Теоретическая механика

Теоретическая
механика

 Учебное пособие

Москва
ИНФРА-М
2021

Г.П. Бурчак
Л.В. Винник

Рекомендовано в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по техническим направлениям 
подготовки (квалификация (степень) «бакалавр»)

Бурчак Г.П.
Теоретическая механика : учебное пособие / Г.П. Бурчак, Л.В. Винник. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 271 с. — (Высшее образование: 
Бакалавриат). — DOI 10.12737/9955.

ISBN 978-5-16-009648-3 (print)
ISBN 978-5-16-100955-0 (online)

В учебном пособии на основе опыта преподавания теоретической механики представлен материал для совершенствования восприятия специальных 
инженерных дисциплин и решения новых технических задач. Главное внимание уделено примерам решения задач механики железнодорожного транспорта. Приведены примеры решения практических задач, как простых так и 
сложных, что позволит лучше усвоить основные принципы механики  системы 
твердых тел.  
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
Для студентов и аспирантов технических вузов, а также будет полезно инженерам и научным работникам.

 УДК 531(075.8)
ББК 22.2я73

Б90

ISBN 978-5-16-009648-3 (print)
ISBN 978-5-16-100955-0 (online)
© Г.П. Бурчак, 
    Л.В. Винник, 2015

Р е ц е н з е н т ы:
кафедра прикладной механики Брянского 
государственного технического университета 
(зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.И. Сакало);
д-р техн. наук, проф. В.Н. Котуранов (МИИТ)

УДК 531(075.8)
ББК 
22.2я73
 
Б90

Предисловие

Неискушенный читатель, взглянув на название книги, может воскликнуть: «Как! Еще одна книга по теоретической механике? Неужели не хватает большого числа фундаментальных курсов, написанных известными учеными, как в России, так и в других странах?» 
Вполне сознавая возможность появления такого заключения, авторы 
все же надеются, что предлагаемое издание позволит читателю убедиться в наличии существенных отличий от аналогичных изданий, 
как кратких, так и фундаментальных.
Известно, что методы исследования движения природных объектов, созданные в теоретической механике, широко используются в 
различных отраслях науки и техники, особенно в инженерной практике. Безусловно, ответы на многие вопросы, возникающие у инженеров-практиков и исследователей технических проблем, можно 
найти в указанных курсах и специальной литературе. Однако они 
зачастую столь всеобъемлющи и изложение материала в них столь 
строго, что, к сожалению, многим нетерпеливым современникам, 
изучающим механику, пользоваться этими курсами затруднительно.
Поэтому представляется полезным, если можно так выразиться, 
создание книг по теоретической механике, «приземленных» к отдельным отраслям техники. Это «приземление», прежде всего, характеризуется простотой изложения и ограничением круга рассматриваемых вопросов. Попыткой реализации такого «приземления» и 
является предлагаемая книга. При этом авторы пытались следовать 
указаниям величайшего физика современности Альберта Эйнштейна, который как-то заметил примерно следующее: «…Все 
должно быть изложено так просто, как только возможно, но не 
проще». Другими словами, при общении с читателем нельзя опускаться до уровня вульгаризации.
Предмет «Теоретическая механика» входит сейчас в программы 
практически всех инженерных специальностей, поскольку во всем 
окружающем человека реальном мире на Земле наблюдается и осуществляется механическое движение. Поэтому любому инженеру 
нужно знать и глубоко понимать законы этого движения и связанные 
с ним другие процессы природы.
До последнего времени, к сожалению, в вопросах применения 
механики отмечается некоторая консервативность, связанная, повидимому, с недооценкой практиками глубокого анализа всех «механических явлений», происходящих при работе различных механизмов и устройств. Не являются исключением в данном вопросе и 
проблемы, связанные с созданием и эксплуатацией рельсовых транс

