Сборник задач по математике

А.А. Дадаян
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
 -е издание
3
Рекомендовавно Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве учебного пособия
для студентов учреждений среднего
профессионального образования
2021


УДК 51(075.32)
ББК 22.1я723
Д14
Р е ц е н з е н т ы :
доктор физико-математических наук, профессор кафедры
теории вероятностей МГУ Â.Â. Ñåíàòîâ;
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
прикладной математики Московского городского
психолого-педагогического университета Â.Í. Êðèâöîâ
Дадаян А.А.
Д14
Сборник задач по математике : учебное пособие / А.А. Дадаян. —
3-е изд.. —
: ФОРУМ : ИНФРА-М, 2021. — 352 с. —
(Профессиональное образование).
ISBN 978-5-91134-803-8 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-006305-8 (ИНФРА-М)
«Сборник задач по математике» дополняет необходимым практическим материалом учебник «Математика» для студентов образовательных
учреждений среднего профессионального образования того же автора.
Название глав и содержание сборника соответствуют названиям глав
учебника, причем в каждой главе упражнениям предшествует дополнительный теоретический материал (дополняющий соответствующий материал учебника и непосредственно относящийся к практике решения задач) и на конкретных примерах дается указание на те характерные ошибки, которые допускают учащиеся при решении задач. Пособие содержит
более сотни задач подробно решенных автором и около двух тысяч задач
для самостоятельного решения учащимися по всем темам курса.
В «Сборник» включен дополнительный материал из курса математики
девятилетней школы и он построен таким образом, что вместе с учебником «Математика» может служить пособием, как для подготовительных
отделений, так и для подготовки к вступительным экзаменам в вузы.
УДК 51(075.32)
ББК 22.1я723
ISBN 978-5-91134-803-8 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-006305-8 (ИНФРА-М)
© Дадаян А.А., 2007, 2012
© Издательство «ФОРУМ», 2007, 2012

Предисловие
Структура Сборника задач по математике полностью соответствует учебнику «Математика» того же автора, а его содержание дополняет теорию необходимым практическим материалом для прочного
усвоения и закрепления курса в целом. Незначительное отклонение
от программы, связанное с дополнением материала из пройденного
учащимися в школьном курсе математики, вызвано желанием автора
использовать данное пособие и для подготовительных отделений учреждений среднего профессионального образования.
Написать данное пособие автора побудило, в основном, отсуствие методической литературы для студентов средних специальных учебных заведений, в которой давался бы анализ ошибок,
допускаемых учащимися при решении задач по курсу математики. Опыт многих преподавателей показывает, что многие ошибки носят систематический характер. Довольно часто упражнения
выполняются
нерационально.
Учитывая
это
обстоятельство,
почти в каждой главе упражнениям предшествует некий теоретический материал (дополняющий соответствующий материал
учебника и непосредственно относящийся к практике решения
задач) и на конкретных примерах дается указание на те характерные ошибки, которые допускают многие учащиеся. Это заставит учащихся размышлять над прочитанным, а значит, и более глубоко усвоить учебный материал.
Название глав и их содержание повторяют учебник, поэтому
нет необходимости перечислять их здесь. Отметим только, что в
сборник включено около двух тысяч задач, предназначенных
учащимся, и более сотни задач, разобранных автором. Некоторые задачи, которые, по мнению автора, относятся к разряду
сложных, отмечены звездочкой.
При составлении сборника работа автора упрощалась наличием множества пособий, которыми он пользовался. Перечислить
их здесь, к сожалению, нет никакой возможности.
Сборник построен таким образом, что он может быть использован и как пеособие для подготовки к вступительным экзаменам в вузы.
Автор считает своим долгом выразить глубокую признательность рецензенту доктору физико-математических наук Сенатову В. В. за ценные советы и пожелания, которые способствовали
улучшению Сборника.
А. А. Дадаян

