Теория надежности. Статистические модели

Москва
ИНФРА-М
2022

Допущено
Учебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки 09.03.01 
«Информатика и вычислительная техника»

ТЕОРИЯ
НАДЕЖНОСТИ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

А.В. АНТОНОВ
М.С. НИКУЛИН
А.М. НИКУЛИН
В.А. ЧЕПУРКО

УДК 519.87(075.8)
ББК 32.81я73
 
А72

Антонов А.В.
Теория надежности. Статистические модели : учебное пособие / 
А.В. Антонов, М.С. Никулин, А.М. Никулин, В.А. Чепурко. — 
 Москва : ИНФРА-М, 2022. — 576 с. + Доп. материалы [Электронный 
ресурс]. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-010264-1 (print)
ISBN 978-5-16-102187-3 (online)
В учебном пособии излагаются современные динамические модели и методы статистического анализа характеристик надежности сложных технических систем. Приводятся методы расчета показателей надежности элементов 
и систем с учетом их старения, излагаются вопросы расчета характеристик 
структурно-сложных систем, модели анализа надежности восстанавливаемого оборудования. Уделяется внимание вопросам обработки статистической 
информации на основании цензурированных наблюдений, излагаются непараметрические методы оценки характеристик надежности, динамические 
регрессионные модели и модели с ковариантами, применяемые при планировании и организации ускоренных испытаний. Представлены современные 
модели и методы анализа информации по исследованию деградационных процессов, протекающих в оборудовании во время его функционирования, позволяющих анализировать старение оборудования. 
Для студентов, обучающихся по направлению «Информатика и вычислительная техника» и образовательной программе (специальности), реализуемой 
в рамках направления подготовки дипломированных специалистов «Автоматизированные системы обработки информации и  управления», а также для 
аспирантов и инженеров. 
УДК 519.87(075.8)
ББК 32.81я73

А72

Авторы:
А.В. Антонов, д-р техн. наук, профессор Обнинского института атомной 
энергетики НИЯУ МИФИ, Россия;
М.С. Никулин, профессор Университета им. В. Сегалена, Бордо-2, 
Институт прикладной математики, Франция;
А.М. Никулин, старший преподаватель Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, Россия;
В.А. Чепурко, канд. физ.-мат. наук, доцент Обнинского института 
атомной энергетики НИЯУ МИФИ, Россия 

Рецензенты:
Р.Т. Исламов, д-р физ.-мат. наук, профессор МФТИ;
Ю.С. Хохлов, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой РУДН;
Д.В. Строганов, канд. техн. наук, доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана

© Антонов А.В., Никулин М.С., 
Никулин А.М., Чепурко В.А., 2015

Материалы, отмеченные знаком 
, 
доступны в электронно-библиотечной системе Znanium

ISBN 978-5-16-010264-1 (print)
ISBN 978-5-16-102187-3 (online)

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

С.в. — случайная величина
С.п. — случайный процесс
Н.о.р.с.в. — независимые одинаково распределенные с.в.
М.о. — математическое ожидание
Х.ф. — характеристическая функция
П.ф. — производящая функция
Ф.р. — функция распределения
ВБР — вероятность безотказной работы
П.р. — плотность распределения
НФП — нормализующая функция потока
ФВ — функция восстановления
ВФП — ведущая функция потока
ППО — параметр потока отказов
ЗБЧ — закон больших чисел
ЦПТ — центральная предельная теорема
HPP — однородный пуассоновский процесс
NHPP — неоднородный пуассоновский процесс
RP — процесс восстановления
IGP — неоднородный гамма-процесс
TRP — процесс восстановления с трендом
GP — геометрический процесс восстановления
NFF — процесс восстановления по модели НФП
CIF — условная функция интенсивности
Fξ(x), Pξ(x) = 1 - Fξ(x) — ф.р. и ВБР для с.в. ξ
fξ(x) — п.р. с.в. ξ
Θξ(x) — п.ф. с.в. ξ
Eξ, Varξ — м.о. и  дисп. с.в. ξ
Λ(t), λ(t), ω(t) — ФВ, интенсивность и ППО
Dk — длительность k-го промежутка RP-процесса
τk — момент наступления k-го события RP-процесса
ξt — считающий процесс (число событий, происшедших к моменту 
времени t)
νt, ρt, δt — перескок, недоскок и длительность цикла

