Основы теории массового обслуживания для экономистов

Москва
ИНФРА-М
2021

ОСНОВЫ ТЕОРИИ 
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

Г.А. СОКОЛОВ

Допущено УМО по образованию
в области прикладной информатики, статистики, 
антикризисного управления и математических методов
в качестве учебника для студентов, 
обучающихся по направлению подготовки бакалавров
38.03.01 «Экономика»

УЧЕБНИК

Соколов Г.А. 
Основы теории массового обслуживания для экономистов: 
учебник / Г.А. Соколов. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 128 с. 
— (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/7367.

ISBN 978-5-16-010055-5 (print)
ISBN 978-5-16-101757-9 (online)

В учебнике содержится описание марковских систем массового обслуживания, включены необходимые сведения из высшей математики, показаны аналитические и стохастические методы исследования реальных 
систем массового обслуживания. Приводится масса примеров применения 
этих систем и методов на практике.
Для студентов, аспирантов, научных и практических работников.

УДК  519(075.8)
ББК  22.172я73

УДК  519(075.8)
ББК  22.172я73
 
С59

С59

ISBN 978-5-16-010055-5 (print)
ISBN 978-5-16-101757-9 (online)
© Соколов Г.А., 2015

Р е ц е н з е н т ы:
Н.Г. Назаров, доктор технических наук, профессор;
В.В. Голиков, доктор технических наук;
А.Г. Баранов, кандидат технических наук;
Ю.В. Коровкин, кандидат технических наук;
В.Б. Соломоденко, кандидат технических наук

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Светлой памяти своего учителя –
Елены Сергеевны Вентцель
посвящает автор этот скромный труд

В В е д е н и е

Что такое теория массового обслуживания? Исчерпывающий 
ответ на этот вопрос, к тому же в популярной форме, дан В.Я. Розенбергом и А.И. Прохоровым в их книге (Розенберг, Прохоров, 1962). 
Во всех областях деятельности человек сталкивается с процессами, 
имеющими характер массового обслуживания. Наглядным примером 
является бытовое обслуживание, продажа билетов в театральных 
и железнодорожных кассах, медицинское обслуживание населения 
и т.д. Естественно, большое значение имеет качество обслуживания, 
например, будет ли работать телевизор после ремонта? Однако, кроме качества обслуживания, не меньшее значение имеет организация 
обслуживания: как скоро будет произведен ремонт отказавшего изделия, как быстро приедет врач скорой помощи, есть ли в мастерской детали, необходимые для ремонта автомобиля и т.д. К организационным проблемам массового обслуживания относится число магазинов в районе, их расположение, наличие в городе производств 
зонтов, колбасы и отверток. Эффективное решение этих вопросов 
возможно только на базе теории средств массового обслуживания 
и применения электронной вычислительной техники.
Итак, в науке, производстве и в быту часто возникают такие ситуации, которые требуют обслуживания большого числа требований или 
заявок. При этом под заявкой понимается запрос на удовлетворение 
тех или иных потребностей, а под обслуживанием — удовлетворение 
этих потребностей. Те средства, которые осуществляют обслуживание, 
в том числе и люди, ЭВМ, технические устройства, будем называть 
обслуживающими приборами (ОП), короче говоря, под ОП в дальнейшем будем понимать то, что способно в данный момент времени 
обслуживать только одну заявку. Процесс работы ОП, как правило, 
сопровождается образованием так нелюбимых населением очередей. 
Борьба с этим явлением требует привлечения аппарата теории массового обслуживания. Недаром в том же смысле используется термин 
«теория очередей». ОП совместно с обслуживающим персоналом объединяются обычно в так называемые системы массового обслуживания (СМО).
Что является общим в работе таких систем? Прежде всего на вход 
СМО поступает от одного или нескольких источников поток заявок, 

