Эконометрика. Практикум

С.А. БОРОДИЧ

ЭКОНОМЕТРИКА

ПРАКТИКУМ

2021

 Москва
 «ИНФРАМ»

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 330.43(075.8)
ББК 65в6я73
 
Б83

Бородич С.А.

Эконометрика. Практикум : учебное пособие / С.А. Бородич. — 

Москва : ИНФРА-М, 2021. — 329 с. : ил. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-009429-8 (ИНФРА-М, print) 
ISBN 978-5-16-100513-2 (ИНФРА-М, online)

Пошагово расписано решение основных задач по эконометрике, 

приводятся необходимые пояснения, отмечаются возможные проблемы и даются рекомендации по их преодолению. Решение всех задач 
приведено на основе использования калькулятора и Excel. Это делает 
пособие доступным для любого пользователя и позволяет углубиться 
в суть решаемых задач.

Для студентов и преподавателей экономических специальностей 

вузов.

УДК 330.43(075.8)

ББК 65в6я73

Б83

 
© Бородич С.А., 2013

 
© ООО «Новое знание», 2013

ISBN 978-5-16-009429-8 (ИНФРА-М, print) 
ISBN 978-5-16-100513-2 (ИНФРА-М, online)

Рецензенты:

Корзников А.Д., заведующий кафедрой высшей математики № 2 Белорусского национального технического университета, кандидат физико-математических наук;
Максимов С.И., заведующий кафедрой РИВШ Белорусского государственного университета, кандидат технических наук

Оглавление

Предисловие................................................................................................................................6

Глава 1. Вероятностные задачи в экономике.............................................................8
1.1..Базовые.формулы.теории.вероятностей.................................................................8
1.2..Случайные.величины.и.их.основные.характеристики....................................10
1.3..Законы.распределения.случайных.величин.и.таблицы.
критических.точек.распределений..........................................................................13
Примеры решения задач......................................................................................................14

Глава 2. Обработка статистических данных.............................................................30
2.1..Базовые.концепции.математической.статистики..............................................30
2.2..Вычисление.выборочных.характеристик.............................................................31
Примеры решения задач......................................................................................................34

Глава 3. Статистические оценки и проверка гипотез............................................47
3.1..Виды.оценок.и.их.свойства.......................................................................................47
3.2..Статистическая.проверка.гипотез...........................................................................51
3.3..Проверка.гипотезы.о.математическом.ожидании.нормальной.СВ.
при.известной.дисперсии...........................................................................................52
3.4..Проверка.гипотезы.о.математическом.ожидании.нормальной.СВ.
при.неизвестной.дисперсии.......................................................................................53
3.5..Проверка.гипотезы.о.величине.дисперсии.нормальной.СВ.........................54
3.6..Проверка.гипотезы.о.равенстве.математических.ожиданий.двух.
нормальных.СВ.при.известных.дисперсиях.......................................................56
3.7..Проверка.гипотезы.о.равенстве.математических.ожиданий.двух.
нормальных.СВ.при.неизвестных.дисперсиях..................................................56
3.8..Проверка.гипотезы.о.равенстве.дисперсий.двух.нормальных.СВ.............57
3.9..Проверка.гипотезы.о.значимости.коэффициента.корреляции....................58
Примеры решения задач......................................................................................................59

Глава 4. Парная линейная регрессия...........................................................................82
4.1..Суть.регрессионного.анализа....................................................................................82
4.2..Метод.наименьших.квадратов.(МНК)..................................................................84
Примеры решения задач......................................................................................................86

Глава 5. Проверка качества уравнения регрессии.................................................99
5.1..Классическая.линейная.регрессионная.модель..
Предпосылки.метода.наименьших.квадратов....................................................99
5.2..Анализ.точности.определения.оценок.коэффициентов.регрессии.......... 100
5.3..Проверка.гипотез.относительно.коэффициентов.линейного.
уравнения.регрессии................................................................................................. 101
5.4..Интервальные.оценки.коэффициентов.линейного.уравнения..
регрессии........................................................................................................................ 103
5.5..Проверка.общего.качества.уравнения.регрессии..
Коэффициент.детерминации.R2........................................................................... 103
Примеры решения задач................................................................................................... 106

