Теория планирования и обработки эксперимента

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Н. Г. МОИСЕЕВ                   Ю. В. ЗАХАРОВ 

 
 
 
 
 
 

ТЕОРИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ 

И ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТА 

 
 
 
 
 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Йошкар-Ола 

ПГТУ 
2018 
 

УДК 001.891(075.8) 
ББК  72я7 

М 74 

 
 

Рецензенты: 
профессор кафедры БЖД Поволжского государственного технологического университета, д-р техн. наук Н. М. Скулкин; 
руководитель Управления федеральной службы по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций, канд. техн. 
наук Г. А. Шишкин. 

 
 
 

Печатается по решению  

редакционно-издательского совета ПГТУ 

 
 
 
 

Моисеев, Н. Г. 

М 74     Теория планирования и обработки эксперимента: учебное посо
бие / Н. Г. Моисеев, Ю. В. Захаров. – Йошкар-Ола: Поволжский 
государственный технологический университет, 2018. – 124 с. 
ISBN 978-5-8158-2010-4 

 

Технологический процесс представлен как система. Приведены ос
новные сведения из теории математической статистики, теории ошибок. 
Показаны методы выбора наиболее существенных факторов объекта эксперимента. Рассмотрены вопросы планирования, проведения и обработки 
результатов пассивного и активного экспериментов для построения математических моделей и оптимизации технологических процессов производства технических систем. 

Для бакалавров и магистрантов направлений подготовки 09.03.01, 

09.04.01, 11.03.04, 11.04.04, 27.03.05, 27.04.05. 

УДК 001.891(075.8) 

ББК 72я7 

 

ISBN 978-5-8158-2010-4 
© Н. Г. Моисеев, Ю. В. Захаров, 2018 
© Поволжский государственный  

технологический университет, 2018  

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 

Настоящее учебное пособие предназначено для подготовки бака
лавров и магистров направлений «Информатика и вычислительная техника», «Инноватика», «Электроника и наноэлектронника». В соответствии с учебными планами этих направлений обучающиеся должный 
освоить дисциплины «Планирование эксперимента», «Основы теории 
эксперимента», «Математическое моделирование физических процессов 
и систем». Это и обусловило необходимость издания данной книги. 

Основной задачей учебного пособия является систематизация и 

структурирование знаний и умений студентов в области планирования и 
обработки эксперимента, математического моделирования и оптимизации технологических процессов производства технических объектов. 

Первый раздел пособия посвящен кибернетическому представле
нию процесса производства технического объекта в виде технологической системы, что позволяет формализовать описание его состояния математическими моделями. 

Во втором разделе приведены основные сведения из теории мате
матической статистики и теории ошибок, так как планирование и обработка эксперимента осуществляются с использованием экспериментально-статистических методов. 

В третьем разделе рассмотрены вопросы выбора варьируемых фак
торов эксперимента, так как не все факторы являются одинаково важными, и задача заключается в упорядочении их по степени значимости 
(информативности). 

Основной материал учебного пособия изложен в четвертом и пятом 

разделах. Здесь рассмотрены: методы математического моделирования 
технологических процессов производства технических объектов на основе пассивного и активного экспериментов; параметры, факторы и модели оптимизации этих процессов. 

Каждый раздел учебного пособия сопровождается практическими 

примерами, а также контрольными вопросами, что призвано способствовать систематизации материала, самоконтролю и углублению полученных знаний. 

СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ 

 

ГС – генерирующее соотношение 

ДФЭ – дробный факторный эксперимент 

КП – композиционный план 

ММ – математическое моделирование 

МНК – метод наименьших квадратов 

НЗР – нормальный закон распределения 

ОК – определяющий контраст 

ОЦКП – ортогональный центральный композиционный план 

ПФЭ – полный факторный эксперимент 

РЦКП – рототабельный центральный композиционный план 

СВ – случайная величина 

ТО – технический объект 

ТП – технологический процесс 

ФМ – физическое моделирование 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Теория планирования эксперимента – научная дисциплина, которая 

применяется для решения широкого круга задач: построения математических моделей интерполяции и экстраполяции различных объектов, 
процессов и явлений окружающего мира; оптимизации технологических 
процессов; проведения промышленного эксперимента в условиях дрейфа исследуемых параметров объекта и др. 

