Финансовые вычисления. Теория и практика

Я.С. МЕЛКУМОВ
ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
УЧЕБНОСПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
2е издание
Рекомендовано
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлениям подготовки 38.03.01 «Экономика»,
38.03.02 «Менеджмент»
 (квалификация (степень) «бакалавр»)
Москва
ИНФРА
М
2021

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11
УДК 336(075.8)
ББК 65.261я73
 
М47
М47
Мелкумов Я.С. 
Финансовые вычисления. Теория и практика: учебносправочное пособие / Я.С. Меркулов. — 2-е изд. — Москва :
ИНФРА-М, 2021. — 408 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).
ISBN 978-5-16-005751-4 (print)
ISBN 978-5-16-102298-6 (online)
В работе даются теоретические обоснования и рекомендации по практическому применению финансово&экономического анализа при осуществлении кредитных, инвестиционных и ряда других коммерче 
ских операций. 
Кроме того, в ней содержатся начальные сведения по валютным и актуарным 
(страховым) вычислениям. Излагаемые методы финансовых вычислений иллюстрируются примерами с подробными решениями.
Пособие предназначено для предпринимателей, менеджеров, рабо 
т 
ников 
финансово&кредитных учреждений, преподавателей экономиче 
ских дисциплин и студентов, обучающихся по экономическим специальностям.
УДК 336(075.8)
ББК 65.261я73
© Мелкумов Я.С., 2002, 2007 
ISBN 978-5-16-005751-4 (print)
ISBN 978-5-16-102298-6 (online)

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ....................................................................................7
ГлаваI
ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ............................................................8
1.1. СÀщностьпроцентныхплатежей ........................................8
1.2. ВычислениенаращенныхсÀммнаосновепростых
процентныхставо³ ..........................................................10
1.3. ВычислениенаращенныхсÀммнаосновепростых
Àчетныхставо³.................................................................15
1.4. Процентныевычислениясиспользованием
постоянно’оделителя(дивизора)....................................17
1.5. Вычислениясиспользованиемосновной
пропорциональнойзависимости ...................................... 19
1.6. Расчетывзало’овыхоперациях ......................................22
1.7. Потребительс³ий³редит .................................................24
1.8. Дис³онтированиеие’осÀщность ....................................31
1.9. Математичес³оедис³онтирование.Определение
Àровняпроцентнойстав³иипродолжительностиссÀды .....32

1.10. Бан³овс³оедис³онтирование(бан³овс³ийÀчет) .............34

1.11. Определениесро³овссÀды,величинпростых
процентныхиÀчетныхставо³........................................... 39
ГлаваII
СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ ........................................................42
2.1. ВычислениенаращенныхсÀммнаосновесложных
де³Àрсивныхпроцентов ...................................................42
2.2. ВычислениенаращенныхсÀммнаосновесложных
антисипативныхпроцентов ..............................................50
2.3. Дис³онтированиепосложнойпроцентнойстав³е ...........51
2.4. Дис³онтированиепосложнойÀчетнойстав³е .................55
2.5. Сравнениемножителейнаращенияидис³онтирования ....58
2.6. Действияснепрерывнымипроцентами ...........................58
2.7. РасчетнаращенныхсÀммвÀсловияхинфляции............... 64
3