Kx(t) — нестационарный коэффициент оперативной готовности
K(t) — нестационарный коэффициент готовности
λi(t) — стохастическая интенсивность
λ(t)|H(t)) — CIF
λξ(t) — интенсивность отказов
Φ(x) — ф.р. стандартного нормального закона (N(0;1))

Φ( )
x
e
du

u
x

=

−

−∞∫

1

2

2

2

π

erfc( )
x
x
e
du
u

x

=
− (
)
(
) =
−

∞
∫
2 1
2
2
2
Φ

π

Г(x) — гамма-функция Γ( )
x
t e dt
x
t
=

∞

−
∫
0

f
f
x
f x
u f
u du
f
x
u f u du
1
2
1
2
2
1
*
( )
(
)
( )
(
) ( )
(
)
=
−
=
−

−∞

∞

−∞

∞

∫
∫
 — свертка функций

 f1(x) и f2(x).
Если supp
supp
[ ;
)
f
f
1
2
0
=
=
+∞ , то f
f
x
f x
u f
u du

x

1
2
1

0

2
*
( )
(
)
( )
(
)
=
−
∫

f *(k) — k-кратная свертка, f *(0) = 1
θ(x) — функция Хэвисайда
δ(x) — дельта-функция
Ik(t) — модифицированная функция Бесселя k-го порядка

ϕ(x) и ϕ
ϕ
( )
( )
p
e
x dx
px
=
−

∞
∫
0

 — оригинал и соответствующий ему образ 

Лапласа
ξ < η, (ξ > η) — ξ стохастически меньше (больше) η

ВВЕДЕНИЕ

Вниманию читателей предлагается учебное пособие, в котором 

основное внимание уделяется статистическим моделям оценки показателей надежности. В настоящее время теория надежности переживает второе рождение. Идет ускоренная разработка и создание 
новых моделей и методов, применительно для расчета и обоснования 
безотказности высоконадежных сложных технических, социотехнических, биологических систем. Расширяются также и области применения методологии теории надежности. Следует отметить, что 
методы теории надежности применяются не только при решении 
задач расчета и вычислении рисков технических систем, они находят 
широкое применение в медицинских и социологических исследованиях, при обосновании рисков страховых компаний, в экономике, в 
демографии, в оценивании качества жизни.

Повышенное внимание специалистов к разработке и примене
нию новых математических моделей и методов в теории надежности 
обусловлено реальными потребностями промышленности, науки и 
техники, медицины и ряда других областей человеческой деятельности. Сегодня промышленность выпускает высококачественные, 
надежные, сложные и дорогостоящие изделия. При этом ужесточаются требования по формированию технической документации на 
продукцию, в которой необходимо отмечать основные характеристики надежности и качества, формулировать гарантийные обязательства предприятия-изготовителя  продукции с учетом старения, деградации и условий эксплуатации изделий. Для решения данной 
задачи проводятся специальным образом организованные ускоренные испытания в динамически меняющейся среде. Специалисты по 
теории надежности и статистике должны оптимальным образом 
спланировать такого рода испытания, а затем пересчитать их результаты на нормальные условия, в которых предполагается осуществлять эксплуатацию изделий. При этом необходимо учитывать, что 
для обеспечения конкурентной способности оборудования осуществляется непрерывное обновление производства, вместе с ним изменяются стандарты по контролю качества, и задача специалистов по 
надежности состоит в разработке и адаптации планов ускоренных 
испытаний.

В ряде отраслей промышленности, в частности в энергетике, 

ядерной энергетике, авиации и судостроении, моторостроении и 
производстве новых материалов существует проблема оценки реального уровня надежности и безопасности сложного эксплуатируемого оборудования, подверженного воздействию процессов старения, 

усталости, износа и деградации, а также учета влияния так называемого человеческого фактора на надежность сложных систем. В настоящее время большое количество энергетических объектов имеет 
выработку ресурса, близкую к установленной проектом. Перед эксплуатирующими организациями стоит проблема принятия решения 
о дальнейшей эксплуатации объектов. Вывод большого количества 
энергоблоков из хозяйственной деятельности связан с существенными материальными затратами. Продление же ресурса объектов должно быть теоретически и практически обоснованным и подтверждаться обследованием состояния оборудования, проведением расчетов 
характеристик надежности и прогнозированием их поведения в будущем. Иными словами, задача состоит в оценке и прогнозировании 
ресурса как отдельного оборудования, так и сложных установок и 
систем в целом.