Оглавление

Глава 6. Множественная линейная регрессия....................................................... 133
6.1..Определение.параметров.уравнения.регрессии.............................................. 133
6.2..Расчет.коэффициентов.множественной.линейной.регресcии................... 134
6.3..Дисперсии.и.стандартные.ошибки.коэффициентов..................................... 135
6.4..Интервальные.оценки.коэффициентов.теоретического.
уравнения.регресcии................................................................................................. 136
6.5..Анализ.качества.эмпирического.уравнения.множественной.
линейной.регрессии................................................................................................... 137
6.6..Проверка.статистической.значимости.коэффициентов.
уравнения.регрессии................................................................................................. 137
6.7..Проверка.общего.качества.уравнения.регрессии........................................... 138
6.7.1..Анализ.статистической.значимости.коэффициента..
детерминации.................................................................................................... 140
6.7.2..Проверка.равенства.двух.коэффициентов.детерминации............... 140
6.7.3..Проверка.гипотезы.о.совпадении.уравнений.регрессии.
для.двух.выборок............................................................................................ 142
6.8..Проверка.выполнимости.предпосылок.МНК...
Статистика.Дарбина.—.Уотсона............................................................................ 143
Примеры решения задач................................................................................................... 145

Глава 7. Нелинейная регрессия................................................................................... 172
7.1..Основные.нелинейные.эконометрические.модели........................................ 172
7.2..Признаки.«хорошей».модели.и.ошибки.спецификации............................. 174
Примеры решения задач................................................................................................... 176

Глава 8. Гетероскедастичность..................................................................................... 197
8.1..Обнаружение.гетероскедастичности................................................................... 197
8.1.1..Графический.анализ.остатков.................................................................... 198
8.1.2..Тест.ранговой.корреляции.Спирмена..................................................... 199
8.1.3..Тест.Парка.......................................................................................................... 200
8.1.4..Тест.Глейзера.................................................................................................... 201
8.1.5..Тест.Голдфелда.—.Квандта.......................................................................... 201
8.2..Методы.смягчения.проблемы.гетероскедастичности................................... 202
8.2.1..Метод.взвешенных.наименьших.квадратов.(ВНК)........................... 202
8.2.2..Дисперсии.отклонений.неизвестны......................................................... 204
Примеры решения задач................................................................................................... 205

Глава 9. Автокорреляция................................................................................................ 220
9.1..Суть.и.причины.автокорреляции......................................................................... 220
9.2..Последствия.автокорреляции................................................................................ 220
9.3..Обнаружение.автокорреляции.............................................................................. 221
9.3.1..Графический.метод......................................................................................... 221
9.3.2..Метод.рядов...................................................................................................... 223
9.3.3..Критерий.Дарбина.—.Уотсона.................................................................... 224
9.4..Методы.устранения.автокорреляции.................................................................. 225
9.4.1..Определение.ρ.на.основе.статистики.Дарбина.—.Уотсона............. 227

Оглавление 
5

9.4.2. Метод Кохрана — Оркатта ......................................................................... 228
9.4.3. Метод Хилдрета — Лу .................................................................................. 228
Примеры решения задач .................................................................................................. 229

Глава 10. Мультиколлинеарность ............................................................................... 244
10.1. Суть и последствия мультиколлинеарности ................................................. 244
10.2. Определение мультиколлинеарности и методы ее устранения ............. 245
Примеры решения задач .................................................................................................. 246

Глава 11. Фиктивные переменные в регрессионных моделях ...................... 253
11.1. Модели ANOVA и ANCOVA ................................................................................ 253
11.2. Сравнение двух регрессий ................................................................................... 254
11.3. Фиктивная зависимая переменная ................................................................... 257
Примеры решения задач .................................................................................................. 259

Глава 12. Динамические модели ................................................................................. 273
12.1. Общие положения ................................................................................................... 273
12.2. Оценка моделей с лагами в независимых переменных ............................ 273
12.2.1. Метод последовательного увеличения количества лагов........... 274
12.2.2. Преобразование Койка (метод геометрической прогрессии) ... 274
12.3. Авторегрессионные модели ................................................................................. 276
12.3.1. Модель адаптивных ожиданий ............................................................. 276
12.3.2. Модель частичной корректировки ...................................................... 277
12.4. Оценка авторегрессионных моделей ................................................................ 278
12.5. Проблема автокорреляции остатков. Обнаружение и устранение ....... 278
Примеры решения задач .................................................................................................. 279