Глава 1
Основные теоретико-множественные
понятия математики
§1.1. Понятие множества
Как в повседневной жизни, так и в науке часто говорят о свойствах некоторых вещей, о каком-то коллективе, о совокупности
чисел, обладающих тем или иным свойством. Так, например, можно говорить о группе людей, скажем, студентов данной группы,
о странах латинской Америки, о числах, делящихся на 2 и т. д.
и т. п.
При этом каждый раз речь идет о наборе каких-то объектов, объединенных некоторым свойством (принадлежности студентов данной группе, стране, принадлежащей данной группе
стран). Во всех этих случаях само собой напрашивается термин
множество: множество студентов, множество стран, множество чисел и т. п.
Понятие «Множество» так же, как и понятия «Точка», «Прямая» и «Плоскость» в геометрии является одним из основных неопределяемых понятий математики. Это — простейшие понятия
математики, опираясь на которые определяются многие другие
понятия.
Раздел математики, носящий название теория множеств —
это своего рода математический язык, без которого невозможно
в полной мере заниматься математикой. Поэтому знакомство
с материалом настоящего параграфа, содержащего первоначальные
сведения из теории множеств, поможет нам в усвоении основного
материала курса элементарной математики.
Множество тех или иных объектов задается некоторым свойством Р, которым должен обладать или не обладать каждый рассматриваемый объект. Те объекты, которые обладают свойством
Р, и образуют данное множество. Так, если мы рассматриваем
натуральные числа и свойство Р заключается в том, чтобы «быть
четным», то соответствующее множество М состоит из всех чисел, кратных двум: 2, 4, 6, 8, ...
Таким образом, множество — это некоторый набор, класс или
совокупность
объектов,
каждый из
которых
обладает
одним
и тем же свойством, называемым характеристическим свойством
данного множества.

§1.1. Понятие множества
5
Каждый объект множества называется элементом этого множества. Если элемент а принадлежит множеству А, то этот факт
обозначается символом  (принадлежности): а А, если же элемент b не принадлежит множеству А, то для этого используют
символ (не принадлежности): b А.
Множество считается известным, если мы знаем его элементы
или в принципе можем их найти или описать. Множества принято обозначать прописными латинскими буквами. Перечень (список) элементов множества часто заключают в фигурные скобки.
Например, А = {1, 2, 3, 4, 6, 12} — это множество всех делителей
числа 12. Это пример так называемого конечного множества —
множества, содержащего конечное число элементов. Число элементов конечного множества называется порядком этого множества.
Существуют и бесконечные множества — множества, которые
содержат бесконечное число элементов, например, множество
всех окружностей на плоскости. Поэтому в подобных случаях
ограничиваются либо словесным описанием, либо пользуются заданием их характеристического свойства. В этом случае в записи
множества после первой фигурной скобки указывают обозначение общего элемента множества, потом ставят вертикальную черту или двоеточие, а потом — характеристическое свойство.
Например, запись
А = {x  x2 – 5x + 6 = 0} обозначает множество чисел х, которые являются корнями квадратного уравнения
x2 – 5x + 6 = 0. Это множество можно задать списком: А = {2, 3}.
В математике пользуются и множеством, которое не содержит
ни одного элемента. Это так называемое пустое множество. Пустое множество обозначается символом . Например, множество слонов, обитающих на Луне — пустое множество, так как на
Луне нет слонов.
Существуют множества, которые содержат один и тот же элемент в нескольких экземплярах. Например, слово «полотенце»
содержит 9 букв, однако в теории множеств одинаковые элементы принято считать за один элемент. Поэтому считается, что
множество букв в слове «полотенце» образует множество А = {п,
о, л, т, е, н, ц}, причем, порядок следования элементов в записи
множества не существенен. Например, {п, о, л, т, е, н, ц} и {о,
т, е, п,
н, ц, л} суть одно и то же множество. Такие множества
называются тождественными или равными. Для равных множеств употребляется знак «=». Так, если А = {n  2n, n  N}, где
N — множество натуральных чисел, а В — множество четных чисел, то А = В.

Глава 1. Основные теоретико-множественные понятия математики
Если каждый элемент множества А является в то же время
элементом множества В, то множество А называется подмножеством множества В. Этот факт записывается так: А  В (читается: множество В содержит множество А, или множество А содержится в множестве В). Знак  называется знаком включения. Например, множество четных чисел есть подмножество множества
натуральных чисел: если А = {n  2n, n  N}, В = {n | n  N}, то А  В.
Если А не содержится в В, то пишут: А  В.
Например, если Е — множество стран Европы, а А — множество стран Азии, то Е  А, точно так же А  Е.
Пустое множество  считается подмножеством любого множества.
Любое множество считается подмножеством самого себя: А  А.
Для графического изображения множеств и их свойств используются так называемые круги Эйлера, которые называются также кругами Венна1. Множество изображается кругом на плоскости, а его элементы мыслятся как множество точек этого круга.
Задачи
1.1.
Множество М состоит из треугольника, квадрата и круга.
Принадлежит ли М диагональ квадрата?
1.2.
Перечислите элементы:
а) множества четных однозначных чисел,
б) множества натуральных чисел, не меньших 7,
в) множества двузначных чисел, делящихся на 8.
1.3.
Дано множество А = {5, 10, 15, 20}. Укажите два множества, равные множеству А.
1.4.
Укажите все подмножества множества, состоящего из
трех элементов {a, b, c}.
1.5.
Образуйте все подмножества множества А = {k, l, m, n}.
Сколько таких множеств получилось?
1.6.
Сколько элементов должно быть в множестве, чтобы из
него можно получить всего а) 32 подмножества, б) 128 подмножеств?
1.7.
Существует ли такое множество, которое:
а) имеет всего 46 подмножеств;
б) не имеет ни одного подмножества?
1
Круги Эйлера — Венна называют еще диаграммами Эйлера — Венна. Мы
в дальнейшем будем использовать название «круги Эйлера».

