Основы статистической физики

ОСНОВЫ 

СТАТИСТИЧЕСКОЙ 

ФИЗИКИ

Москва
ИНФРА-М

2021

А.Г. БРАУН
И.Г. ЛЕВИТИНА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Допущено

Научно-методическим Советом по физике 

Министерства образования и науки Российской Федерации 

в качестве учебного пособия для студентов 

высших учебных заведений, обучающихся 

по техническим направлениям подготовки и специальностям

03.03.02, 04.03.02, 14.05.01, 14.05.02, 14.05.03

Третье издание

УДК 536.7
ББК 22.317
 
Б87

Браун А.Г.
Основы статистической физики : учебное пособие / 
А.Г. Браун, И.Г. Левитина. — 3-е изд. — Москва : ИНФРА-М, 
2021. — 120 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 
10.12737/5493.

ISBN 978-5-16-010234-4 (print)
ISBN 978-5-16-102120-0 (online)

В учебном пособии рассмотрены основные вопросы курса статистической физики для студентов технических специальностей: 
статистические распределения (классическая статистика обычного 
газа и квантовая статистика электронов в металле). Приведены задачи с подробными решениями на соответствующий материал каждого раздела. Даны задачи для самостоятельного решения. Приведены 
контрольные тесты по всем разделам курса с ответами. 
Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по техническим направлениям подготовки 
и специальностям.
УДК 536.7
ББК 22.317

Р е ц е н з е н т ы:
В.К. Битюков — доктор технических наук, профессор, 
заслуженный работник высшей школы РФ, зав. кафедрой 
технической физики Московского института радиотехники, 
электроники и автоматики (технический университет);
В.Н. Кукуджанов — доктор физико-математических наук, 
главный научный сотрудник ИПМех РАН, профессор кафедры 
«Прикладная механика» МФТИ

Б87

© МАТИ, 2006, 2010, 2015
© Браун А.Г., 2006, 2010, 2015
© Левитина И.Г., 2006, 2010, 2015

ISBN 978-5-16-010234-4 (print)
ISBN 978-5-16-102120-0 (online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

СОДЕРЖАНИЕ 
 
РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ........ 5 
1.1 Методы рассмотрения систем многих частиц ......................................... 5 
1.2. Динамический подход и его бесперспективность .................................. 7 
1.3. Статистический метод описания коллектива ......................................... 7 
1.4. Макро- и микросостояния ....................................................................... 12 
1.5. Энтропия и ее статистический смысл .................................................... 16 
1.6. Термодинамический способ описания коллектива частиц ................. 17 
1.7 Термодинамические потенциалы ............................................................ 19 
1.8. Полная статистическая функция распределения .................................. 22 
1.9. Фазовое пространство и его квантование ............................................. 24 
1.10. Вырожденные и невырожденные коллективы частиц ....................... 27 
РАЗДЕЛ 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. КЛАССИЧЕСКАЯ 
СТАТИСТИКА ................................................................................................... 31 
2.1. Функция распределения Максвелла-Больцмана .................................. 31 
Зависимость распределения от температуры ........................................... 35 
Формула Максвелла в приведённом виде ................................................. 36 
Дополнительное замечание ........................................................................ 36 
2.2. Экспериментальная проверка распределения Максвелла. Опыт 
Штерна ............................................................................................................. 37 
2.3. Средняя энергия молекул идеального газа ........................................... 37 
2.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории ................... 39 
2.5. Средняя энергия молекул и молекулярно-кинетический смысл 
абсолютной температуры ............................................................................... 41 
2.6. Закон равномерного распределения энергии молекул по степеням 
свободы ............................................................................................................ 42 
2.7. Распределение молекул в поле сил тяготения. Распределение 
Больцмана ........................................................................................................ 47 
2.8. Опыт Перрена по определению числа Авогадро.................................. 51 
РАЗДЕЛ 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. КВАНТОВАЯ 
СТАТИСТИКА ................................................................................................... 53 
3.1. Понятие о квантовых статистиках ......................................................... 53 
3.2. Функция Ферми-Дирака .......................................................................... 57 
3.3. Распределение Ферми-Дирака при нулевой температуре ................... 58 
3.4. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака .................... 62 
3.5. Теплоемкость электронного газа............................................................ 64 
РАЗДЕЛ 4. ЗАДАЧИ К КУРСУ «СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА» ............ 67 
4.1. Основные понятия статистической физики .......................................... 67 
4.1.1. Элементы теории вероятностей. Функция распределения 
вероятностей ................................................................................................ 67 