Любые исследования становятся научным экспериментом только 

тогда, когда исследуемые параметры объектов и процессов изменяются 
заданным образом в требуемых диапазонах варьирования, что позволяет 
управлять ходом опытов и воспроизводить их результаты при повторении с точностью до погрешностей измерений. 

Применение планирования эксперимента позволяет исследователю 

целенаправленно и организованно идти к намеченной цели, значительно 
способствует повышению производительности труда и точности полученных результатов. Большим преимуществом теории планирования 
эксперимента является его универсальность, возможность применять 
для исследования и решения широкого круга задач в различных областях науки и техники. 

Впервые идею статистического планирования эксперимента пред
ложил в конце двадцатых годов XX-го века английский ученый Рональд 
Фишер, который показал преимущество одновременного изменения исследуемых факторов – многофакторного эксперимента [1] перед широко 
распространенным однофакторным экспериментом. Через несколько 
десятилетий, в начале пятидесятых годов появилось новое направление 
в планировании эксперимента, связанное с оптимизацией промышленных технологических процессов,– планирование экстремального эксперимента. Первая публикация Бокса и Уилсона, посвященная этому вопросу, вышла в 1951 году в Англии [2]. 

Суть метода, который по именам этих ученых получил название – 

метод Бокса-Уилсона (эволюционное планирование), проста. Исследователь ставит последовательно серии опытов, в каждой из которых одновременно изменяются по определенным планам эксперимента все 
факторы. Серии планируются таким образом, чтобы после математической обработки результатов экспериментов, полученных в предыдущей 
серии, можно было бы выбрать условия проведения экспериментов в 
следующей серии. Последовательно выполняя эти процедуры, экспериментатор достигает цели, которую он стремится достичь, – область оптимума (экстремума). 

В нашей стране планирование эксперимента начало развиваться в 

шестидесятых годах прошлого века в трудах В. В. Налимова [3] и нашло 
продолжение в работах Ю. П. Адлера [4, 5], Е. В. Марковой [6].  

Несмотря на простоту изложенной процедуры планирования экспе
римента, на самом деле все не так просто, как кажется. Когда исследователь начинает осваивать методы планирования эксперимента, возникают трудности связанные с выбором информативных факторов объекта 
исследования, их диапазоном варьирования, выбором оптимального 
плана и обработки результатов эксперимента.  

Целью данного учебного пособия является получение студентами 

знаний и навыков практического применения теории планирования и 
обработки результатов эксперимента.  

Для того чтобы успешно реализовать поставленные задачи, от изу
чающих данную дисциплину требуется знание элементов математической статистики, теории ошибок измерения физических величин и исключения резко выделяющихся результатов эксперимента, теории оптимизации и математического моделирования технологических процессов производства технических объектов. 

 
 

СИСТЕМОТЕХНИЧЕСКОЕ 

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО 

ПРОЦЕССА ПРОИЗВОДСТВА 

ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 

 
Наиболее эффективных результатов при анализе и синтезе сложных 

объектов можно добиться, используя системный подход – формализацию, приводящую к некоторой абстрактной модели его функционирования. На основе системного подхода вопрос решения сложной комплексной проблемы сводится к процессу взаимосвязанных решений менее сложных задач с большей степенью детализации при едином рассмотрении. 

Обобщенным абстрактным образом функциональной модели тех
нологического процесса (ТП) производства технического объекта (ТО) 
может быть его схематическое представление в виде структурной схемы 
(рис. 1). 

 

Рис. 1. Структурная схема технологическая процесса производства ТО 
 
На рисунке 1 используются следующие обозначения: 
𝑋⃗ – входные переменные, воздействующие на изготавливаемое из
делие и вызывающие в нем необратимые изменения. В эту группу объединены управляемые параметры ТП, такие как режимы технологиче
1 

ских операций, характеристики исходного материала и технологического оборудования и др. Изменение значений входных переменных ограничено в определенном интервале, задаваемом нормативно-технической 
документацией; 

𝑌⃗⃗ – выходные переменные, представляющие собой количественные 

и качественные показатели изготовленного изделия (основные регламентирующие данные ТО); 

𝑍⃗ – контролируемые, но неуправляемые переменные. Данную со
вокупность составляют параметры, целенаправленное изменение которых невозможно, например, качество сырья, меняющегося от партии 
к партии; 