портных средств. Поэтому авторы решили представить на суд читателя книгу по теоретической механике для специалистов, деятельность которых связана с рельсовым подвижным составом, и представителей других инженерных специальностей.
Эта работа создана в союзе авторов, один из которых является 
педагогом более чем с 50-летним стажем преподавания теоретической механики в МИИТе, а другой — ученым-практиком с 45-летним стажем работы на производстве и некоторым опытом преподавания специальных дисциплин.
Совместная разработка ряда проблем, базирующаяся на отдельных самостоятельных результатах работ каждого из авторов, позволила им опубликовать не один десяток научных статей и доложить 
результаты на многих конференциях, форумах и симпозиумах, как в 
России, так и за рубежом.
Ознакомление с большим объемом технической литературы, материалами международных симпозиумов, а также с учебными планами зарубежных университетов привело авторов к мысли предложить читателям это издание, в котором нашли отражение единые 
взгляды авторов как на систему преподавания, так и на содержание 
краткого курса теоретической механики.
На наш взгляд применяемая в книге методика более соответствует 
современным подходам к изложению общетеоретических и специальных дисциплин, чем традиционно принятая во многих технических вузах. Дело, прежде всего заключается в том, что число часов, 
отводимое на изучение курса теоретической механики во многих инженерных институтах и университетах, неуклонно уменьшается, хотя 
насыщение специальных прикладных курсов вопросами механики 
все время возрастает. Особенно это заметно по курсам «Динамика 
подвижного состава» и «Динамика вагона» (Университет Путей Сообщения), в которых рассматривают колебания систем со многими 
степенями свободы, в том числе и при случайных внешних воздействиях. Безусловно, не имея фундаментальных знаний по основному 
курсу механики, освоить эти вопросы студентам чрезвычайно трудно.
Кроме этого инженерам производственникам ежедневно приходится решать вопросы, не укладывающиеся в рамки преподаваемого 
традиционного курса. С другой стороны, в современных учебных 
планах специальные дисциплины часто выносят на первый и второй 
курсы, и в них используют понятия и методы механики без достаточно строгого обоснования.
Авторы считают необходимым использовать такую методику изложения теоретической механики, чтобы за сравнительно небольшое 
время студенты, аспиранты и все желающие могли овладеть как основными, необходимыми понятиями предмета, так и современными 
методами решения задач механики, а инженеры и некоторые науч

ные работники — освежить, а может быть, кое-что и переосмыслить 
из ранее полученных знаний.
При написании книги авторы считали, что в процессе изложения 
теоретической механики необходимо как можно больше использовать 
знания, полученные в курсах физики различных уровней, начиная со 
школьного. Основные законы механики должны быть усвоены 
именно в процессе изучения физики, а сам курс механики следует 
строить так, чтобы на основе уже известных законов преимущественно излагать методы исследования равновесия и движения достаточно сложных механических систем, близких к тем, которые изучаются в профилирующих курсах различных инженерных специальностей. 
Здесь представляется возможным за счет сокращения времени изложения основ ньютоновской механики более широко представить отдельные методы аналитической механики для решения конкретных 
специальных задач.
С другой стороны, традиционный, индуктивно излагаемый на основе простейших аксиом курс, хотя и представляется на первый 
взгляд более простым для осмысления, часто на практике приводит 
к тому, что, обманувшись очевидностью первоначальных аксиом, 
изучающие механику недооценивают сложность, подстерегающую 
их в усвоении дальнейшего материала.
В этом смысле дедуктивный подход, базирующийся на более сложных аксиоматически принимаемых закономерностях, является более 
перспективным, поскольку остальное изложение является развитием 
одной руководящей идеи, подтверждаемой неоднократно с помощью 
иллюстраций различной сложности. Такой подход позволит также 
инженерам и научным работникам, давно изучавшим механику, или 
познающим ее вновь с помощью самообразования, значительно облегчить процесс познания. Кроме этого дополнительно в книгу внесены отдельные вопросы и задачи, относящиеся скорее к прикладным задачам механики подвижного состава. Разделы, в которых 
излагаются эти материалы, при первом чтении можно опустить.
Предлагаемая книга является кратким конспективным курсом. 
Поэтому некоторые объяснения и выводы могут показаться недостаточно полными, а иногда просто иллюстративными. В таких случаях, 
как это и предполагается при глубоком изучении механики, читателю следует обратиться к более фундаментальным изданиям.
Заметим также, что поскольку цель, поставленная авторами при 
создании этого курса, заключалась в кратком изложении основных 
идей, то здесь возможно не хватает некоторых традиционных разделов, а также простых примеров и другого иллюстративного материала.
Особенностью оформления излагаемого материала является применение только латинского и греческого шрифтов при написании 
формул и для обозначений используемых величин. При этом часто 