называемый входящим потоком. Каждая заявка в момент 
поступления начинает либо обслуживаться, если хотя бы один ОП 
свободен, либо становится в очередь, если все ОП заняты и есть  
место в очереди, либо теряется, если все ОП заняты и нет места 
в очереди. Поток обслуженных заявок, покидающих СМО, называется выходящим. Любая СМО способна оценить тот или иной способ 
организации процесса обслуживания. Для этой цели используются 
такие показатели, как стоимость, время, длина очереди, число заявок 
в СМО или в очереди и т.д.
Настоящий учебник завершает цикл учебников и учебных пособий, 
осуществляющих методическое обеспечение изучения стохастических 
процессов в экономике студентами экономико-математического факультета РЭУ им. Г.В. Плеханова. В указанный цикл входят:
Соколов Г.А. Основы теории вероятностей. М.: ИНФРА-М, 2014;
Соколов Г.А. Основы математической статистики. М.: ИНФРА-М, 
2014;
Соколов Г.А., Чистякова Н.А. Справочное пособие по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2007;
Соколов Г.А., Сагитов Р.В. Введение в регрессионный анализ 
и планирование регрессионных экспериментов в экономике. М.: 
ИНФРА-М, 2010;
Соколов Г.А., Сагитов Р.В. Теория случайных процессов для экономистов. М.: Физматлитература, 2010;
Соколов Г.А. Управляемые цепи Маркова в экономике (Марковские 
цепи с доходами). М.: ИНФРА-М, 2014;
Соколов Г.А., Чистякова Н.А. Методы статистического моделирования для экономистов. М.: ФГБОУ ВПО РЭУ им. Г.В. Плеханова, 
2011.
Считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность рецензентам: профессору, доктору технических наук Н.Г. Назарову 
и доктору технических наук В.В. Голикову за их очень полезные замечания, своим ученикам, кандидатам технических наук Ю.В. Коровкину, В.Б. Соломоденко и А.Г. Баранову, а также всем сотрудникам кафедры высшей математики Российского экономического 
университета им. Г.В. Плеханова, принимавшим активное участие 
в обсуждении материалов настоящего учебника.

СпиСок Сокращений

ВВС — вектор вероятностей состояний

ВНВ — вектор начальных вероятностей

ГС 
— граф состояний

ДРУ — дифференциально-разностное уравнение

ЗР 
— закон распределения

КРФ — корреляционная функция

КВФ — ковариационная функция

ЛАУ — линейное алгебраическое уравнение

МО 
— математическое ожидание

МСМ — метод статистического моделирования

МСП — марковский случайный процесс

ОП 
— обслуживающий прибор

ПВ 
— поток вероятности

ПГР — процесс гибели и размножения

ПП 
— простейший поток

ПР 
— плотность распределения

ПРС — пространство состояний

ПФ 
— производящая функция

РГС 
— размеченный граф состояний

СВ 
— случайная величина

СМО — система массового обслуживания

СП 
— случайный процесс

ТИ 
— типовое изображение

ТФ 
— типовая функция

ТПЛ — таблица преобразований Лапласа

ФР 
— функция распределения

ЦМ 
— цепочка (цепь) Маркова

Глава 1.  Общие сведения О теОрии 
массОвОгО Обслуживания

1.1.  
деСять задач маССоВоГо обСлужиВания 
экономичеСкоГо Содержания

Область применения теории массового обслуживания охватывает 
практически все стороны человеческой деятельности: от обычного 
бытового обслуживания до военного дела. Однако в первую очередь 
следует назвать область промышленного производства и производственного планирования. Массовое обслуживание имеет место при 
обеспечении заводами-поставщиками предприятий-потребителей 
и предприятий торговой сети своей продукцией, при обеспечении 
производителей сырьем; при организации взаимодействия между 
собой заводов и цехов внутри заводов и т.п. Рассмотрим несколько 
конкретных примеров «участия» массового обслуживания в промышленном производстве, на ремонтных работах, при снабжении потребителей товарами и т.д.
1. Восстановление отказавших станков ремонтными бригадами. 
Предположим, что в цехе имеется одна бригада специалистов, осуществляющих ремонт всех многообразных отказов оборудования. 
Ремонт различных отказов требует разного времени, которое можно 
считать случайной величиной. Чем меньше время ремонта, в течение 
которого оборудование не работает, тем выгоднее цеху. Кроме того, 
во время ремонта, например, одного станка может отказать второй, 
во время ремонта второго может отказать третий и т.д. Иными словами, возникает очередь из станков, ожидающих ремонта.
Имеет место противоречивая ситуация: при наличии одной ремонтной бригады может возникнуть очень длинная очередь и, как 
следствие, — длительные простои цеха. Если же увеличить число 
ремонтных бригад, то возникнут простои у бригад и, как следствие, — перерасход средств на их содержание. Очевидно, найти оптимальное число ремонтных бригад можно только с использованием 
аппарата теории массового обслуживания.
2. Воспитанный служащий торопится на работу и вдруг обнаруживает, что у него порвались брюки. Что делать? Обратиться в мастерскую, но там большая очередь. Возникает несколько вопросов, 
в том числе: будет ли этот человек допущен к обслуживанию, если 
будет, то хватит ли времени на ремонт?