В данном пособии авторы ставят своей задачей познакомить рос
сийских специалистов (научных работников, инженеров, студентов, 
аспирантов) с современными динамическими моделями и методами 
статистического анализа характеристик надежности сложных технических систем. Значительное внимание в книге уделяется динамическим моделям, учитывающим различные неоднородности процесса функционирования объектов. Содержание учебного пособия условно разбито на три части. 

В первой части даются основные понятия теории надежности, 

определяются показатели восстанавливаемых и невосстанавливаемых объектов и приводятся классические способы их оценки. Приводится классификация исходных данных, поступающих на обработку с целью проведения анализа надежности, дается характеристика правил технической эксплуатации. Далее в первой части 
излагаются стохастические модели, применяемые для описания поведения наработки на отказ изделий, приводятся соотношения для 
проведения анализа невосстанавливаемых объектов. Особое внимание уделяется такому показателю надежности, как интенсивность 
отказа. Излагаются также методы, применяемые для построения моделей и расчета надежности сложных систем.

Во второй части книги приведены некоторые статистические ме
тоды оценки показателей надежности и проверки гипотез. Уделяется 
внимание вопросам обработки статистической информации на основании полных и цензурированных выборок. В качестве процедур 
анализа рассмотрены метод максимального правдоподобия и байесовские методы. Излагаются непараметрические методы оценки характеристик надежности. В данном разделе приводятся оригинальные непараметрические процедуры обработки информации с учетом 
различного рода цензурирования. Кратко изложены регрессионные 
модели. На базе регрессионных моделей строятся статистические 

модели, применяемые при планировании и организации ускоренных 
испытаний.

В третьей части пособия приводятся методы расчета показателей 

надежности элементов и систем с учетом их старения, а также методы анализа информации по исследованию деградационных процессов, протекающих в оборудовании в ходе его функционирования, с 
целью прогнозирования его поведения в процессе эксплуатации при 
различных  условиях, возможно отличных от нормальных. Методы 
учета старения в работе оборудования базируются на теории случайных процессов. В работе приводится классификация процессов. Рассматриваются новые классы процессов восстановления с наличием 
тренда (так называемые trend renewal process). Исследуются характеристики геометрических процессов, процессов с нормализующей 
функцией потока. Ряд из рассматриваемых моделей является также 
оригинальными работами авторов.

В основу учебного пособия положен многолетний опыт авторов 

чтения курсов по статистике и теории надежности систем студентам 
специальности «Автоматизированные системы управления», а также 
магистрам, обучающимся по направлению «Информатика и вычислительная техника» в Обнинском государственном техническом университете атомной энергетики (г. Обнинск, Россия), в Санкт-Петербургском государственном политехническом университете и студентам специальности «Надежность и математическая статистика» в 
Университете Виктора Сегалена Бордо-2 (г. Бордо, Франция).  В книге также произведена попытка обобщения публикаций и материалов, 
докладываемых на многих Международных конференциях по теории 
надежности и ее применениям, особенно организованных при поддержке европейского семинара «Математические методы в анализе 
долговечности, надежности и качества жизни» (Mathematical methods 
for survival analysis, reliability and quality of life», http://www.dma.utc.
fr/~nlimnios/SEMINAIRE/).

Материалы, излагаемые в книге, являются результатом длитель
ной научной работы авторов в области теории надежности и анализа 
долговечности, а именно: А. Антонова и В. Чепурко на кафедре автоматизированных систем управления Обнинского государственного 
технического университета атомной энергетики (г. Обнинск), А. Никулина в Санкт-Петербургском государственном политехническом 
университете и М. Никулина в лаборатории статистических методов 
Петербургского отделения Математического института имени 
В. Стеклова РАН и в лаборатории математической статистики Университета Виктора Сегалена. Всем этим организациям, а также консультационному центру StatXpert (Бордо) мы приносим нашу глубокую признательность за поддержку нашего сотрудничества.

Авторы также выражают искреннюю благодарность друзьям и 

коллегам, поддержавшим данную работу, сделавшим ряд ценных за

мечаний и оказавшим помощь на этапе подготовки рукописи: профессору В.А. Острейковскому (г. Сургут, Россия), профессору 
А.Н. Анохину (г. Обнинск, Россия), профессору Б.Ю. Лемешко  
(г. Новосибирск, Россия), профессору В. Багдонавичюсу (г. Вильнюс, 
Литва), профессору В.Г. Воинову (г. Алма-Ата, Казахстан), профессору В.Н. Солеву (г. Санкт-Петербург, Россия). Авторы признательны своим друзьям и коллегам, а также Валентине Антоновой, Алле 
Чепурко и Валентине Никулиной за их помощь, поддержку и внимание к нашей работе над книгой.