Глава 13. Системы одновременных уравнений .................................................... 286
13.1. Составляющие систем уравнений ..................................................................... 286
13.2. Косвенный метод наименьших квадратов и инструментальные 
переменные ................................................................................................................ 287
13.3. Проблема идентификации ................................................................................... 288
13.4. Необходимые и достаточные условия идентифицируемости ................ 288
Примеры решения задач .................................................................................................. 292

Приложения ........................................................................................................................ 313
1. Функция Лапласа (стандартизированное нормальное  
распределение) ............................................................................................................... 313
2. Распределение Стьюдента (t-распределение) .................................................... 314
3. χ2-распределение ........................................................................................................... 315
4. Распределение Фишера (F-распределение) ........................................................ 316
5. Критерий Колмогорова ............................................................................................... 320
6. Распределение Дарбина — Уотсона ........................................................................ 320
7. Критические значения количества рядов для определения 
наличия автокорреляции по методу рядов (α = 0,05) .................................... 326

Рекомендуемая литература ........................................................................................... 328

Предисловие

Математическое.моделирование.является.одним.из.самых.эффективных.
методов.экономического.анализа..Ключевым.моментом.такого.моделирования.представляется.определение.наличия.взаимосвязей.между.эканомическими.факторами,.выражение.этих.взаимосвязей.в.математических.терминах.и.использование.математических.формул.для.обоснования.выводов.
Формально.«эконометрика».означает.«измерения.в.экономике»..Однако.область.исследований.данной.дисциплины.существенно.шире..В.ней.на.
основе. реальных. статистических. данных. производится. построение. и. совершенствование.математических.моделей..На.базе.построенных.моделей.
осуществляется.анализ.экономических.процессов,.проверка.определенных.
гипотез.и.делаются.прогнозы.по.возможному.развитию.ситуации.
В.целом.экономические.законы.и.взаимосвязи.достаточно.универсальны,.
но.реальные.условия.создают.определенные.нюансы,.что.приводит.к.некоторому.отличию.параметров.моделей.для.различных.производств,.отраслей,.
стран.и.регионов..В.основе.эконометрического.анализа.лежат.статистические.концепции.и.подходы..Это.обосновано.тем,.что.большинство.экономических.показателей.носят.случайный.характер,.так.как.на.них.воздействует.
непредсказуемое.количество.различных.факторов..Влияние.их.также.непостоянно. и. не. носит. строгий. характер.. Например,. не. вызывает. сомнений.
наличие.существенной.связи.между.доходом.и.потреб.лением..Однако.зачастую. индивидуумы. с. одинаковыми. доходами. потребляют. по-разному..
Поэтому. использование. методов. математической. статистики. в. эконометрике.носит.системный.и.базовый.характер.
Эконометрика. фокусируется. на. исследовании. количественных. параметров. экономических. процессов,. оставляя. качественные. ас.пекты. экономической. теории.. Начальной. задачей. эконометрики. является. сбор,. обработка.и.представление.экономических.данных.в.наглядной.и.удобной.для.
математической.обработки.форме.(в.форме.таблиц,.графиков,.диаграмм)..
Следующим.шагом.является.использование.данных.для.построения.и.анализа.математи.ческих.моделей..Здесь.основной.акцент.делается.на.подборе.
модели.и.определении.ее.параметров,.которые.наилучшим.образом.описывают.реально.существующую.экономическую.ситуацию..Подбор.модели.
называется. этапом. спецификации,. определение. числовых. характеристик.
отобранной.модели.—.этапом.параметризации..Эти.два.этапа.являются.достаточно.трудоемкой.и.творческой.частью.эконометрического.анализа..Зачастую. невозможно. подобрать. совершенную. модель. и. приходится. выбирать.между.несколькими.конкурирующими.вариантами,.разбивать.общую.
модель. на. несколько. частных,. для. каждой. из. которых. подбираются. свои.
числовые.параметры..Таким.образом,.выбор.формы.модели.является.важнейшей.отправной.точкой.для.последующего.анализа.
Заметим,.что.любая.модель.является.упрощением.реальности.и.содержит.определенную.погрешность..Поэтому.из.всех.рассматриваемых.моделей.с.помощью.соответствующего.статистического.анализа.отбирается.та,.