𝐸⃗⃗  – неконтролируемые переменные (вектор помехи), отличающие
ся от элементов множеств 𝑋⃗ и 𝑍⃗ своим случайным характером в смысле 
величины, точки приложения и распределения во времени. К параметрам вектора помехи, кроме действующих извне, относятся неоднородность сырья и материалов, погрешности операторов и другие возмущающие воздействия; 

𝑋⃗𝑖 (i = 1, 2, …, n-1; n – число операций ТП) – промежуточные пере
менные, являющиеся в общем случае элементами вектора 𝑋⃗, причем если значения переменных 𝑌⃗⃗ определяют состояние ТП в целом, то значения 𝑋⃗𝑖 – состояние отдельных технологических операций; 

𝑆⃗𝑖 , i = 1, 2, …, n, – множество возможных состояний i-ой операции. 
Соответствуя общему понятию «система»[7], ТП производства ТО 

обладают рядом специфических особенностей, наличие которых заставляет выделить их в особый класс систем – технологических. 

Технологические системы (Т-системы) состоят из подсистем (тех
нологических операций), включающих в себя: 

а) технологическое оборудование, технические средства и инстру
менты, используемые при выполнении операций производственного 
процесса; 

б) исходные и вспомогательные материалы, сырьё, полуфабрикаты, 

подвергающиеся энергетическим воздействиям (механическим, химическим, электрическим и др.) для изготовления элементов ТО, его узлов и 
блоков; 

в) технологическую среду (температура, влажность, давление, чи
стота среды и т.д.), в которой осуществляется процесс производства ТО; 

г) технологическую документацию, определяющую уровень произ
водства; 

д) операторов, участвующих в изготовлении ТО. 

Кибернетическое представление технологического процесса произ
водства ТО в виде Т-системы позволяет формализовать описание его 
технического состояния математическими моделями, что в итоге ускоряет и повышает эффективность решения теоретических и практических 
задач: 

- диагностики качества технического объекта на стадии произ
водства; 

- оптимизации технологических операций и ТП в целом; 
- создания АСУ ТП; 
- организации системы управления качеством ТО; 
- прогнозирования показателей качества ТО. 
Построение математических моделей Т-системы предполагает пла
нирование, проведение и обработку результатов на основе пассивного и 
активного эксперимента. 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 

 

1. В чем заключается сущность системного подхода при анализе 

сложных объектов? 

2. Приведите схематическое представление технологического про
цесса производства ТО в виде системы. 

3. Каковы входные переменные технологической системы ТО? 
4. Каковы выходные переменные технологической системы ТО? 
5. Перечислите подсистемы технологической системы ТО. 
6. Какие виды задач решаются при представлении процесса произ
водства ТО в виде технологической системы? 

 
 

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ 

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 

 

2.1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ВЫБОРКА 

Статистические данные, полученные по результатам проведения 

эксперимента, являются случайными величинами, а сопутствующие им 
явления – случайными событиями. 

Случайная величина (СВ) – переменная, которая в результате экс
перимента (измерения, опыта) может принимать то или иное значение, 
причем неизвестно заранее, какое именно. СВ могут быть дискретными 
(с дискретным рядом возможных значений) и непрерывными (принимающими любые значения из заданного или бесконечного интервала). 
Например, число отказов изделия за определенный промежуток времени 
эксплуатации является дискретной случайной величиной, которая может принимать значения: 0; 1; 2; … , а время работы изделия в часах до 
первого отказа – непрерывной случайной величиной.  

Случайное событие – явление, которое в результате эксперимента 

может произойти или не произойти. Например, отказ изделия – случайное событие. Различают полную группу событий, несовместимые события и равновозможные события. 

Полная группа событий – в результате эксперимента непременно 

должно появиться хотя бы одно из них и не может появиться событие, 
не входящее в полную группу. 

Несовместимые события – в результате эксперимента не могут со
бытия появиться вместе. Например, отказ и безотказная работа изделия 
являются несовместимыми событиями. 

Равновозможные события – в результате эксперимента по услови
ям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не 
является объективно более возможным, чем другое. 

Сбор и обработка статистических данных осуществляется на основе 

контроля определенного числа элементов (изделий). Вся совокупность 
однородных (идентичных) изделий, подлежащих контролю, называется 
генеральной совокупностью. 

2