4.1.2. Элементы комбинаторики ................................................................ 72 
4.1.3. Макро- и микросостояния. Термодинамическая вероятность. 
Энтропия и её статистический смысл ....................................................... 76 
4.2. Статистические распределения. Классическая статистика ................. 80 
4.2.1. Распределение Максвелла ................................................................ 80 
4.2.2. Средняя энергия молекул идеального газа, основное уравнение 
молекулярно–кинетической теории. Средняя энергия молекул и 
молекулярно–кинетический смысл абсолютной температуры .............. 86 
4.2.3. Распределение Больцмана ................................................................ 91 
4.3. Статистические распределения. Квантовая статистика ...................... 96 
4.3.1. Элементы квантовой статистики ..................................................... 96 
РАЗДЕЛ 5. КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ ........................................................... 103 
Тест 1 .............................................................................................................. 103 
Тест 2 .............................................................................................................. 106 
Тест 3 .............................................................................................................. 110 
Тест 4 .............................................................................................................. 114 
Ответы к тестам ............................................................................................ 119 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................ 119 
 

РАЗДЕЛ 1. 
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 

1.1 Методы рассмотрения систем многих частиц 
Известно, что все тела состоят из атомов (молекул). Следовательно, исследование свойств любого тела – это исследование поведения коллектива, состоящего из большого числа частиц. Любой такой коллектив будем далее называть системой. Нас интересует, каким образом можно описывать теоретически различные 
системы. 
Задолго до того как человеку стало известно, что все тела состоят из атомов, он с успехом исследовал различные физические 
свойства тел как экспериментально, так и теоретически. При этом 
нередко имело место согласие между теорией и экспериментом. 
Это важное обстоятельство позволяет утверждать, что существует 
метод описания систем, нечувствительный к их внутренней 
структуре. В этом методе используются понятия и физические 
параметры, относящиеся к системе в целом. Например, линейный 
коэффициент термического расширения описывает твердое тело в 
целом. Никому и в голову не приходит говорить о «термическом 
расширении атомов», образующих это тело. Такие параметры, 
описывающие систему в целом, называются макроскопическими 
или термодинамическими. Сам же метод описания системы в целом, не интересующийся внутренними атомными механизмами 
физических процессов и не принимающий во внимание внутреннюю структуру систем, считающий любую систему по существу 
сплошной средой, называется термодинамическим методом описания. 
Физическая система в термодинамике представляется как некоторая совокупность термодинамических параметров, измеряемых на опыте. Связь между ними и закономерности, которым они 
подчиняются, выводятся логически из аксиом, постулируемых 
как очевидные опытные факты. Термодинамический метод осно

ван на некоторых физических положениях, имеющих всеобщий 
характер (например, законах сохранения). 
Когда была установлена атомистическая структура тел, возникло естественное желание описать все свойства тел, исходя из 
первых принципов, т.е. предсказать эти свойства на основе знания 
микроскопических параметров атомов (их координаты, скорости, 
энергии межатомного взаимодействия и др.). 
Оказалось, однако, что не все так просто на этом пути. Действительно, попробуем описать свойства систем, записывая уравнение движения для каждого атома в системе. Такой метод описания называется динамическим. Для реализации этого метода 
нужно записать, например для 1 моля вещества, 6⋅1023 уравнений, 
решить их при заданных начальных условиях и осмыслить полученные результаты. Очевидно, что ни одну из этих операций 
нельзя осуществить в обозримый промежуток времени даже с использованием всех имеющихся ЭВМ. Таким образом, динамический метод непригоден. 
Существует много аргументов в пользу того, что в системах 
из большого числа частиц проявляются так называемые статистические закономерности. Согласно этим закономерностям микроскопические параметры отдельных атомов (координата, импульс, 
энергия) являются случайными величинами. Тогда, опираясь на 
определенную атомистическую модель вещества и используя некоторые предположения о вероятностях реализации того или иного микропараметра, можно определить статистическое среднее 
этого микропараметра. Поскольку это среднее описывает весь 
коллектив в целом, разумно предположить, что оно связано с термодинамическими параметрами системы. 
Метод описания систем, учитывающий их атомную структуру 
и вероятностные распределения микропараметров системы, называется статистическим. Таким образом, между обоими методами описания устанавливаются связь, показанная на рис. 1.1 
Статистическая физика, ведущая описание модельных атомистических систем в терминах микропараметров, определяет с помощью функции распределения вероятностей их средние значения. Последние связаны с макропараметрами, в терминах которых 
ведет описание термодинамика. 