ГлаваIII
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК.
ИЗМЕНЕНИЕ УСЛОВИЙ КОММЕРЧЕСКИХ СДЕЛОК .........70
3.1. Э³вивалентностьпроцентныхставо³ ...............................70
3.2. Средниевеличинывфинансовыхрасчетах......................78
3.3. Консолидацияплатежей ..................................................85
3.4. ОбщийслÀчайизмененияÀсловий³оммерчес³их
сдело³ ............................................................................. 91
ГлаваIV
РЕНТНЫЕПЛАТЕЖИИИХАНАЛИЗ ................................... 94
4.1. Финансовыеренты.Основныепонятия ........................... 94
4.2. НаращеннаясÀммаобычнойренты ................................. 96
4.3. Современнаявеличинаобычнойренты ......................... 102
4.4. Определениепараметровфинансовыхрент .................. 108
4.5. ОпределениепараметровдрÀ’ихвидоврентных
платежей ....................................................................... 117
ГлаваV
КОНВЕРСИЯ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ .................................... 126
5.1. Простые³онверсии ....................................................... 126
5.2. ИзменениеÀсловийренты ............................................. 127
5.3. Консолидациярент ........................................................ 132
ГлаваVI
ПЕРЕМЕННЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ ................................. 136
6.1. Пото³исразовымиизменениямиплатежей................... 136
6.2. Переменнаярентаспостояннымабсолютным
иотносительнымизменениемеечленов ....................... 137
ГлаваVII
ПОГАШЕНИЕ СРЕДНЕСРОЧНЫХ И ДОЛГОСРОЧНЫХ
КРЕДИТОВ........................................................................... 143
7.1. Среднесрочныеидол’осрочные³редиты.
Основныепонятия ......................................................... 143
7.2. По’ашениедол’аравнымисрочнымиÀплатами ............. 144
7.3. По’ашениезаймаравнымивыплатамиосновно’одол’а .... 151
7.4. По’ашениезаймапеременнымивыплатами
основно’одол’а ............................................................ 152
7.5. Конверсиязаймов ......................................................... 155
7.6. Консолидациязаймов .................................................... 158
7.7. Формированиефондапо’ашения .................................. 159
7.8. Ль’отные³редиты .......................................................... 167
7.9. По’ашениеипотечнойссÀды ......................................... 171
4

ГлаваVIII
АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФИНАНСОВЫХ
ОПЕРАЦИЙ .......................................................................... 177
8.1. Доходность³а³по³азательэффе³тивности
финансовойоперации ................................................... 177
8.2. Расчетстав³иполнойдоходностиприссÀдных
иÀчетныхоперацияхсÀдержанием³омиссионных ........ 179
8.3. ВыбороптимальныхÀсловийв³оммерчес³их
³онтра³тах ..................................................................... 182
8.4. Предельныезначенияпараметров³оммерчес³их
³онтра³тов ..................................................................... 190
8.5. Доходностьтор’овыхоперацийсве³селями ................. 193
8.6. Операциисдепозитнымисертифи³атами ..................... 196
ГлаваIX
АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ
ВОБЛИГАЦИИИАКЦИИ ................................................... 201
9.1. Основныехара³теристи³иобли’ацийиметоды
ихрасчета ..................................................................... 201
9.2. Дополнительныехара³теристи³иобли’аций ................. 211
9.3. Анализпортфеляобли’аций .......................................... 217
9.4. Принципыоцен³иинвестицийвценныебÀма’и ............. 221
9.5. Анализвлиянияфа³торовнаоценочныепо³азатели
обли’ации ...................................................................... 226
9.6. По’ашениеиизмерениестоимостиобли’ационно’о
займа............................................................................. 228
9.7. А³циииихоцен³а .......................................................... 231
ГлаваX
ФОРФЕЙТИНГ–ИНСТРУМЕНТОПТИМИЗАЦИИ
ФИНАНСОВЫХ РЕСУРСОВ ................................................ 245

10.1. СÀщностьфорфейтин’овойоперации ........................... 245

10.2. Анализпозициипродавца.............................................. 246

10.3. Анализпозицийпо³Àпателяибан³а .............................. 256
ГлаваXI
АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕАЛЬНЫХ
ИНВЕСТИЦИЙ ..................................................................... 259
11.1. Принципыпринятияинвестиционныхрешений
иоцен³аденежныхпото³ов ........................................... 259
11.2. Методрасчетачисто’оприведенно’оэффе³та
(дохода)......................................................................... 264
11.3. Определениесро³ао³Àпаемостиинвестиций ............... 271
5

