Моделирование систем и процессов

Москва
РИОР

ИНФРА-М

Н.Г. ЧИКУРОВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

 СИСТЕМ  И  ПРОЦЕССОВ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Допущено Учебно-методическим объединением вузов

 по образованию в области автоматизированного

машиностроения (УМО АМ) в качестве учебного пособия
 для студентов высших учебных заведений, обучающихся

 по направлению подготовки «Автоматизация технологических 

процессов и производств (машиностроение)»

УДК 004.942(075.8)
ББК 30в6я73
Ч60

Чикуров Н.Г.
Моделирование систем и процессов : учебное пособие / Н.Г. Чикуров. — Москва : РИОР : ИНФРА-М, 2022. — 398 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI: https://doi.org/10.12737/5753

ISBN 978-5-369-01167-6 (РИОР)
ISBN 978-5-16-006482-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102399-0 (ИНФРА-М, online)

В учебном пособии разработаны основы математического моделирования динамических систем и объектов различной физической природы на 
основе метода электроаналогий. Рассматривается методика построения 
имитационных моделей разнообразных технических объектов с использованием электроаналогий. Приведены примеры механических, гидравлических и тепловых электроаналогий. Дано структурно-модульное представление метода электроаналогий на основе понятий источников и приемников 
тока. Разработана методика построения кинематических и динамических 
моделей сложных механизмов: многозвенных манипуляционных роботов, 
гироскопов и др. с использованием метода электроаналогий.
Книга предназначена для студентов машиностроительных специальностей и инженерных направлений, научных работников, а также для специалистов, занимающихся динамическими расчетами и моделированием на 
ЭВМ сложных механизмов и устройств.

УДК 004.942(075.8) 
ББК 30в6я73

Ч60

© Чикуров Н.Г.

ISBN 978-5-369-01167-6 (РИОР)
ISBN 978-5-16-006482-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102399-0 (ИНФРА-М, online)

Рецензенты:
Институт проблем сверхпластичности металлов РАН (зав. лаб. 06, д-р физ.мат. наук А.И. Пшеничнюк);
кафедра автоматизированных технических и информационных систем филиа
ла Уфимского государственного нефтяного технического университета в г. Стерлитамаке (зав. кафедрой, д-р техн. наук, профессор А.И. Каяшев)

Автор:
Чикуров Николай Георгиевич — канд. техн. наук, доцент кафедры автоматизации технологических процессов Уфимского государственного авиационного 
технического университета

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Учебное пособие посвящено проблемам математического моделирования динамических систем и объектов различной физической 
природы с использованием метода электроаналогий. В учебном пособии основное внимание уделено задачам математического моделирования технических устройств. 
Рассматривается широко распространенный класс динамических 
моделей, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Моделированию таких объектов в последние годы, 
судя по публикациям, уделяется значительно меньше внимания, чем 
моделированию больших сложных систем различного назначения. 
По-видимому, это связано с тем, что теория моделирования сравнительно несложных технических устройств разработана глубже, чем 
больших систем, и поэтому дальнейшим развитием этой теории занимается меньшее число специалистов.  
Вопросам построения математических моделей технических систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями, посвящены работы как отечественных, так и зарубежных 
ученых. Широко известны работы А.А. Самарского, А.П. Михайлова, И.В. Максимея, И.П. Норенкова, В.С. Зарубина, П.В. Трусова, 
В.П. Тарасика, И.М. Тетельбаума. 
Вместе с тем практическая реализация математических моделей 
многих технических устройств еще остается достаточно сложной 
задачей. Это связано с несовершенством или отсутствием алгоритмов формализованного синтеза таких моделей. Поэтому задачи их 
построения часто сводятся к случайным эвристическим решениям. 
Как следствие, сдерживается развитие систем автоматизированного 
проектирования (САПР) в области технических систем. 
Особую группу математических моделей образуют математические модели манипуляционных роботов. В зависимости от постановки 
решаемой задачи различают кинематические и динамические модели 
роботов. В этой области следует отметить работы Е.И. Юревича, 
А.И. Корендясева, Е.И. Воробьева, С.Л. Зенкевича, А.С. Ющенко. 
Несмотря на большое количество методов, и приемов решения задач робототехники до сих пор еще некоторые из них остаются про

