Эконометрика. Практикум

С.А. БОРОДИЧ

ЭКОНОМЕТРИКА

ПРАКТИКУМ

2021

 Москва
 «ИНФРАМ»

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 330.43(075.8)
ББК 65в6я73
 
Б83

Бородич С.А.

Эконометрика. Практикум : учебное пособие / С.А. Бородич. — 

Москва : ИНФРА-М, 2021. — 329 с. : ил. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-009429-8 (ИНФРА-М, print) 
ISBN 978-5-16-100513-2 (ИНФРА-М, online)

Пошагово расписано решение основных задач по эконометрике, 

приводятся необходимые пояснения, отмечаются возможные проблемы и даются рекомендации по их преодолению. Решение всех задач 
приведено на основе использования калькулятора и Excel. Это делает 
пособие доступным для любого пользователя и позволяет углубиться 
в суть решаемых задач.

Для студентов и преподавателей экономических специальностей 

вузов.

УДК 330.43(075.8)

ББК 65в6я73

Б83

 
© Бородич С.А., 2013

 
© ООО «Новое знание», 2013

ISBN 978-5-16-009429-8 (ИНФРА-М, print) 
ISBN 978-5-16-100513-2 (ИНФРА-М, online)

Рецензенты:

Корзников А.Д., заведующий кафедрой высшей математики № 2 Белорусского национального технического университета, кандидат физико-математических наук;
Максимов С.И., заведующий кафедрой РИВШ Белорусского государственного университета, кандидат технических наук

Оглавление

Предисловие................................................................................................................................6

Глава 1. Вероятностные задачи в экономике.............................................................8
1.1..Базовые.формулы.теории.вероятностей.................................................................8
1.2..Случайные.величины.и.их.основные.характеристики....................................10
1.3..Законы.распределения.случайных.величин.и.таблицы.
критических.точек.распределений..........................................................................13
Примеры решения задач......................................................................................................14

Глава 2. Обработка статистических данных.............................................................30
2.1..Базовые.концепции.математической.статистики..............................................30
2.2..Вычисление.выборочных.характеристик.............................................................31
Примеры решения задач......................................................................................................34

Глава 3. Статистические оценки и проверка гипотез............................................47
3.1..Виды.оценок.и.их.свойства.......................................................................................47
3.2..Статистическая.проверка.гипотез...........................................................................51
3.3..Проверка.гипотезы.о.математическом.ожидании.нормальной.СВ.
при.известной.дисперсии...........................................................................................52
3.4..Проверка.гипотезы.о.математическом.ожидании.нормальной.СВ.
при.неизвестной.дисперсии.......................................................................................53
3.5..Проверка.гипотезы.о.величине.дисперсии.нормальной.СВ.........................54
3.6..Проверка.гипотезы.о.равенстве.математических.ожиданий.двух.
нормальных.СВ.при.известных.дисперсиях.......................................................56
3.7..Проверка.гипотезы.о.равенстве.математических.ожиданий.двух.
нормальных.СВ.при.неизвестных.дисперсиях..................................................56
3.8..Проверка.гипотезы.о.равенстве.дисперсий.двух.нормальных.СВ.............57
3.9..Проверка.гипотезы.о.значимости.коэффициента.корреляции....................58
Примеры решения задач......................................................................................................59

Глава 4. Парная линейная регрессия...........................................................................82
4.1..Суть.регрессионного.анализа....................................................................................82
4.2..Метод.наименьших.квадратов.(МНК)..................................................................84
Примеры решения задач......................................................................................................86

Глава 5. Проверка качества уравнения регрессии.................................................99
5.1..Классическая.линейная.регрессионная.модель..
Предпосылки.метода.наименьших.квадратов....................................................99
5.2..Анализ.точности.определения.оценок.коэффициентов.регрессии.......... 100
5.3..Проверка.гипотез.относительно.коэффициентов.линейного.
уравнения.регрессии................................................................................................. 101
5.4..Интервальные.оценки.коэффициентов.линейного.уравнения..
регрессии........................................................................................................................ 103
5.5..Проверка.общего.качества.уравнения.регрессии..
Коэффициент.детерминации.R2........................................................................... 103
Примеры решения задач................................................................................................... 106