§ 1.2. Операции над множествами
7
1.8.
Пусть А — множество натуральных решений неравенства
2  x  7, В — множество натуральных решений неравенства 1  x  6. Какие из следующих высказываний истинны: а) A  B, б) B  A, в) А = В?
1.9.
Изобразите на координатной прямой множество Х, если
а) Х = {x  x  R и –2  x  7};
б) Х = {x  x  R и –2  x  7};
в) Х = {x  x  R и x  7};
г) Х = {x  x  R и x 	 –2}.
§ 1.2. Операции над множествами
Над множествами можно производить различные операции.
Вспомним некоторые из них.
1. Пересечением множеств А и В называется множество тех и
только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и
множеству В.
Пересечение множеств обозначается символом :
А  В.
Например, если А = {а, b, с, d} и В = {а, b, k, 1, т}, то А  B =
= {а, b}.
Иногда пересечение множеств называется произведением множеств.
Равенство
А  В =  означает, что множества А и В не содержат одинаковых элементов.
Если
A  B, то, очевидно, А  В = А. Очевидно также, что
А  А = А.
Из определения пересечения двух множеств следует, что
А  В = В  А и (А  В )  С = А  (B  C).
Операцию пересечения можно распространить и на число
множеств, большее двух.
Например, если А = {a, b, c, d }, B = {a, c, m, n }, C = {b, c, k, l },
то А В  С = {c} (множество А В  С содержит один элемент с).
2. Объединением множеств А и В называется множество тех и
только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А и В.
Объединение множеств обозначается символом : A  В. Например, если
А = {а, b, с } и В = {b, с, d, е, f }, то А  В = {а, b, с, d, е, f }.
Иногда объединение множества называется суммой множеств.
Из определения объединения следует, что А  А = А.

Глава 1. Основные теоретико-множественные понятия математики
Соотношение А  В 
  равносильно двум соотношениям: А = 
и В = .
Читатель может без труда доказать, что если А  В = А, то это
означает, что В  A, если же A  B = B, то А  В.
Из определения объединения двух множеств следует, что
А  В = В  А и (А  В )  С = А  (B  C ) .
Операцию объединения можно распространить и на число
множеств, большее двух.
Например, если А = {a, b, с}, В = {b, с, d}, С = {а, т, n}, то
А  В  С = {а, b, с, d, т, n}.
3. Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, которые не
принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначается символом \ : А \ В.
Например, если А = {а, b, с, d } и В = {а, с, d, е, f }, то А \ В = {b}.
Из определения следует, что А \ А =  и если А \ В = , то
это означает, что А  B.
В частном случае, если множество В есть подмножество множества А, то разность А \ B называется дополнением множества В
до множества А и обозначается символом B. Например, если
А = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2}, то B = {3, 4}.
Пример 1. Доказать, что для любых множеств A, B, C
(A  B )  C = (A  C )  (B  C ).
Решение. Пусть элемент x (A  B )  C. Следовательно, элемент x входит в C и, кроме того,
по крайней мере, в одно из
множеств A или B. Но тогда x принадлежит хотя бы одному из
множеств A  C или B  C, т. е. x (A  C)(B  C).
Обратно, если x (A  C )  (B  C ), то x A  C или x  B  C,
следовательно, х С и, кроме того, x входит в A или B, т. е.
x A  B. Таким образом, x (A  B )  C.
Так как любой элемент x левой части входит в правую и наоборот, то эти множества совпадают.
Задачи
1.10.
Пусть A = {a1, a2, a3, a4}, B = {a3, a4, a5}. Найдите A  B,
A  B, A \ B.
1.11.
Докажите, что для любых множеств A, B, C
(A  B)  C = (A  C )  (B  C ).
1.12.
Пусть А – множество натуральных чисел, кратных 3, В –
множество натуральных чисел, кратных 7. Какие из чи