 

блемными. Примером может служить обратная позиционная задача, 
связанная с управлением манипулятором. Общего метода решения 
этой задачи в явном виде не существует [13], [19]. Применение же 
численных методов часто приводит к расходимости соответствующих 
итерационных схем. Возникают также серьезные сложности при построении динамических моделей многозвенных манипуляторов. 
В учебном пособии изучается новый универсальный способ построения имитационных математических моделей с использованием 
метода электроаналогий. Применительно к моделям механизмов 
этот метод позволяет добавить к известным законам теоретической 
механики некоторые законы электротехники. Прежде всего, это законы Кирхгофа, уравнения идеальных трансформаторов, законы 
многополюсников и др. Законы электротехники в сочетании с законами теоретической механики позволяют расширить представление 
о происходящих явлениях и формализовать синтез математических 
моделей сложных механических систем в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 
Автором внесен в метод электроаналогий ряд новых положений и 
подходов, благодаря которым стало возможным использовать этот 
метод для моделирования сложных устройств с большим количеством степеней свободы. Модели механических устройств могут содержать нелинейные звенья, разнообразные упругие и диссипативные связи, параметрические связи и др. 
Отличительная особенность метода электроаналогий — его универсальность. Этим методом можно моделировать объекты различной физической природы. В качестве примеров в книге приведены 
электрогидравлические и электротепловые аналогии. 
На пути к автоматизированному синтезу математических моделей разработано структурно-модульное представление метода электроаналогий. Введены новые понятия: маркеры токов, источники и 
приемники токов, сети связей физических величин. Методика построения имитационных моделей структурно-модульным методом 
позволяет синтезировать достаточно сложные математические модели по формализованным, легко программируемым алгоритмам. 
 
 
 

Глава 1 
ОБЩИЙ ОБЗОР 
ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ 

1.1. Значение вопросов моделирования 
в научно-технических исследованиях 

Общая задача теории моделирования — это создание методологии, направленной на изучение существующих объектов, взаимодействующих между собой и с внешней средой. 
Модели часто строят с помощью других явлений, более привычных и лучше изученных. В качестве простейшего примера можно 
привести хорошо известную модель электрического тока, представленного в виде потока жидкости. Понятие модели здесь в значительной мере совпадает с понятием аналогии. 
Аналогией называют суждение о каком-либо частичном сходстве 
двух объектов. Это суждение позволяет на основании сходства рассматриваемых объектов в каком-либо отношении сделать вывод об 
их свойствах в других отношениях [8]. 
Физические аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны иметь непосредственную наглядность или 
сводиться к некоторым удобным для исследования абстрактным образам (структурам, схемам, математическим формулам). 
Физические или абстрактные образы моделируемых объектов, 
которые облегчают логические построения, исследования или позволяют проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, 
называются моделями.  
Моделирование в широком смысле понимается как реальный 
эксперимент в виде специально организованных опытов в лаборатории, в условиях натуры, или производства, так и любой мысленный эксперимент. Мысленный эксперимент можно определить как 
технически неосуществленную или вообще не осуществимую процедуру, рассматриваемую в качестве логической аналогии реального опыта. 
Например, И. Ньютон сформулировал закон, который принципиально не может быть проверен. Это первый закон Ньютона. Нигде во 