Александр Антонов 

Алексей Никулин 
Михаил Никулин 
Валерий Чепурко

Глава 1. 
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ 
ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ 
ОБЪЕКТОВ

1.1. НАДЕЖНОСТЬ ОБЪЕКТОВ 

КАК КОМПЛЕКСНОЕ СВОЙСТВО

Сложность современных систем и оборудования, необходимость 

поддержания высокого уровня их функциональной готовности выводят на первый план вопросы обеспечения качественной и эффективной эксплуатации. Эффективность функционирования любых 
объектов в значительной степени определяется эксплуатационнотехническими характеристиками, особое место среди которых занимают пока затели надежности, безопасности и живучести. Среди них 
важное место занимают показатели, характеризующие одно из основополагающих свойств объектов – свойство надежности. В данном 
разделе приведем основные понятия и определения теории надежности согласно ГОСТ 27.002-89 [30]. 

Надежность — свойство объекта сохранять во времени в установ
ленных пределах значения всех параметров, характеризующих 
способ ность выполнять требуемые функции в заданных режимах и 
условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транс портировки.

В данном определении имеются следующие особенности. Во-пер
вых, о надежности объекта имеет смысл говорить только применительно к режиму функционирования объекта, когда объект выполняет свои функции. В этом аспекте нет смысла говорить о надежности, 
напри мер, во время проведения на объекте планово-предупредительных работ (ППР), ремонтов, замены оборудования, освидетельствований и других мероприятий, связанных с выводом объекта в неработоспособное состояние. Во-вто рых, в определение надежности включено понятие «установленные пре делы». Сложная система при отказе 
отдельных элементов или подсис тем может сохранять свою работоспособность в несколько усеченном виде. В-третьих, надежность объекта целесообразно определять на заданном интервале времени, 
например, если речь идет о восстанавливаемых объектах,  которые 
подвергаются планово-профилактическим ремонтам, и в период 
проведения этих ремонтов осуществляется полное восстановление 

работоспособности объекта, то есть смысл определять показатели 
надежности на период времени от одного ремонта до другого.

Основным понятием в теории надежности является понятие сис
темы. Под системой понимается совокупность взаимодействующих 
и взаимосвязанных элементов, предназначенная для самостоятельного выполнения определенной практической функции. В данном 
определении выделяется три основных компоненты системы – элементы, связи и операции. Важной особенностью системы является 
то, что она создается или функционирует для достижения определенной цели. То есть в результате динамического поведения системы 
решаются какие-то определенные задачи, которые в конечном итоге приводят к достижению глобальной цели функционирования или 
развития системы. 

Термин «элемент» применяется для составной части системы. 

Элемент не предназначается для самостоятельного практического 
применения вне связи с другими элементами. Деление системы на 
элементы нельзя считать произвольным. Каждый элемент должен 
выполнять определенные функции в системе. Элемент — составная 
часть объекта, рассматриваемая при расчете надежности как единое 
целое, не подлежащее дальнейшему разукрупнению. Понятия «система» и «элемент» относительны, любой объект при решении одних 
задач мо жет рассматриваться как система, а при решении других — 
как элемент. 

Надежность является комплексным свойством, включающим в 

себя следующие составляющие: безот казность, ремонтопригодность, 
долговечность и сохраняемость. Для конкретных объектов и условий 
их эксплуатации эти свойства имеют различную относительную значимость. Для некоторых неремонтируемых объектов основным 
свойством является безотказность. Для ремонтируемых объектов одним из важнейших свойств может быть ремонтопригодность. К параметрам, характеризующим способность выполнять требуемые 
функции, относят динамические и кинематические параметры, показатели точности функционирования, производительности, скорости и т.п. С течением времени значения этих параметров могут изменяться. При изменениях, превышающих допустимые пределы, происходит переход объекта в неработоспособное состояние. 
Количественно надежность объекта оценивают с помощью показателей, которые выбирают и определяют с учетом особенностей объекта, режимов и условий его эксплуатации и последствий отказов. 
Значения показателей определяют для заданных режимов и условий 
применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и 
транспортирования объектов.

Безотказность — одно из самых важных свойств надежности эле
ментов и систем. Безотказность — это свойство объекта непрерывно 
сохранять ра ботоспособное состояние в течение некоторого времени