Рис. 1.1 Связь статистической физики и термодинамики 

1.2. Динамический подход и его бесперспективность 
Реальное вещество состоит из большого числа частиц – молекул. В обычном состоянии, например, в 12 г изотопа углерода 12С 
содержится N = 6,02 ⋅ 1023 молекул. Следуя обычной механике, 
для каждой молекулы можно было бы написать уравнение движения: 

 
i
i
i
F
dt

r
d
m
=
2

2

, где i = 1, 2, ..., N 
(1.1) 

На самом деле получится 3N уравнений (по 3-м координатам 
для N молекул), их решить совместно практически невозможно. 
В связи с этим для описания систем многих частиц прибегают 
к статистическим и термодинамическим методам. 

1.3. Статистический метод описания коллектива 
Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Эти закономерности позволяют предсказывать вероятность наступления того или иного события. 
Рассматриваемый процесс представляется как процесс случайный, и выводятся некоторые закономерности для него. 

Статфизика
Термодинамика

Распределение ве
роятностей 

Макропараметры 
Средние 
Микропараметры 

На практике часто приходится сталкиваться со случайными процессами. Случайность – это неустановленная закономерность. И в большинстве 
случаев бывает гораздо выгоднее статистически описать случайный процесс, нежели определять закономерность получения того или иного результата и учитывать всю совокупность параметров, приводящих к конкретному результату. 
Случайным процессом называется такой процесс, который при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз 
несколько по–иному. Например, к случайным процессам можно отнести 
бросание монеты или игральной кости. Каждый из этих процессов безусловно подчиняется хорошо известным физическим законам. Вместе с 
тем, описать каждый конкретный случай достаточно сложно – он зависит 
от очень большого количества условий. Поэтому процесс можно считать 
случайным. 
Каждому случайному процессу можно поставить в соответствие случайную величину, характеризующую этот процесс. Случайной величиной 
называется величина, которая в результате опыта может принять то или 
иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины разделяются на дискретные, возможные значения которых могут 
быть заранее просчитаны, и непрерывные, непрерывно заполняющие некоторый промежуток. В нашем примере с монетой случайная величина, описывающая процесс бросания, может принимать два значения: или Р(решка) 
или О(орел). Случай, когда монета встает на ребро, происходит очень редко, поэтому учитывать его не будем. Для математического описания случайной величины лучше присваивать ей численные значения, скажем, 0 для 
решетки, и 1 для орла. В примере с игральной костью за случайную величину удобно принять количество очков, выпавших при бросании. Случаи, 
когда кость встает на ребро или на вершину, также не учитываются. 
Статистической вероятностью PC 
появления 
определенного 
значения X0 случайной величины X называется отношение количества m 
появлений данного значения случайной величины X к общему количеству n 
проведенных опытов: 

 
n
m
X
Pc
=
)
(
0
 

Статистическая вероятность является величиной оценочной, приблизительной. Она рассчитывается по ограниченному количеству опытов. Если 
провести опыт с бросанием монеты 10 раз (n = 10), то можно получить результат, при котором решка выпадет 7 раз (m = 7). Отсюда статистическая 
вероятность выпадения решки PC(решка) =0,7. Это значение достаточно 
далеко от истинного (при условии, что обе стороны монеты равноправны). 

Для получения более точных характеристик необходимо увеличить количество опытов и рассчитать вероятность появления решки. При достаточно 
большом количестве опытов станет ясно, что вероятность выпадения орла 
равна вероятности выпадения решки. Обе эти вероятности имеют одно и то 
же значение: 0,5. 
Вероятностью P появления определенного значения X называется предел статистической вероятности при стремлении количества опытов к бесконечности: 

 
n
m
P
nlim
∞
→
=
 
 

Событием называется всякий факт, который в результате проведения 
опыта может произойти или может не произойти. 
Несовместными событиями называются события, которые не могут 
произойти одновременно в результате одного опыта. Например, невозможно выпадение и орла и решки одновременно. 
Независимыми событиями называются такие события, возникновение 
которых не зависит друг от друга. 
Для несовместных и независимых событий можно сформулировать 
следующие свойства вероятностей: 
1. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий i или k 
равна сумме вероятностей происхождения этих событий: 

 
)
(
)
(
)
(
k
P
i
P
k
или
i
P
+
=
−
−
 
 

2. Вероятность того, что сразу после события i произойдет событие k, 
равна произведению вероятностей происхождения этих событий: 

 
)
(
)
(
)
(
k
P
i
P
k
и
i
P
⋅
=
−
−
 
 

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. 
Пусть в результате измерений было установлено, что величина x с вероятностью dP(x) попадает в интервал значений от x до x+dx. Тогда можно 
ввести функцию f(x), характеризующую плотность распределения вероятностей: 

 
x
P(x)
x
f
d
d
)
(
=
 
 

Эта функция в физике обычно называется функцией распределения. 
Функция распределения f(x) должна удовлетворять условию f(x)≥0, так 
как вероятность попадания измеренного значения в интервал от x до x+dx 
не может быть отрицательной величиной. Вероятность того, что измеренное значение попадёт в интервал x1≤ x≤ x2 равна 

∫
=
≤
≤
2

1
2
1
)
(
)
(
x

x
dx
x
f
x
x
x
P
. 