Вселенной не существует условий, чтобы на материальное тело не 
действовали силы. И в то же время этот закон безупречно служит 
человечеству уже четвертое столетие — в этом состоит критерий 
практики. 
Слово модель произошло от латинских слов modus, modulus, означающих «мера», «образ», «способ». Первоначальное развитие модели получили в строительном искусстве. Различные вещи, воспроизводящие что-либо или являющиеся прообразом чего-либо, стали 
называть моделями. В дальнейшем понятие модели получило более 
широкий смысл. 
Различают моделирование физическое и математическое. Физическая модель существует как некоторый искусственно созданный 
объект, подобный реальному объекту. Физическая модель может 
иметь иную физическую природу по сравнению с моделируемым 
объектом. Примером может служить моделирование магнитного 
поля с помощью электрических токов в слое электропроводящей 
бумаги или в электролитической ванне. Экспериментальные исследования с физической моделью называют физическим моделированием. 
Методы физического моделирования нашли широкое применение 
при конструировании мостов и кораблей. Они стали применяться 
при изучении работы различных технических установок, например, 
парогенераторов (котлов), турбин, установок атомных станций, реакторов и насосов жидкого металла и т.д. На моделях стали изучать 
течение водных потоков, различные гидродинамические явления, 
явления при землетрясениях и др. 
Чтобы провести физическое моделирование, необходимо изготовить опытный образец реального объекта в уменьшенном масштабе. 
В процессе испытаний определяются рабочие характеристики, надежность, степень выполнения технических требований, предъявляемых к объекту. 
Физическое моделирование сложных технических систем сопряжено с большими временными и материальными затратами. Поэтому одновременно с физическим моделированием стало развиваться 
математическое моделирование. 
Математическое моделирование состоит в замене исходного 
объекта его «образом» — математической моделью. Математическая модель концентрирует в себе записанную в форме математических соотношений совокупность наших знаний и представлений о 
соответствующем объекте или явлении. Быстрое развитие вычислительной техники позволило резко увеличить сложность используемых моделей. Появилась возможность строить модели, учитывающие значительное разнообразие действующих факторов. 
Математическую модель изучают с помощью вычислительных 
алгоритмов, реализуемых на компьютерах. Работа не с самим объек

том, а с его моделью позволяет безболезненно, быстро и без больших затрат исследовать свойства и поведение объекта в любых мыслимых ситуациях. Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы — 
от разработки технических систем до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.  
Сложные технические системы, изучаемые современной наукой, 
не поддаются исследованию с нужной полнотой и точностью обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент с 
такими системами продолжителен, стоит дорого, часто опасен или 
попросту невозможен. Цена ошибок и просчетов здесь недопустимо 
высока. Поэтому математическое моделирование является неизбежной составляющей сложных научных исследований и технических 
разработок. 
Математическое моделирование используется при проектировании и при эксплуатации систем на различных уровнях их изучения – 
начиная от анализа работы элементов и кончая исследованием систем в целом при их взаимодействии с внешней средой. Математические модели являются основными компонентами систем автоматизированного проектирования (САПР). 
 
1.2. Введение в теорию подобия  

Теория подобия рассматривает аналогии в моделировании и определяет методику применения этих аналогий в научном и практическом исследовании. Изучение свойств подобных явлений и методы установления подобия составляют содержание теории подобия 
физических явлений. 
 
Подобие физических явлений и его признаки 
Каждому изменению состояния системы, происходящему во времени и пространстве, отвечает ряд процессов или один процесс. При 
протекании процесса меняются значения переменных, характеризующих состояние системы. Система, в которой происходят процессы, состоит из элементов. Их физические характеристики определяют параметры системы. 
Для описания процессов необходимо ввести систему координат, в 
которой записывается математическое уравнение, связывающее между собой переменные и параметры системы. Явления будут подобны друг другу, если существует полное соответствие всех геометрических размеров рассматриваемых систем и всех изменяющихся во 
времени и пространстве переменных. 
Геометрическое соответствие материальных систем означает, что 
все пространственные координаты одной системы пропорциональны 
пространственным координатам второй системы. Математически это 

условие в декартовых координатах записывается следующим образом: 
 

;     
;     
,
i
i
i

x
y
z
i
i
i

x
y
z
m
m
m
X
Y
Z



 

 
где 
, , ,
i
i
i
x
y
z
, , 
i
i
i
X
Y
Z  — координаты сходственных точек рассматриваемых систем; 
, 
, 
x
y
z
m
m
m  — коэффициенты подобия или 
масштабы. 
При неравенстве масштабов по координатным осям, т.е. если 
 
,
x
y
z
m
m
m


 
 
осуществляется так называемое аффинное подобие. Пример аффинного подобия приведен на рис. 1.1. 
Частным случаем аффинного подобия является геометрическое 
подобие, при котором масштабы по осям равны. Пример геометрического подобия приведен на рис. 1.2. 
 