3. Телефонная станция может одновременно обеспечить разговоры 
лишь для ограниченного числа абонентов. Если после приема данной 
заявки число необходимых каналов связи будет превышать возможности системы, то заявка получит отказ. У руководителя телефонного узла возникает ряд вопросов: оправдается ли увеличение числа 
каналов; какова вероятность для очередного абонента получить отказ; какова степень загрузки всех каналов и т.д.?
4. Рассмотрим большое автохозяйство, в котором автомашины 
в процессе эксплуатации могут выходить из строя и ремонтироваться. 
Для решения многих подобных задач важно знать среднее число автомашин, находящихся в ремонте. Для этого необходимо знать, 
сколько автомашин выходит из строя за определенный интервал времени, а также — определить время ремонта. Все эти величины являются случайными.
5. Предположим, что на телеграф поступают телеграммы-молнии. По получении такой телеграммы почтальон обязан немедленно 
доставить ее адресату. Поток телеграмм можно считать случайным. 
Необходимо определить вероятность того, что в процессе доставки 
одновременно будет находиться заданное число телеграмм. Мы имеем задачу массового обслуживания, где заявкой на обслуживание 
является поступление телеграммы, обслуживанием — доставка телеграммы, а ОП — почтальоны.
6. Предположим, что на перегоне от Москвы до Тбилиси некая машина попала в аварию. Какой способ организации ремонта лучше 
выбрать: вызвать мобильную мастерскую или доставить автомашину 
в один из стационарных центров?
7. Для ремонта служебных автомашин выделено некоторое число 
мастерских. Требуется определить число машин в исправном состоянии и число машин, требующих ремонта и профилактического обслуживания.
8. В небольшом городе имеется единственная мастерская по ремонту зонтов. Очередь из неисправных зонтов может быть весьма значительной. Сколько времени владелец неисправного зонта будет 
ждать окончания ремонта?
9. В городе имеется контора, принимающая от населения заявки 
на перевозку грузов. Когда число заявок достигает определенной величины, их прием прекращается. Какова вероятность того, что очередная заявка не будет принята для обслуживания?
10. При проектировании производственных поточных линий типичной является задача ликвидации так называемых узких мест. Необходимо так организовать процесс, чтобы устройства во всех звеньях были 
загружены равномерно.

1.2.  
клаССификация и оСноВные СВойСтВа  
СиСтем маССоВоГо обСлужиВания

СМО можно классифицировать по разным признакам. Приведем 
основные из них.
 
• Число обслуживающих приборов — m. СМО с  m = 1 называют 
одноканальной, с  m = ∞ — бесконечно канальной и m-канальной, 
если  ∞ > m > 1.  Последняя может одновременно обслуживать 
m заявок.
 
• Закон распределения времени Т между соседними требованиями. В частности:
 
– T ∈ Экс(l) (Т подчиняется экспоненциальному закону с параметром  l);
 
– T ∈ Эрл(l, k) (Т подчиняется закону Эрланга порядка k);
 
– T ∈ R (Т подчиняется равномерному закону распределения).
 
• Закон распределения времени обслуживания заявки (может 
принимать те же значения, что и закон распределения времени Т). 
Обслуживание вновь поступившей заявки начинается немедленно, 
если имеется свободный прибор, иначе заявка становится в очередь 
(поступает в накопитель), если для нее имеется место.
 
• Емкость накопителя (допустимая длина очереди на обслуживание) — Н. Вместо Н часто используется К = m + Н. Если К = m, 
и если все приборы заняты, то поступившая заявка теряется. Когда 
К > m и в накопителе имеется свободное место, то заявка ставится 
в очередь. В противном случае она теряется. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживанию одной из заявок, находящихся в очереди.
 