Оглавление

Глава 6. Множественная линейная регрессия....................................................... 133
6.1..Определение.параметров.уравнения.регрессии.............................................. 133
6.2..Расчет.коэффициентов.множественной.линейной.регресcии................... 134
6.3..Дисперсии.и.стандартные.ошибки.коэффициентов..................................... 135
6.4..Интервальные.оценки.коэффициентов.теоретического.
уравнения.регресcии................................................................................................. 136
6.5..Анализ.качества.эмпирического.уравнения.множественной.
линейной.регрессии................................................................................................... 137
6.6..Проверка.статистической.значимости.коэффициентов.
уравнения.регрессии................................................................................................. 137
6.7..Проверка.общего.качества.уравнения.регрессии........................................... 138
6.7.1..Анализ.статистической.значимости.коэффициента..
детерминации.................................................................................................... 140
6.7.2..Проверка.равенства.двух.коэффициентов.детерминации............... 140
6.7.3..Проверка.гипотезы.о.совпадении.уравнений.регрессии.
для.двух.выборок............................................................................................ 142
6.8..Проверка.выполнимости.предпосылок.МНК...
Статистика.Дарбина.—.Уотсона............................................................................ 143
Примеры решения задач................................................................................................... 145

Глава 7. Нелинейная регрессия................................................................................... 172
7.1..Основные.нелинейные.эконометрические.модели........................................ 172
7.2..Признаки.«хорошей».модели.и.ошибки.спецификации............................. 174
Примеры решения задач................................................................................................... 176

Глава 8. Гетероскедастичность..................................................................................... 197
8.1..Обнаружение.гетероскедастичности................................................................... 197
8.1.1..Графический.анализ.остатков.................................................................... 198
8.1.2..Тест.ранговой.корреляции.Спирмена..................................................... 199
8.1.3..Тест.Парка.......................................................................................................... 200
8.1.4..Тест.Глейзера.................................................................................................... 201
8.1.5..Тест.Голдфелда.—.Квандта.......................................................................... 201
8.2..Методы.смягчения.проблемы.гетероскедастичности................................... 202
8.2.1..Метод.взвешенных.наименьших.квадратов.(ВНК)........................... 202
8.2.2..Дисперсии.отклонений.неизвестны......................................................... 204
Примеры решения задач................................................................................................... 205

Глава 9. Автокорреляция................................................................................................ 220
9.1..Суть.и.причины.автокорреляции......................................................................... 220
9.2..Последствия.автокорреляции................................................................................ 220
9.3..Обнаружение.автокорреляции.............................................................................. 221
9.3.1..Графический.метод......................................................................................... 221
9.3.2..Метод.рядов...................................................................................................... 223
9.3.3..Критерий.Дарбина.—.Уотсона.................................................................... 224
9.4..Методы.устранения.автокорреляции.................................................................. 225
9.4.1..Определение.ρ.на.основе.статистики.Дарбина.—.Уотсона............. 227

Оглавление 
5

9.4.2. Метод Кохрана — Оркатта ......................................................................... 228
9.4.3. Метод Хилдрета — Лу .................................................................................. 228
Примеры решения задач .................................................................................................. 229

Глава 10. Мультиколлинеарность ............................................................................... 244
10.1. Суть и последствия мультиколлинеарности ................................................. 244
10.2. Определение мультиколлинеарности и методы ее устранения ............. 245
Примеры решения задач .................................................................................................. 246

Глава 11. Фиктивные переменные в регрессионных моделях ...................... 253
11.1. Модели ANOVA и ANCOVA ................................................................................ 253
11.2. Сравнение двух регрессий ................................................................................... 254
11.3. Фиктивная зависимая переменная ................................................................... 257
Примеры решения задач .................................................................................................. 259