11.4. ОпределениевнÀтреннейнормыдоходности
инвестиционныхпрое³тов.............................................. 275
11.5. Расчетинде³сарентабельностии³оэффициента
эффе³тивностиинвестиций ........................................... 278
11.6. Анализальтернативныхпрое³тов .................................. 280
11.7. Анализэффе³тивностиинвестиционныхпрое³тов
вÀсловияхинфляции ..................................................... 285
11.8. Рис³ипланированиеинвестиционныхпрое³тов ............ 289
11.9. Оптимальноеразмещениеинвестиций .......................... 301
11.10. Лизин’³а³формафинансированияинвестиционных
прое³тов ........................................................................ 304
11.11. ОпределениестоимостиинвестиционныхресÀрсов ...... 308
ГлаваXII
ОСНОВЫ ВАЛЮТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ .............................. 312
12.1. Девизыивалютный³Àрс ............................................... 312
12.2. Пере³рестные³Àрсы ..................................................... 315
12.3. Видысдело³синостраннойвалютой ............................ 318
12.4. Расчетфорвардно’о³Àрса-аÀтрайта ............................. 326
12.5. Форвардныепере³рестные³Àрсы ................................. 327
12.6. Разновидности³ассовыхифорвардныхсдело³ ............ 329
ГлаваXIII
ВВЕДЕНИЕВАКТУАРНЫЕРАСЧЕТЫ ................................ 331
13.1. Основныепонятия ......................................................... 331
13.2. Построениеединовременныхнетто-ставо³
пострахованиюжизниинаслÀчайсмерти .................... 332
13.3. Расчетнетто-ставо³по³оммÀтационнымчислам .......... 339
13.4. Расчет’одовыхнетто-став³иибрÀтто-став³и ............... 343
ПРИЛОЖЕНИЕ1. Поряд³овыеномераднейв’одÀ.................... 347
ПРИЛОЖЕНИЕ2. Множителинаращения(сложныепроценты).... 348
ПРИЛОЖЕНИЕ3. Дис³онтныемножители(сложныепроценты) .... 360
ПРИЛОЖЕНИЕ4. Коэффициентынаращения’одовойренты .... 372
ПРИЛОЖЕНИЕ5. Коэффициентыприведения’одовойренты ... 384
ГЛОССАРИЙ ............................................................................. 396
ЛИТЕРАТУРА ............................................................................ 406

ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе изложены основные понятия, методы
расчета и анализа, используемые в финансовых операциях, при
оценке эффективности инвестиций в ценные бумаги и реальные
инвестиции, а также начальные сведения по валютным и актуарным (страховым) вычислениям.
 В 1996 и 2002 гг. в Издательском Доме «ИНФРА-М» автором были опубликованы работы аналогичного содержания. Настоящее издание не претерпело структурных изменений по сравнению с изданием, выпущенным в 2002 г., однако в значительной степени подверглись переработке примеры и задачи. Это
обусловлено теми изменениями, которые произошли в отечественной экономике (изменение налоговых ставок, кредитных ставок
на рынках капитала и др.).
Профессиональное занятие бизнесом требует умения оценивать все возможные варианты финансовых последствий при совершении любой сделки. Многие решения финансового характера, принимаемые на интуитивной основе, могут оказаться
ошибочными. Владея знаниями и приемами формализованных
оценок финансовых последствий, в большинстве случаев можно избежать дорогостоящих ошибок.
В последнее время финансовые вычисления приобрели новое
качественное содержание. В отечественной финансовой практике
появились такие виды сделок, как учет долговых обязательств,
фьючерсные, опционные, форфейтинговые и другие операции.
Поэтому владение методами современных финансовых вычислений является необходимым условием успешной профессиональной деятельности предпринимателя, менеджера, банковского
работника, бухгалтера, экономиста. Эти методы приобретают все
большее значение при принятии управленческих решений, когда для их обоснования необходим расчет нескольких вариантов
и нахождение оптимального.
Цель данной работы — познакомить читателя с различными
методами финансовых расчетов, применяемыми в бизнесе и управленческой деятельности.
7

ГлаваI
ПРОСТЫЕПРОЦЕНТЫ
1.1. СУЩНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ
Одним из факторов, влияющих на принятие финансовых решений, является временной фактор. Сущность этого фактора
заключается в неравноценности денег, относящихся к разным
моментам времени. Денежная сумма, предоставленная в кредит,
утрачивает через определенное время свою покупательную способность из-за инфляции, а также в результате того, что эта сумма,
будучи инвестирована, могла бы принести доход в будущем.
Поэтому владелец капитала, предоставляя его на определенное
время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: величины капитала, предоставляемого в кредит; срока, на который
предоставлен кредит; величины ссудного процента или, иначе,
процентной ставки.
Процентная ставка характеризует доходность кредитной сделки
для кредитора и стоимость кредита для заемщика. Она показывает, какая доля от суммы выданного кредита будет возвращена
владельцу капитала в виде дохода. Поэтому процентная ставка
рассчитывается как отношение дохода, полученного за определенный период (чаще всего за год), к величине капитала, предоставляемого в кредит. Величина процентной ставки определяется отношением
(1.1)
,
I
i
P n
=
⋅
где i — процентная ставка, выраженная в долях единицы (десятичной дробью);
I — величина дохода владельца капитала;
Р — сумма капитала, предоставляемого в кредит;
n — срок ссуды в годах.
Ïðèìåð 1.1. Фирма приобрела в банке вексель, по которому через
год должна получить 66,0 тыс. руб. (номинальная стоимость векселя). В момент приобретения цена векселя составила 60 тыс. руб.
Определим доходность этой сделки, т.е. размер процентной ставки.
8