использовались начальные буквы английских или французских слов, 
выражающих описываемый объект, состояние, положение и др. Такой способ позволяет избежать некоторой эклектичности, связанной 
с использованием для указанных целей еще и русского алфавита, и 
возможно облегчит читателю использование оригинальных зарубежных изданий.
Вся работа по созданию книги выполнена авторами совместно, и 
они в равной степени берут на себя ответственность за все имеющиеся недостатки и с благодарностью примут все замечания.
Выражаем глубокую благодарность своим учителям, профессорам 
и преподавателям МИИТа, участвующим в формировании нашего 
«механического мировоззрения», а также всем коллегам и друзьям, 
в спорах и обсуждениях с которыми вырабатывались взгляды на излагаемые проблемы. К сожалению, нет возможности их всех здесь 
перечислить.
Также весьма признательны рецензентам: кафедре «Прикладная 
механика» Брянского государственного технического университета, 
в особенности заведующему кафедрой доктору технических наук профессору В.И. Сакало и кандидату технических наук доценту Т.В. Селенской, замечания которых позволили устранить некоторые методические погрешности и опечатки: доктору технических наук профессору кафедры «Вагоны» МИИТа В.Н. Котуранову, который взял 
на себя труд прорецензировать рукопись и внес ценные замечания.
Особой благодарности заслуживает Л.Н. Беляева, благодаря титаническому труду которой по подготовке материала, книга смогла 
увидеть свет.

введение

Теоретическая механика есть наука об общих законах механиче
ского движения и равновесия материальных тел под действием сил. 
Являясь частью физики, теоретическая механика относится к фундаментальным научным дисциплинам.
Под механическим движением будем понимать перемещение тела 
относительно другого тела, принимаемого за неподвижное. Воспринимая движение лишь как относительное, отмечают изменение положения тела относительно неподвижного тела, с которым связана 
система отсчета.
Теоретическая механика состоит из разделов:

 
• статика, изучающая условия равновесия тел под действием сил;

 
• кинематика, где движение изучают только с описательной точки 
зрения вне зависимости от причин, его вызвавших;

 
• динамика, изучающая движение вместе с причинами, его обусловливающими.
Цель данной работы — изложение методов исследования равновесия и движения достаточно сложных моделей механических систем. Овладение материалом предлагаемой книги будет способствовать более глубокому формированию инженерного мировоззрения, 
в области механики. А также расширению навыков решения конкретных сложных технических задач различного рода машин и механизмов, особенно используемых на транспорте.
По применяемым методам исследования механических движений 
различают: геометрическую механику Ньютона и аналитическую 
механику Лагранжа, Гамильтона и др.
Геометрическая механика, основывающаяся на законах Ньютона, 
исходит из векторного описания характеристик движения систем и 
характеристик взаимодействия между ними. Изложению этого материала посвящены главы 1–3.
В аналитической механике состояние системы описывают с помощью специально введенных функций от параметров системы. На 
основе постулируемого принципа находят значения этих параметров, 
соответствующие истинному движению, при которых реализуется 
экстремум указанных функций состояния системы.
В инженерной практике чаще используется геометрическая механика, хотя в последние десятилетия находят применение некоторые методы, используемые в аналитической механике, часть из которых приведена в главе 4. В основном все тонкости аналитической 
механики являются необходимым аппаратом теоретической физики. 
Поэтому в предлагаемой книге они не рассматриваются.