Глава 12. Динамические модели ................................................................................. 273
12.1. Общие положения ................................................................................................... 273
12.2. Оценка моделей с лагами в независимых переменных ............................ 273
12.2.1. Метод последовательного увеличения количества лагов........... 274
12.2.2. Преобразование Койка (метод геометрической прогрессии) ... 274
12.3. Авторегрессионные модели ................................................................................. 276
12.3.1. Модель адаптивных ожиданий ............................................................. 276
12.3.2. Модель частичной корректировки ...................................................... 277
12.4. Оценка авторегрессионных моделей ................................................................ 278
12.5. Проблема автокорреляции остатков. Обнаружение и устранение ....... 278
Примеры решения задач .................................................................................................. 279

Глава 13. Системы одновременных уравнений .................................................... 286
13.1. Составляющие систем уравнений ..................................................................... 286
13.2. Косвенный метод наименьших квадратов и инструментальные 
переменные ................................................................................................................ 287
13.3. Проблема идентификации ................................................................................... 288
13.4. Необходимые и достаточные условия идентифицируемости ................ 288
Примеры решения задач .................................................................................................. 292

Приложения ........................................................................................................................ 313
1. Функция Лапласа (стандартизированное нормальное  
распределение) ............................................................................................................... 313
2. Распределение Стьюдента (t-распределение) .................................................... 314
3. χ2-распределение ........................................................................................................... 315
4. Распределение Фишера (F-распределение) ........................................................ 316
5. Критерий Колмогорова ............................................................................................... 320
6. Распределение Дарбина — Уотсона ........................................................................ 320
7. Критические значения количества рядов для определения 
наличия автокорреляции по методу рядов (α = 0,05) .................................... 326

Рекомендуемая литература ........................................................................................... 328

Предисловие

Математическое.моделирование.является.одним.из.самых.эффективных.
методов.экономического.анализа..Ключевым.моментом.такого.моделирования.представляется.определение.наличия.взаимосвязей.между.эканомическими.факторами,.выражение.этих.взаимосвязей.в.математических.терминах.и.использование.математических.формул.для.обоснования.выводов.
Формально.«эконометрика».означает.«измерения.в.экономике»..Однако.область.исследований.данной.дисциплины.существенно.шире..В.ней.на.
основе. реальных. статистических. данных. производится. построение. и. совершенствование.математических.моделей..На.базе.построенных.моделей.
осуществляется.анализ.экономических.процессов,.проверка.определенных.
гипотез.и.делаются.прогнозы.по.возможному.развитию.ситуации.
В.целом.экономические.законы.и.взаимосвязи.достаточно.универсальны,.
но.реальные.условия.создают.определенные.нюансы,.что.приводит.к.некоторому.отличию.параметров.моделей.для.различных.производств,.отраслей,.
стран.и.регионов..В.основе.эконометрического.анализа.лежат.статистические.концепции.и.подходы..Это.обосновано.тем,.что.большинство.экономических.показателей.носят.случайный.характер,.так.как.на.них.воздействует.
непредсказуемое.количество.различных.факторов..Влияние.их.также.непостоянно. и. не. носит. строгий. характер.. Например,. не. вызывает. сомнений.
наличие.существенной.связи.между.доходом.и.потреб.лением..Однако.зачастую. индивидуумы. с. одинаковыми. доходами. потребляют. по-разному..
Поэтому. использование. методов. математической. статистики. в. эконометрике.носит.системный.и.базовый.характер.
Эконометрика. фокусируется. на. исследовании. количественных. параметров. экономических. процессов,. оставляя. качественные. ас.пекты. экономической. теории.. Начальной. задачей. эконометрики. является. сбор,. обработка.и.представление.экономических.данных.в.наглядной.и.удобной.для.
математической.обработки.форме.(в.форме.таблиц,.графиков,.диаграмм)..
Следующим.шагом.является.использование.данных.для.построения.и.анализа.математи.ческих.моделей..Здесь.основной.акцент.делается.на.подборе.
модели.и.определении.ее.параметров,.которые.наилучшим.образом.описывают.реально.существующую.экономическую.ситуацию..Подбор.модели.
называется. этапом. спецификации,. определение. числовых. характеристик.
отобранной.модели.—.этапом.параметризации..Эти.два.этапа.являются.достаточно.трудоемкой.и.творческой.частью.эконометрического.анализа..Зачастую. невозможно. подобрать. совершенную. модель. и. приходится. выбирать.между.несколькими.конкурирующими.вариантами,.разбивать.общую.
модель. на. несколько. частных,. для. каждой. из. которых. подбираются. свои.
числовые.параметры..Таким.образом,.выбор.формы.модели.является.важнейшей.отправной.точкой.для.последующего.анализа.
Заметим,.что.любая.модель.является.упрощением.реальности.и.содержит.определенную.погрешность..Поэтому.из.всех.рассматриваемых.моделей.с.помощью.соответствующего.статистического.анализа.отбирается.та,.