Соответственно, вероятность попадания измеренного значения в весь 
интервал возможных значений a≤x≤b равна единице: 

1
)
(
=
∫

b

a
dx
x
f
. 

Это выражение называется условием нормировки функции распределения. 
Функция распределения f(x) позволяет определить среднее значение 
любой функции ϕ(x): 

∫ ϕ
>=
ϕ
<
b

a
dx
x
f
x
x
)
(
)
(
)
(
. 

В частности по этой формуле может быть найдено среднее значение 
параметра x: 

∫ ⋅
>=
<
b

a
dx
x
f
x
x
)
(
. 

Если состояние системы характеризуется двумя параметрами x и y, то 
вероятность её нахождения в состоянии со значениями этих параметров в 
интервалах x1≤ x≤ x2 и y1≤ y≤ y2 соответственно равна 

∫ ∫
=
≤
≤
≤
≤
2

1

2

1
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
x

x

y

y
dxdy
y
x
f
y
y
y
x
x
x
P
, 

где f(x,y)–двумерная функция распределения. 
Соответственно для бесконечно малых интервалов dx и dy вероятность 
dP(x,y) можно представить в виде 
dP(x,y) = f(x,y)dxdy. 
В случае статистической независимости значений параметров x и y 
друг от друга двумерная функция распределения f(x,y) равна произведению 
функций распределения f(x) и f(y): 
f(x,y) = f(x) f(y). 

Чем больше членов коллектива, тем точнее статистические 
предсказания. Для системы из N частиц относительное отклонение наблюдаемой физической величины M (например, числа частиц в единице объема) от ее среднего значения M  обратно пропорционально 
N , то есть: 

 
N
M
M
1
)
(
2
≅
>
∆
<
 
(1.2) 

Определение. Отклонения от среднего значения называются 
флуктуациями: 
 
M
M
M
−
=
∆
. 

Пример 
Оценим величину относительных равновесных флуктуаций температуры газового термометра, содержащего один моль газа. 
Один моль газа содержит число молекул, равное постоянной Авогадро: 
NA = 6,022∙1023моль–1. 
В соответствии с формулой (1.2) величина относительных равновесных флуктуаций температуры для рассматриваемого газового термометра 
приближённо равна 

12
2
10
3,1
1
)
(
−
⋅
=
≅
>
∆
<
N
T
T
 

Очевидно, что столь малое значение флуктуаций температуры зарегистрировать практически невозможно. 
Среднее арифметическое величины ∆М равно 0: 

 
<∆М> = <M – <M>> = <M> – <M> = 0, 
 

где 
M
M
≡
>
<
. 
Поэтому в качестве меры флуктуации берут среднеквадрати
ческую флуктуацию, равную 
>
∆
<
2
M
, которая рассчитывается 
по правилам статистического усреднения. Эти правила гласят, что 
среднее значение <x> измеряемой величины x равно: 

 
∑
∑
=
>=
<
=
i
i

N

i
i
i
x
P
N

x
N

x
1
, 
(1.3) 

где Ni – число измерений, которые дали результат xi; N = Σ Ni – 
общее число измерений. 
Величина Ni / N – относительная частота появления результата xi. 
В случае, когда N – велико: 

 
N
N
P
i

N
i
lim
∞
→
=
, 
(1.4) 

где Pi – вероятность появления результата x. 

Пример. 
Частота выпадений герба или решки при бросании монеты 

2
1
≅
P
. 

Итак, следуя общим правилам статистического усреднения, 
имеем: 

2

1

1

2

2
)
(

)
(

M
M
P
N

M
M
N

M
i
N

i
i

N

i
i
i
−
=

−

>=
∆
<
∑
∑

=

=
. 

1.4. Макро- и микросостояния 
Состояние макроскопического тела (т.е. тела, образованного 
огромным количеством молекул) может быть задано с помощью 
объема V, давления Р, температуры Т, внутренней энергии U и 
других макроскопических (т.е. характеризующих все тело в целом) величин. Это макросостояние характеризуется параметрами 
состояния – величинами Р, Т, V и т.д. 
Состояние 
макроскопического 
тела, 
охарактеризованное 
настолько подробно, что оказываются заданными состояния всех 
образующих тело молекул, называется микросостоянием. 
Всякое макросостояние может быть осуществлено различными способами, каждому из которых соответствует некоторое микросостояние.