 
Рис. 1.1. Пример аффинного подобия 
 

 
Рис 1.2. Пример геометрического подобия 
 
При абсолютном подобии явлений требуется, чтобы во все сходственные моменты времени во всех сходственных точках пространства переменные и параметры одной системы были пропорциональ

ны соответствующим параметрам другой системы. В общем виде это 
условие можно записать следующим образом: 
 

,
i
i
i

P
m
R 
 

 
где 
, 
i
i
P R  — сходственные переменные и параметры элементов рассматриваемых систем; 
i
m  — коэффициенты подобия или масштабы 
сходственных параметров. 
 
Анализ размерностей 
Все упомянутые выше виды подобия подчиняются некоторым 
общим закономерностям, которые принято называть теоремами о 
подобии. Этих теорем три [8]. Доказательство данных теорем основано на положении теории размерности. Рассмотрим некоторые из 
этих положений. 
Измерение любой физической величины сводится к сравнению ее 
с некоторой одноименной величиной, принятой за единицу. В результате измерения получается отвлеченное число, выражающее 
отношение рассматриваемой величины к единице измерения. 
Если, например, данная величина a , будучи измерена единицей 
 
a , дает число  
a , то можно записать 

 

 
 ,
a
a
a 
 

 
где  
a  — единица измерения;  
a  — числовое значение величины 
(безразмерный коэффициент). 
Измерив ту же величину a  единицей  
 
b
m
a


, получим соответственно 

 
 

 
 ,
a
a
a
b
b
m a
m



 

 
т. е.  
 .
a
m b

 
Это означает, что при уменьшении или увеличении единицы измерения данной величины в m  раз во столько же раз соответственно увеличится или уменьшится число, которым эта величина выражается. 
Единицы измерения могут быть основными и производными. Совокупность основных единиц и производных, образованных по определенным правилам, составляет систему единиц. Основные еди

ницы характеризуются тем, что размер ее выбирается произвольно и 
не зависит от остальных единиц. 
Всякая производная единица измерения является степенной 
функцией от основных единиц измерения. Поскольку формулы размерностей воспроизводят зависимость между самими физическими 
величинами, то каждая физическая величина может быть выражена 
через величины, соответствующие основным единицам измерения, 
только посредством степенной функции вида: 
 

1
2
,
k
a
a
a
a






 
где a  — данная физическая величина;  , ,
,
 

…
 — отвлеченные 
числа; 
1
2
,
,
,
k
a a
a
…
 — физические величины, соответствующие основным единицам измерения. 
Например, если в качестве величин, соответствующих основным 
единицам измерения, принять массу m, длину l и время t, то мощность, как известно, можно выразить через эти величины следующим образом: 
 

2
3
2
.
A
Fl
mal
mll
W
ml t
t
t
t
t t







 

 
Предположим, что мы пользуемся системой, в основу которой 
положены k  основных единиц, например, 
1
2
,
,
,
k
a a
a
…
. Тогда произ
водная единица 

1
ka 
является их функцией вида: 
 


  




1
1
1
1
1
2
,
k
k
a
a
a
a








 
(1.1) 
 
где 
1
1
1
,
,
,
 

…
— любые действительные числа, называемые раз
мерностями производной единицы 

1
ka 
 относительно основных 

единиц   



1
2
,
,
,
k
a
a
a
…
. 
Уравнение (1.1), дающее зависимость производной единицы от 
основной единицы, называется формулой размерностей. При переходе к другой системе, в которой основными единицами будут 
   
 
1
2
,
,
,
k
b
b
b
…
, причем 
 
 
 
 


 


1
1
1
2
2
2
;     
;
,
k
k
k
b
m a
b
m
a
b
m
a



…