Предисловие 
7

которая. в. наибольшей. степени. соответствует. эмпирическим. данным,. характеру.зависимости,.а.также.экономической.теории..Этап.отбора.наилучшей.модели,.определения.ее.общего.качества,.а.также.качества.ее.отдельных.параметров.называется.этапом.верификации..На.этом.этапе.отбирается.
не. только. самая. подходящая. формула. для. модели,. но. также. уточняется.
состав.наиболее.важных.в.данных.конкретных.условиях.факторов,.которые.
целесообразно.включить.в.модель..Если.модель.удовлетворяет.выбранным.
исследователем.стандартам.качества,.то.она.рекомендуется.для.проведения.
анализа. определенной. экономической. ситуации,. а. также. для. прогноза. ее.
дальнейшего.развития.
Отметим,.что.вскрывая.механизмы.и.взаимосвязи.изучаемых.процессов,.
эконометрические.модели.не.решают.вопрос.об.их.причинах..Однако.эконометрика.является.одним.из.самых.эффективных.и.надежных.инструментов.
общего.экономического.анализа,.что.объясняет.популярность.и.распространенность.ее.применения.практически.во.всех.ситуациях,.когда.количественный.анализ.важен.
В.целом.процесс.эконометрического.анализа.можно.разбить.на.следующие.этапы:
1).выбор.математической.модели.на.основе.экономической.теории;
2).оценка.параметров.модели.на.базе.имеющихся.статистических.данных;
3).проверка.качества.построенной.модели;
4).переход.к.пункту.5),.если.качество.модели.удовлетворительное;.возврат.к.пункту.1),.если.качество.модели.неудовлетворительное;
5).Использование.модели.для.объяснения.экономической.ситуации.и.для.
прогнозирования.
Приведенная.схема.отражает.циклический.характер.совре.менных.экономических.исследований:.от.экономической.теории.к.моделированию;.от.
моделирования.к.совершенствованию.теории.и.проведению.более.обоснованной.и.предсказуемой.экономической.политики..Развитие.пакетов.прикладных.программ.сделало.эконометрику.одним.из.ключевых.этапов.экономических.исследований.в.целом.
Данное. руководство. предназначено. для. преподавателей. и. студентов,.
использующих.учебное.пособие.автора.«Эконометрика»..Оно.может.быть.
использовано.также.для.анализа.и.решения.базовых.задач.для.любого.курса.эконометрики.
В.руководстве.пошагово.расписано.решение.задач,.приводятся.необходимые.пояснения,.отмечаются.возможные.проблемы.и.даются.рекомендации.по.их.преодалению.
Для.решения.большинства.приведенных.задач.могут.быть.использованы.
пакеты.прикладных.программ.Minitab,.SSPS.и.др..Однако.фактически.решение.всех.задач.приведено.на.основе.использования.калькулятора.и.Excel..
Это.делает.руководство.доступным.для.любого.пользователя.и.позволяет.
углубиться.в.суть.решаемых.задач.

Вероятностные задачи 
В экономике

1.1. Базовые формулы теории вероятностей

Любая.активность,.результат.которой.неоднозначен,.называется.
экспериментом.
Результат.эксперимента.называется.событием..Для.обозначения.события.используется.любая.заглавная.буква.(А,.В,.С....).или.
набор.букв.
Событие,.которое.не.разбивается.на.более.простые.составные.
части,.называется.элементарным.(например,.выпадение.орла.или.
решки.при.бросании.монеты.или.определенной.комбинации.очков.
при.бросании.игральных.костей).
Вероятность события. —. числовая. характеристика,. определяющая.степень.возможности.данного.результата.в.условиях.проводимого.экперимента..Вероятность.события.А.обозначается.Р(А),..
0.≤.P(A).≤.1.
Общая формула.вычисления.вероятности.(классический подход):

.
P A
m
n
( ) =
,.
(1.1)

где.n.—.число.элементарных.событий.в.условиях.данного.эксперимента;.m.—.число.элементарных.событий,.входящих.в.событие.А..
При. этом. предполагается,. что. все. элементарные. события. равно
возможны,.а.следовательно,.их.вероятности.равны. 1
n.

Зачастую.для.подсчета.числа.элементарных.событий.необходимо.использовать.формулы.комбинаторики..В.частности,.число.Cn
k .
способов. отбора. k. элементов. из. числа. различных. n. элементов.
определяется.формулой

.
C
n
k
n
k
n
k
!
! (
)!
=
⋅
−
.(j!.=.1.⋅.2.⋅.3.⋅⋅⋅.j)..
(1.2)

1.1. Базовые формулы теории вероятностей 
9

Общая формула вычисления вероятности.(относительная ча‑
стота)

.
P A
m
n
( ) =
,.
(1.3)

где.n.—.число.повторений.одного.и.того.же.эксперимента.в.одинаковых. условиях;. m. —. число. экспериментов. из. n. проведенных,.
в.которых.произошло.событие.А.(0.≤.m.≤.n).