Предисловие 
7

которая. в. наибольшей. степени. соответствует. эмпирическим. данным,. характеру.зависимости,.а.также.экономической.теории..Этап.отбора.наилучшей.модели,.определения.ее.общего.качества,.а.также.качества.ее.отдельных.параметров.называется.этапом.верификации..На.этом.этапе.отбирается.
не. только. самая. подходящая. формула. для. модели,. но. также. уточняется.
состав.наиболее.важных.в.данных.конкретных.условиях.факторов,.которые.
целесообразно.включить.в.модель..Если.модель.удовлетворяет.выбранным.
исследователем.стандартам.качества,.то.она.рекомендуется.для.проведения.
анализа. определенной. экономической. ситуации,. а. также. для. прогноза. ее.
дальнейшего.развития.
Отметим,.что.вскрывая.механизмы.и.взаимосвязи.изучаемых.процессов,.
эконометрические.модели.не.решают.вопрос.об.их.причинах..Однако.эконометрика.является.одним.из.самых.эффективных.и.надежных.инструментов.
общего.экономического.анализа,.что.объясняет.популярность.и.распространенность.ее.применения.практически.во.всех.ситуациях,.когда.количественный.анализ.важен.
В.целом.процесс.эконометрического.анализа.можно.разбить.на.следующие.этапы:
1).выбор.математической.модели.на.основе.экономической.теории;
2).оценка.параметров.модели.на.базе.имеющихся.статистических.данных;
3).проверка.качества.построенной.модели;
4).переход.к.пункту.5),.если.качество.модели.удовлетворительное;.возврат.к.пункту.1),.если.качество.модели.неудовлетворительное;
5).Использование.модели.для.объяснения.экономической.ситуации.и.для.
прогнозирования.
Приведенная.схема.отражает.циклический.характер.совре.менных.экономических.исследований:.от.экономической.теории.к.моделированию;.от.
моделирования.к.совершенствованию.теории.и.проведению.более.обоснованной.и.предсказуемой.экономической.политики..Развитие.пакетов.прикладных.программ.сделало.эконометрику.одним.из.ключевых.этапов.экономических.исследований.в.целом.
Данное. руководство. предназначено. для. преподавателей. и. студентов,.
использующих.учебное.пособие.автора.«Эконометрика»..Оно.может.быть.
использовано.также.для.анализа.и.решения.базовых.задач.для.любого.курса.эконометрики.
В.руководстве.пошагово.расписано.решение.задач,.приводятся.необходимые.пояснения,.отмечаются.возможные.проблемы.и.даются.рекомендации.по.их.преодалению.
Для.решения.большинства.приведенных.задач.могут.быть.использованы.
пакеты.прикладных.программ.Minitab,.SSPS.и.др..Однако.фактически.решение.всех.задач.приведено.на.основе.использования.калькулятора.и.Excel..
Это.делает.руководство.доступным.для.любого.пользователя.и.позволяет.
углубиться.в.суть.решаемых.задач.