По условию задачи первоначальная сумма капитала, предоставляемого в кредит, P = 60,0 тыс. руб., номинальная сумма векселя
S = 66 тыс. руб., доход владельца векселя I = 66 − 60 = 6 тыс. руб.
Отсюда 
6,0
0,1(10,0%).
60,0 1
i
 
=
=
⋅
Таким образом, на каждые вложенные в вексель 1000 руб.
фирма получит доход в размере 100,0 руб.
Ïðèìåð 1.2. Коммерческий банк приобрел на 2,0 млн руб. государственных облигаций со сроком погашения через 6 месяцев. По истечении указанного срока банк рассчитывает получить по облигациям 2140 тыс. руб. Определим доходность ГКО.
I = 2140 − 2000 = 140 тыс. руб.;
140
0,14 (14,0%).
2000 0,5
i
 
=
=
⋅
Используя выражение для расчета процентной ставки, мы
можем записать, что величина дохода определяется по формулам:
I = P ⋅ n ⋅ i;
(1.2)
.
100
i
I
P n
=
⋅
⋅
(1.3)
В формуле (1.3) процентная ставка i выражена не десятичной
дробью, а в процентах.
В финансовых расчетах процентная ставка может измеряться не только в процентах или десятичных дробях, но и в натуральных дробях. Как правило, они используются с точностью
до 1/32.
Величину I часто называют процентными деньгами или процентным доходом, а иногда просто процентами. В дальнейшем
и мы будем пользоваться этим термином.
В большинстве случаев начисление процентов производится
с помощью дискретных процентов, т.е. когда в качестве периодов начисления берутся год, полугодие, квартал, месяц или определенное число дней. В некоторых случаях используется ежедневное или непрерывное начисление процентов.
В практике используются различные методы начисления процентов. Основное их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма
9

может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться; в зависимости от этого различают следующие методы
начисления процентов:
• по простым процентным ставкам;
• по сложным процентным ставкам.
Сущность метода начисления по простым процентным ставкам сводится к тому, что проценты начисляются в течение всего срока кредита на одну и ту же величину капитала, предоставляемого в кредит.
Метод начисления по сложным процентным ставкам заключается в том, что в первом периоде начисление производится на
первоначальную сумму кредита, затем она суммируется с начисленными процентами и в каждом последующем периоде проценты
начисляются на уже наращенную сумму. Таким образом, база для
начисления процентов постоянно меняется. Иногда этот метод
называют «процент на процент».
Другое различие методов начисления процентов заключается в установлении процентной ставки в качестве фиксированной или переменной величины. Так, например, в контракте может
быть определена процентная ставка на первый год в одном размере, а на последующие годы предусматривается ее рост (снижение) на определенную величину. Кроме того, могут применяться
«плавающие» ставки, величина которых «привязывается» к темпам инфляции или ставкам рефинансирования, объявляемым
Центральным банком, или же ее изменение оговаривается какими-либо другими условиями. Например, в контракте оговаривается первоначальная процентная ставка (базовая ставка),
которой пользуются только один период для начисления процентов (допустим, первый квартал), в дальнейшем она будет расти
в соответствии с ростом темпов инфляции.
1.2. ВЫЧИСЛЕНИЕНАРАЩЕННЫХСУММНАОСНОВЕ
ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
По условиям кредитного контракта начисленные проценты могут выплачиваться кредитору или по мере их начисления в каждом периоде, или совместно с основной суммой долга по истечении срока контракта. В последнем случае сумма, получаемая
кредитором, называется наращенной суммой. Таким образом,
наращенная сумма есть результат сложения суммы, предоставляемой в кредит, и начисленных процентов.
10