторного пространства внутри выбран
ной системы факторов;

 
• оптимальный компромисс между обобщающими свойствами и ус
тойчивостью нейросети;

 
• оценка вероятности банкротства на основе динамической нейросе
тевой модели, т.е. его прогноз;

 
• учет динамики развития процесса банкротства по стадиям.

Задачи банкротств — это третий посыл к исследованиям в данной 

монографии. Подчеркнем, что все три указанных выше класса задач 
нейросетевого моделирования исследованы в монографии с единых методологических позиций, разработанных на основе системного подхода 
и концептуального базиса. Теоретическую основу исследования составляют предложенные методы моделирования.

1. Квазибайесовский метод регуляризации нейросети.
2. Модифицированный метод вложенных математических моделей 

(МВММ).

3. Многоступенчатый (иерархический) метод оценки адекватности 

нейросетевой модели и управления ее адекватностью. 

4. Метод синтеза оптимального плана выездных налоговых проверок 

на основе фрактальной теории, а также логистической трансформации 
вероятности риска ошибочного отбора налогоплательщиков.

5. Метод количественного сравнения и оптимального выбора систем 

экономических показателей (факторов) для моделей различных приложений.

6. Метод сокращения размерности факторного пространства внутри 

выбранной системы показателей.

7. Нейросетевой логистический метод построения статической мо
дели оценки платежеспособности предприятий.

8. Метод кластеризации с фильтрацией признаков и квазибайесов
ской регуляризацией.

9. Гибридный итерационный метод построения динамической мо
дели оценки стадий банкротства.

Данная книга призвана заполнить указанные выше пробелы в моно
графической литературе по вопросам методологии и теории нейросетевого моделирования для указанных трех классов задач — налогового 

контроля, налогового регулирования, поддержки принятия решений по 
банкротствам (обеспечения экономической безопасности корпораций 
и эффективности банковского кредитования).

Материал книги, помимо теоретических исследований, содержит 

конструктивные результаты, которые, как надеются авторы, будут способствовать повышению эффективности работы рассмотренных экономических объектов.

Материал книги оригинален на 90%. Известные факты из теории 

нейросетей и обратных задач интерпретации, распознавания образов, 
ранжирования привлекаются лишь в той мере, в какой это необходимо 
для глубокого понимания сути предлагаемых концепций, методов, алгоритмов и их места в теории моделирования сложных экономических 
объектов. Материал книги в равной степени принадлежит всем авторам. 
Глава 4 написана совместно с М.В. Коротневой. Авторы будут благодарны за все замечания и советы, направленные на улучшение книги. 

ГЛАВА 1 

СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД К РАЗРАБОТКЕ 
НЕЙРОСЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ 
ОБЪЕКТОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

 1.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ПРИНцИПУ РАБОТЫ НЕЙРОННЫХ 

СЕТЕЙ ОБРАТНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОшИБКИ 

В [80, с. 9–1100], [15, с. 8–400], [34, с. 10–220] подробно описаны 

различные типы нейросетей, точнее их программных реализаций (эмуляторов), дана их классификация и результаты исследования свойств, 
преимуществ перед традиционными инструментариями регрессионного 
и дискриминантного анализа, а также ограничений на применение.

В экономических приложениях наиболее широкое применение ней
росети нашли в задачах двух типов:

1) аппроксимации, т.е. восстановления многомерных зависимостей, 

скрытых в данных;

2) классификации и кластеризации.
Для первого типа задач в основном применяются:

 
• многослойные персептроны (Multi Lauer Perseptron, MLP) c алго
ритмом обучения типа обратного распространения ошибки (Back 
Propagation Error, BP);

 
• нейросети с радиальными базисными функциями (Radial basis 

Function, RBF).
В задачах классификации и кластеризации применяются нейросети 

Кохонена или, как их еще называют, самоорганизующиеся карты (selforganizing map, SOM).

В данной монографии оригинальные концепции, методы и алго
ритмы касаются в основном MLP-нейросетей. Поэтому для понимания 
читателем дальнейшего материала изложим в параграфе 1.1 краткие сведения по принципу действия MLP-нейросетей.

Рассмотрим важный класс нейронных сетей (НС), осуществляющих 

вычисления с помощью процесса обучения. Для того чтобы добиться 
высокой производительности, НС используют множество взаимосвязей 
между элементарными ячейками вычислений — нейронами. Таким образом, можно дать следующее определение НС [80, с. 32]: «НС — это распределенный параллельный процесс, состоящий из элементарных единиц 
обработки информации, накапливающих элементарные знания и предоставляющих их для последующей обработки».

НС формально сходна с мозгом человека с двух точек зрения: а) зна
ния поступают в НС из окружающей среды и используются в процессе 

обучения; б) для накопления знаний применяются связи между нейронами, называемые синаптическими весами.

Процедура, используемая в процессе обучения, называется алгорит
мом обучения. Она выстраивает в определенном порядке синаптические 
веса НС для обеспечения необходимой структуры взаимосвязей нейронов. С используемым алгоритмом обучения тесно связана и архитектура 
сетей.

Обычно сеть состоит из множества сенсорных элементов (входных 

узлов или узлов источника), которые образуют входной слой, одного или 
нескольких скрытых слоев вычислительных нейронов и одного выходного 
слоя нейронов. Входной сигнал распространяется по сети в прямом направлении, от слоя к слою. Такие сети обычно называют многослойными 
персептронами (MLP).

Многослойные персептроны успешно применяются для решения 

разнообразных сложных задач. При этом обучение с учителем выполняется с помощью такого популярного алгоритма, как алгоритм обратного 
распространения ошибки. Этот алгоритм основывается на коррекции 
ошибок. Его можно рассматривать как обобщение алгоритма адаптивной фильтрации — алгоритма минимизации среднеквадратической 
ошибки. 

Обучение НС в методах обратного распространения ошибки пред
полагает два прохода по всем слоям сети: прямого и обратного.

При прямом проходе образ (входной вектор) подается на сенсорные 

узлы сети, после чего распространяется по сети от слоя к слою (рис. 1.1). 
В результате генерируется набор выходных сигналов, который и является 
фактической реакцией сети на данной входной образ. Во время прямого 
прохода все синаптические веса сети фиксированы.

Во время обратного прохода все синаптические веса настраиваются 

в соответствии с правилом коррекции ошибок, а именно: фактический 
выход сети вычитается из желаемого (целевого) отклика, в результате 
чего формируется сигнал ошибки. Этот сигнал впоследствии распространяется по сети в направлении, обратном направлению синаптических 
связей (рис. 1.2).

Синаптические веса настраиваются с целью максимального прибли
жения выходного сигнала сети к желаемому в статистическом смысле. 
Алгоритм обратного распространения ошибки в литературе иногда называют упрощенно алгоритмом обратного распространения1.

Последовательная корректировка весов является более предпочти
тельным режимом алгоритма обратного распространения для реализации в реальном мире. В этом режиме алгоритм циклически обрабатывает примеры из обучающего множества x y
i
i
,
,  i = 1, 2,…, N следующим 

образом.

1. Инициализация. В предположении отсутствия априорной инфор
мации генерируются исходные значения синаптических весов wpj и по
1 
Рисунки 1.1 и 1.2 заимствованы из [80, с. 223].