Вероятностные задачи 
В экономике

1.1. Базовые формулы теории вероятностей

Любая.активность,.результат.которой.неоднозначен,.называется.
экспериментом.
Результат.эксперимента.называется.событием..Для.обозначения.события.используется.любая.заглавная.буква.(А,.В,.С....).или.
набор.букв.
Событие,.которое.не.разбивается.на.более.простые.составные.
части,.называется.элементарным.(например,.выпадение.орла.или.
решки.при.бросании.монеты.или.определенной.комбинации.очков.
при.бросании.игральных.костей).
Вероятность события. —. числовая. характеристика,. определяющая.степень.возможности.данного.результата.в.условиях.проводимого.экперимента..Вероятность.события.А.обозначается.Р(А),..
0.≤.P(A).≤.1.
Общая формула.вычисления.вероятности.(классический подход):

.
P A
m
n
( ) =
,.
(1.1)

где.n.—.число.элементарных.событий.в.условиях.данного.эксперимента;.m.—.число.элементарных.событий,.входящих.в.событие.А..
При. этом. предполагается,. что. все. элементарные. события. равно
возможны,.а.следовательно,.их.вероятности.равны. 1
n.

Зачастую.для.подсчета.числа.элементарных.событий.необходимо.использовать.формулы.комбинаторики..В.частности,.число.Cn
k .
способов. отбора. k. элементов. из. числа. различных. n. элементов.
определяется.формулой

.
C
n
k
n
k
n
k
!
! (
)!
=
⋅
−
.(j!.=.1.⋅.2.⋅.3.⋅⋅⋅.j)..
(1.2)

1.1. Базовые формулы теории вероятностей 
9

Общая формула вычисления вероятности.(относительная ча‑
стота)

.
P A
m
n
( ) =
,.
(1.3)

где.n.—.число.повторений.одного.и.того.же.эксперимента.в.одинаковых. условиях;. m. —. число. экспериментов. из. n. проведенных,.
в.которых.произошло.событие.А.(0.≤.m.≤.n).

Наступление.по.крайней.мере.одного.из.событий.А.или.В.символически.обозначается.А.+.В..Наступление.двух.событий.А.и.В.
в.одном.и.том.же.эксперименте.обозначается.А ⋅ В.
При. нахождении. вероятности. наступления. события. А. или. В.
используется.формула сложения вероятностей

 
P(A.+.B).=.P(A).+.P(B).-.P(А.⋅.В)..
(1.4)

При. нахождении. вероятности. наступления. двух. событий. А.
и.В.одновременно.используется.формула умножения вероятностей

.
P(А.⋅.В).=.P(A).⋅.P(B|A),.
(1.5)

где.P(B|A).—.вероятность.наступления.события.В.при.условии.наступления.события.А.

Для.независимых.событий.А.и.B.P(B|A).=.P(B).
Предположим,.что.одно.из.непересекающихся.событий.A1,.A2,.
...,.Ak.обязательно.должно.произойти.в.условиях.проводимого.эксперимента..Тогда.вероятность.события.В.в.условиях.этого.же.эксперимента.определяется.формулой полной вероятности:

 
P(В).=.P(A1).⋅.P(B|A1).+.P(A2).×

.
×.P(B|A2).+.....+.P(Ak).⋅.P(B|Ak)..
(1.6)

Применение.формул.(1.4).и.(1.5).позволяет.определить.вероятность.того,.что.событие.В.наступит.с.определенным.событием.Аj,.
j.=.1,.2,....,.k:

.
P A В
P A P В A
P В
j
j
j
(
)
(
) (
)
( )
|
|
=
=

.
=
+
+ … +
P A P В A
P A P В A
P A
P В A
P A
P В A

j
j

k
k

(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
|
|
|
|
1
1
2
2

.. (1.7)