§ 1.2. Операции над множествами
9
сел 42, 15, 70, 26, 0 принадлежат множествам а) A  B,
б) A  B
1.13.
Найдите пересечение и объединение множеств: а) (–, 7]
и [1, ), б) [3, 7] и [0, 9], в) (–, 0] и [3, ).
1.14.
Найдите пересечение и объединение множества А =
= {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} и множества В, если:
а) В = {12, 14, 1, 20, 22, 24},
б) В = {14, 16, 18, 20},
в) B = {3, 4, 5, 6};
г) В = А.
Пример 2. Пусть А — множество натуральных чисел, кратных
3, В — множество натуральных чисел, кратных 7. Найти три числа, принадлежащих:
а) множеству А \ В; б) три числа, принадлежащих дополнению множества В до множества А.
Решение. а) Согласно определению, разность множеств А и В
состоит из элементов множества А, не входящих в множество В.
Поэтому множество А \ В в нашем случае состоит из натуральных чисел, кратных 3 и не кратных 7. Такими числами будут,
например, 9, 12, 30;
б) согласно определению дополнение множества В до множества А состоит из тех элементов множества В, которые не содержатся в множестве А. Следовательно, в нашем случае таковыми,
например, будут числа 14, 28, 35.
Задачи
1.15.
Множество А состоит из натуральных чисел от 2 до 10, а
множество В — из натуральных чисел от 5 до 20. Найдите
множества а) А \ В,
б) В \ А.
1.16.
Дано множество М = {a, b, c, d, e, f }. Укажите два подмножества множества М и найдите разность этих множеств и дополнения этих подмножеств до множества М.
1.17.
Найдите дополнения а) множества четных натуральных
чисел до множества N, б) множества отрицательных чисел до множества Z,
в) множества целых чисел до множества Q.
1.18.
Докажите, что для любых двух множеств А и В верно равенство: а) (A  B) = A  B, б) (A  B) = A  B.
1.19.
Отметьте на координатной прямой множество А
и укажите характеристическое свойство элементов его дополнения до множества R действительных чисел, если а) А =
= (–, 2], б) А = [2, 5], в) А = (–, 4), г) А = (–7, ).

Глава 1. Основные теоретико-множественные понятия математики
1.20.
Установите отношения между множествами А, В и С и
изобразите их при помощи кругов Эйлера, если
а) А — множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, кратных 10, С – множество
натуральных чисел, кратных 5,
б) А — множество треугольников, В — множество прямоугольных треугольников, С — множество остроугольных треугольников,
в) А — множество треугольников с углом в 45°, В — множество равнобедренных треугольников, С — множество равносторонних треугольников,
г) А — множество ромбов, В – множество пятиугольников, С — множество многоугольников, содержащих
угол 60°,
д) С = А  В,
е) С = А  В,
ж) С = А \ В,
з) С = В \ А.
1.21.
Установите, в каком отношении находятся множества А
и В, если
а) А = [3, 5], B = [4, 6],
б) А = (7; ), В = [8, 12),
в) А = (–, 0], B = [0, 7],
г) А = (–5, –
 В = (–1, 6).
1.22.
Даны множества А и В. Сформулируйте условия, при которых A  B  , A  B   A  B = В, A  B = В, если
А — множество учащихся группы, занимающихся в спортивном кружке, В — множество юношей группы.
Пример 3. На координатной плоскости заштриховать пересечение и объединение множеств точек, координаты которых
являются решениями указанных
неравенств (границу, принадлежащую найденному множеству, изображать сплошной
линией,
а
не
принадлежащую
множеству
—
пунктирной)
в случаях
а) x + y 	 0, y – x  0,
б) x2 + y2 < 4, x + y 	 0.
Решение. а) Прямая y = –x разбивает координатную плоскость на две полуплоскости, координаты
точек одной из которых и являются решениями неравенства x + y 	 0. Для выбора
этой полуплоскости  достаточно проверить принадлежность
к ней одной точки.
Аналогично, прямая y = x разбивает координатную плоскость
на две полуплоскости, координаты точек одной из которых являются решениями неравенства y – x  0. Для выбора нужной
полуплоскости  достаточно проверить принадлежность к ней