Наступление.по.крайней.мере.одного.из.событий.А.или.В.символически.обозначается.А.+.В..Наступление.двух.событий.А.и.В.
в.одном.и.том.же.эксперименте.обозначается.А ⋅ В.
При. нахождении. вероятности. наступления. события. А. или. В.
используется.формула сложения вероятностей

 
P(A.+.B).=.P(A).+.P(B).-.P(А.⋅.В)..
(1.4)

При. нахождении. вероятности. наступления. двух. событий. А.
и.В.одновременно.используется.формула умножения вероятностей

.
P(А.⋅.В).=.P(A).⋅.P(B|A),.
(1.5)

где.P(B|A).—.вероятность.наступления.события.В.при.условии.наступления.события.А.

Для.независимых.событий.А.и.B.P(B|A).=.P(B).
Предположим,.что.одно.из.непересекающихся.событий.A1,.A2,.
...,.Ak.обязательно.должно.произойти.в.условиях.проводимого.эксперимента..Тогда.вероятность.события.В.в.условиях.этого.же.эксперимента.определяется.формулой полной вероятности:

 
P(В).=.P(A1).⋅.P(B|A1).+.P(A2).×

.
×.P(B|A2).+.....+.P(Ak).⋅.P(B|Ak)..
(1.6)

Применение.формул.(1.4).и.(1.5).позволяет.определить.вероятность.того,.что.событие.В.наступит.с.определенным.событием.Аj,.
j.=.1,.2,....,.k:

.
P A В
P A P В A
P В
j
j
j
(
)
(
) (
)
( )
|
|
=
=

.
=
+
+ … +
P A P В A
P A P В A
P A
P В A
P A
P В A

j
j

k
k

(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
|
|
|
|
1
1
2
2

.. (1.7)

1. Вероятностные задачи в экономике

1.2. случайные величины 
и их основные характеристики

Случайной величиной. (СВ). называют. величину,. которая. в. результате.наблюдения.принимает.то.или.иное.значение,.заранее.не.
известное.и.зависящее.от.случайных.обстоятельств.
Объем. ВНП,. количество. реализованной. продукции,. прибыль.
фирмы,.размер.чистого.экспорта.за.год.и.т.д..являются.случайными.
величинами.
Различают.дискретные.и.непрерывные.СВ..Дискретной.называют.такую.СВ,.которая.принимает.отдельные,.изолированные.значения.с.определенными.вероятностями.(такая.СВ.имеет.счетное.
количество.значений)..Непрерывной.называют.такую.СВ,.которая.
может. принимать. любое. значение. из. некоторого. конечного. или.
бесконечного. числового. промежутка. (т.е.. количество. возможных.
значений.непрерывной.СВ.несчетно)..Например,.можно.считать,.
что.число.покупателей.в.магазине,.побывавших.там.в.течение.дня,.
число.автомобилей,.ремонтируемых.еженедельно.в.данной.мастерской,.число.находящихся.в.аэропорту.самолетов.являются.дискретными.СВ..Однако.большинство.СВ,.рассматриваемых.в.экономике,.имеют.настолько.большое.число.возможных.значений,.что.их.
удобнее.представлять.в.виде.непрерывных.СВ..Например,.курсы.
валют,.доход,.объемы.ВНП,.ВВП.и.т.п..обычно.рассматриваются.
как.непрерывные.СВ.
Для.описания.дискретной.СВ.необходимо.установить.соответствие. между. всеми. возможными. значениями. СВ. и. их. вероятностями..Такое.соответствие.называется.законом распределения дис‑
кретной СВ.. Его. можно. задать. таблично,. аналитически. (в. виде.
формулы).либо.графически.
При.табличном.задании.закона.распределения.дискретной.СВ.Х.
первая.строка.таблицы.содержит.ее.возможные.значения.(х1,.х2,.…,.хk),.
а.вторая.—.их.вероятности.(p1,.p2,.…,.pk):

X
x1
x2
...
xk
pi
p1
p2
...
pk

Обычно.х1.<.х2.<.....<.xk..Обязательно.p1.+.p2.+.....+.pk.=.1.
Основными.числовыми.характеристиками.случайных.величин.
являются.математическое.ожидание,.дисперсия.и.среднее.квадратическое.отклонение.