1. Вероятностные задачи в экономике

1.2. случайные величины 
и их основные характеристики

Случайной величиной. (СВ). называют. величину,. которая. в. результате.наблюдения.принимает.то.или.иное.значение,.заранее.не.
известное.и.зависящее.от.случайных.обстоятельств.
Объем. ВНП,. количество. реализованной. продукции,. прибыль.
фирмы,.размер.чистого.экспорта.за.год.и.т.д..являются.случайными.
величинами.
Различают.дискретные.и.непрерывные.СВ..Дискретной.называют.такую.СВ,.которая.принимает.отдельные,.изолированные.значения.с.определенными.вероятностями.(такая.СВ.имеет.счетное.
количество.значений)..Непрерывной.называют.такую.СВ,.которая.
может. принимать. любое. значение. из. некоторого. конечного. или.
бесконечного. числового. промежутка. (т.е.. количество. возможных.
значений.непрерывной.СВ.несчетно)..Например,.можно.считать,.
что.число.покупателей.в.магазине,.побывавших.там.в.течение.дня,.
число.автомобилей,.ремонтируемых.еженедельно.в.данной.мастерской,.число.находящихся.в.аэропорту.самолетов.являются.дискретными.СВ..Однако.большинство.СВ,.рассматриваемых.в.экономике,.имеют.настолько.большое.число.возможных.значений,.что.их.
удобнее.представлять.в.виде.непрерывных.СВ..Например,.курсы.
валют,.доход,.объемы.ВНП,.ВВП.и.т.п..обычно.рассматриваются.
как.непрерывные.СВ.
Для.описания.дискретной.СВ.необходимо.установить.соответствие. между. всеми. возможными. значениями. СВ. и. их. вероятностями..Такое.соответствие.называется.законом распределения дис‑
кретной СВ.. Его. можно. задать. таблично,. аналитически. (в. виде.
формулы).либо.графически.
При.табличном.задании.закона.распределения.дискретной.СВ.Х.
первая.строка.таблицы.содержит.ее.возможные.значения.(х1,.х2,.…,.хk),.
а.вторая.—.их.вероятности.(p1,.p2,.…,.pk):

X
x1
x2
...
xk
pi
p1
p2
...
pk

Обычно.х1.<.х2.<.....<.xk..Обязательно.p1.+.p2.+.....+.pk.=.1.
Основными.числовыми.характеристиками.случайных.величин.
являются.математическое.ожидание,.дисперсия.и.среднее.квадратическое.отклонение.

1.2. Случайные величины и их основные характеристики 
11

Математическое. ожидание. характеризует. среднее. ожидаемое.
значение.СВ,.т.е..приближенно.равно.ее.среднему.значению.
Математическое ожидание М(Х). определяется. следующим.
образом.
Для.дискретной.СВ:

.
M X
x p
i
i
i

k
(
) =
=∑
1

,.
(1.8)

где.k.—.число.всех.возможных.значений.СВ.X.
Для.непрерывной.СВ:

.
M X
xf x dx
(
)
( )
=

−∞

+∞
∫
..
(1.9)

Свойства.математического.ожидания:
1..М(С).=.С,.где.С.—.константа.
2..M(CX).=.C.⋅.M(X).
3..M(X.±.Y).=.M(X).±.M(Y).
4..M(aX.+.b).=.aM(X).+.b,.где.a.и.b.—.константы;
5..Для.независимых.СВ.M(XY).=.M(X)M(Y).
Для.описания.среднего.разброса.значений.случайной.величины.
используют.дисперсию.и.среднее.квадратическое.отклонение.
Дисперсией D(X).СВ.Х.называется.математическое.ожидание.
квадрата. отклонения. СВ. от. ее. математического. ожидания.. Она.
рассчитывается.по.формуле

.
D(X).=.M(X.-.M(X))2.=.M(X2).-.M2(X)..
(1.10)

При.этом.для.дискретной.СВ

.
D X
x
M X
p
x p
M
X
i
i
i

k

i
i
i

k
(
)
(
)
(
)
=
−
(
)
=
−
=
=
∑
∑
2

1

2

1

2
..
(1.11)

Для.непрерывной.СВ

.
D X
x
M X
f x dx
x f x dx
M
X
(
)
(
)
( )
( )
(
)
=
−
(
)
=
−

−∞

+∞

−∞

+∞
∫
∫
2
2
2
.. (1.12)

Свойства дисперсии:
1..D(С).=.0,.где.С.—.константа.
2..D(СX).=.C2D(X).