Излагая материал, авторы исходили из предположения, что читателю известны и истолкованы в курсах физики все основные понятия и законы механики, такие, как, например, материальная точка 
(частица), абсолютно твердое тело, радиус-вектор точки, а также все 
три закона Ньютона, справедливые для описания движения по отношению к инерциальной системе, т.е. такой системе, по отношению к которой материальная точка, не испытывающая никаких механических воздействий, покоится или движется прямолинейно и 
равномерно.

ГлАвА 1.  
сТАТиКА

1.1.  
неКоТорые основные ПоняТия

Система материальных точек. Совокупность конечного 

i
n
= 1 2
, ,...,
 или бесконечно большого числа материальных точек, 
движение которых взаимосвязано, образует систему материальных 
точек. Она является наиболее общим объектом, который изучает 
механика (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Система материальных точек, движущаяся по отношению  
к неподвижной системе отсчета Oxyz

Если расстояния между точками системы всегда остаются постоянными r
r
i
i
+ −
=
1
const,  систему называют неизменяемой. Если в неизменяемой системе i → ∞,  то получаем твердое тело.
Положение системы материальных точек определяет совокупность радиусов-векторов ri  при i
n
= 1 2
, ,...,
. Радиус-вектор — это 
вектор, проведенный из какой-либо точки неподвижной системы отсчета к рассматриваемой материальной точке. При движении радиусы-векторы изменяются. Как и для всякой переменной величины, 
для них можно ввести характеристики быстроты их изменения. Мерой быстроты изменения радиуса-вектора является его производная 
по скалярному аргументу — времени r
V
i
i
=
,  т.е. скорость1. В механике используют также меру быстроты изменения первой производной — вторую производную r
a
i
i
=
, т. е. ускорение.
Равновесие. Назовем состоянием равновесия такое состояние системы, при котором все радиусы-векторы постоянны, т. е. ri = const, и 
поэтому 

V
r
i
i
=
= 0,  a
r
i
i
=
= 0.  При этом предполагаем, что все ri  за
1 
Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями векторной 
алгебры, а также с определением производной вектор-функции по скалярному аргументу. Некоторые простейшие сведения по этому вопросу приведены в п. 2.2.

x

даны в инерциальной системе отсчета. Заметим, что при таком определении состояния равновесия в него не входит обычно включаемое 
движение по инерции с одинаковыми постоянными скоростями всех 
точек. Инерциальное движение целесообразно определять через характеристики взаимодействия системы с другими системами.
При взаимодействии тел и (или) систем материальных точек характеристики их движений изменяются. Причиной изменения этих 
характеристик являются силы.
Сила — это результат взаимодействия тел или тел и поля, при котором происходит изменение состояния их механического движения.

Рис. 1.2. Характеристики силы как векторной величины

В более широком смысле силу в механике рассматривают также, 
как результат взаимодействия тела с полем, где поле не обязательно 
связано с конкретным другим телом, а является характеристикой 
пространства. Например, гравитационное поле.
Силу, как количественную меру механического взаимодействия 
тел, можно представить векторной величиной (рис. 1.2), характеризующейся модулем (абсолютной величиной), направлением (стрелка 
на линии действия) и точкой приложения. При этом 

F
F
=
 — абсолютная величина силы (модуль).

Рис. 1.3. Вектор момента силы относительно точки О

Вращательный эффект действия силы характеризует вектор-момент относительно точки, который определяют как векторное произведение m
F
r
F
O
O
( )
,
=
×
 т.е. m
F
O( )  перпендикулярен плоскости 
OABC и направлен так, что с конца этого вектора поворот от первого 
сомножителя ко второму был бы виден происходящим против хода