• Клейнрок ввел в рассмотрение так называемые системы массового обслуживания (СМО) с саморегулированием. Когда образуется 
большая очередь заявок на обслуживание, т.е. возникает риск перегрузки системы, естественным является снижение интенсивности 
входного потока. Для описания такой ситуации Клейнрок предложил 
в (Клейнрок, 1979) следующую модель процесса гибели и размножения

λ
λ
µ
µ
k
k
M
k
k
M
k
M
k
=
−
≤
≤
>
=
=
(
),
,
,
, , ...,
0
0
1 2

где М > 0 называется параметром саморегулирования, или числом 
источников заявок (требований). При  М = 1lk полагают равной  l 
при всех k и говорят о неограниченном входном потоке.
 
• В качестве второго способа борьбы с перегрузкой системы 
Клейнрок предложил следующую модель процесса гибели и размножения

λ
µ
µ
i
i

c

i
i
=
+
=
=
1
0 1 2
,
, , , ...,
,

где c > 0 называется параметром переполнения.
Наряду с основными, широко используется ряд дополнительных 
признаков классификации СМО.
 
• Организация очереди заявок и выбора заявок из нее. К числу 
наиболее популярных форм организации очереди следует отнести: прямую последовательность (заявка, поступившая раньше, получает 
меньший номер) и обратную (заявка, поступившая раньше, получает больший номер). Этим формам организации очереди соответствуют формы организации выбора заявок из очереди: «первым пришел — первым обслужили» и «первым пришел — последним обслужили». Наряду с бесприоритетным выбором заявок на обслуживание 
используются также приоритетные. Приоритет определяется заданием значения некоторого параметра.
 
• Предельные временные характеристики процесса обслуживания. Назовем прежде всего предельно допустимое время пребывания 
заявки в системе  tП и предельно допустимое время ожидания  tож 
начала обслуживания. Если  0 < tП,  tож < ∞,  то при наличии свободного места в очереди заявка занимает это место и ждет начала обслуживания. Превышение времени пребывания в системе (время 
ожидания плюс время обслуживания) или времени ожидания (пребывания в очереди) влечет также потерю заявки. Если  tож = 0,  то 
поступившая заявка либо немедленно начинает обслуживаться, либо 
теряется. Системы, в которых предполагается возможность потери 
заявки, называются СМО с отказами. При  K > m и  tП ≠ 0  заявка 
может ожидать обслуживания, пребывая в очереди определенное 
время. Такие системы называют СМО с ожиданием.
 
• Реальные процессы, протекающие в СМО, могут быть однофазными и многофазными. Типичным примером многофазной системы является цех с обработкой изделий на последовательных станках, выполняющих заданный технологический процесс (заданные 
фазы обслуживания). Интересный пример с пошивочной мастерской 
некогда привел Аркадий Райкин. В числе фаз обслуживания он назвал пришивание сначала гульфика, а затем пуговиц и т.д. Выходящий поток заявок после некоторой фазы обслуживания является 
входящим для очередной. В общем случае его характеристики определяются моделированием.
 
• Любой прибор время от времени выходит из строя и подлежит 
ремонту. Существует много способов обеспечения высоконадежной 
работы СМО, включая холодное и горячее резервирование, проведение профилактик, мгновенную замену отказавших элементов, различные виды ремонта и т.д. Наконец, обслуживание заявки в случае 

отказа прибора может быть прекращено, с возможным ее дообслуживанием в том или ином режиме. 
 
• СМО может быть полнодоступной, когда любой из обслуживающих приборов доступен для любой входящей заявки и неполнодоступной — в противном случае.
 
• Когда число заявок входящего потока конечное, то СМО называют замкнутой, в противном случае разомкнутой.
Перечислить все возможные особенности функционирования 
СМО и признаки их классификации невозможно, однако наиболее 
популярные перечислены выше.
Цель исследования СМО состоит, как правило, в оптимальном 
выборе (в смысле заданного критерия эффективности функционирования) ее параметров, что, в свою очередь, требует установления 
с необходимой точностью зависимости между характером потока 
заявок, числом обслуживающих приборов, их производительностью, дисциплиной и эффективностью обслуживания. В простейших случаях эта задача решается аналитически, но в большинстве 
случаев решение достигается методом статистического моделирования (методом Монте-Карло).