1. Вероятностные задачи в экономике

3. D(X ± Y) = D(X) + D(Y), где X и Y — независимые СВ.
4. D(aX + b) = a2D(X), где a и b — константы.
Средним квадратическим отклонением s(X) СВ Х называют 

квадратный корень из дисперсии D(X):

 
σ(
)
(
)
X
D X
=
. 
(1.13)

Для описания связи между случайными величинами X и Y используют ковариацию или коэффициент корреляции.
Ковариация рассчитывается по формуле

 
sxy = cov(X, Y) = M((X - M(X))(Y - M(Y)) =

 
= M(XY) - M(X)M(Y). 
(1.14)

Коэффициентом корреляции СВ Х и Y называют величину

 
ρ
σ
σ σ
σ
xy
xy

x
y

xy
D X D Y
=
=
(
) ( ) . 
(1.15)

Зависимость между СВ Х и Y, характеризуемая коэффициентом корреляции, называется корреляцией. СВ Х и Y называются 
некоррелированными, если rxy = 0, что равносильно равенству sxy = 0. 
Если же rxy ≠ 0, то СВ X и Y называют коррелированными.
Свойства коэффициента корреляции:
1. rxx = 1.
2. rxy = ryx.
3. -1 ≤ rxy ≤ 1.
4. Если СВ Х и Y независимы, то rxy = 0.
5. |rxy| = 1 тогда и только тогда, когда Y = a + bx (т.е. между СВ 

Х и Y существует линейная функциональная зависимость).
В случае, когда СВ не являются независимыми, а коррелируют 

друг друга, формулы расчета дисперсии их суммы либо разности 
имеют вид

 
D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2 cov(X, Y), 
(1.16)

 
D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2rxysxsy. 
(1.17)

1.3. Законы распределения случайных величин и таблицы критических точек... 
13

1.3. Законы распределения случайных величин 
и таблицы критических точек распределений

Случайные величины обычно подчиняются определенному закону распределения либо хорошо аппроксимируются им. Зная закон распределения можно достаточно точно предсказать вероятность попадания случайной величины в тот или иной интервал. 
Для анализа случайных величин в эконометрике обычно используются нормальный закон распределения, а также распределения 
Стьюдента, c-квадрат (Хи-квадрат) и Фишера.
Нормальное распределение случайной величины Х определяется двумя параметрами: матеметическим ожиданием m и средним 
квадратическим отклонением s и задается по формуле

 
f x
e

x
m
( )

(
)
=

−
−
1
2

2

2
2
πσ
σ
. 
(1.18)

Символически нормальное распределение описывается так: 
X ~ N(m, s).
Важнейшим с точки зрения расчетов является стандартизи
рованное нормальное распределение U, в котором m = 0, s = 1: 
U ~ N(0, 1).
Для этого распределения разработана таблица значений функции Лапласа Ф(u) = P(0 ≤ U ≤ u) — таблица стандартизированного 
нормального распределения (см. прил. 1).
Заметим, что P(U ≤ u) = Ф(u) + 0,5, если u > 0, и P(U ≤ u) = 
= 0,5 − Ф(−u), если u < 0.
Если X ~ N(m, s), то

 
P a
X
b
b
m
a
m
(
)
≤
≤
=
−
−
−
Ф
Ф
σ
σ
. 
(1.19)

Распределения Стьюдента (t-распределение), Хи-квадрат (c2-рас
пределение) и Фишера (F-распределение) получаются вследствие 
алгебраической комбинации нескольких нормальных случайных 
величин. При определенных условиях реальная рассматриваемая 
случайная величина или некая комбинация случайных величин 
могут подчиняться одному из вышеперечисленных законов.
Критические точки (квантили) распределений Стьюдента 
и c2-рас пределения (прил. 2 и 3) находятся по числу степеней сво