Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Теоретическая механика. Сборник задач

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 470750.06.01
Доступ онлайн
от 520 ₽
В корзину
Изложены условия и примеры решения 68 задач по статике, кинематике и динамике. Каждая задача имеет 30 вариантов. Условия подобраны так, что все ответы — целые числа. Приведены примеры решений, ссылки на Maple-программы и справочные материалы. Книга может быть использована как при очной, так и при дистанционной формах обучения. Для студентов и преподавателей университетов и технических вузов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Кирсанов, М. Н. Теоретическая механика. Сборник задач : учебное пособие / М. Н. Кирсанов. - Москва : ИНФРА-М, 2021. - 430 с. - (Высшее образование). - ISBN 978-5-16-010026-5. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1210072 (дата обращения: 25.06.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - БАКАЛАВРИАТ серия основана в 1 996 г.



М.Н. КИРСАНОВ




                ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА




            СБОРНИК ЗАДАЧ



УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ


          Рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим направлениям подготовки (квалификация (степень) «бакалавр»)

znanium.com

Москва ИНФРА-М 2021

УДК 531:004.428.4
ББК 22.213
     К43









   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

      Рецензент
      А.В. Ковалев — доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета


      Кирсанов М.Н.
К43 Теоретическая механика. Сборник задач : учебное пособие / М.Н. Кирсанов. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 430 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).
         ISBN 978-5-16-010026-5 (print)
         ISBN 978-5-16-102392-1 (online)
         Изложены условия и примеры решения 68 задач по статике, кинематике и динамике. Каждая задача имеет 30 вариантов. Условия подобраны так, что все ответы — целые числа. Приведены примеры решений, ссылки на Maple-программы и справочные материалы.
         Книга может быть использована как при очной, так и при дистанционной формах обучения. Для студентов и преподавателей университетов и технических вузов.

УДК 531:004.428.4
                                                 ББК 22.213









ISBN 978-5-16-010026-5 (print)
ISBN 978-5-16-102392-1 (online)


© Кирсанов М.Н., 2014

СОДЕРЖАНИЕ



Предисловие ...................................................... 6

   I.  Статика

Глав а 1. Плоская система сил .................................... 9
  С1. Равновесие рамы ........................................... 11
  С2. Простая составная конструкция ............................. 16
  С3. Система двух тел. Пластина и уголок ....................... 27
  С4. Составная рама с учетом веса .............................. 33
  С5. Система двух тел. Пластины и стержни ...................... 39
  С6. Составная рама с распределенной нагрузкой ................. 45
  С7. Рама с линейно распределенной нагрузкой ................... 51
  С8. Составная рама. Нагрузка, распределенная по дуге .......... 57
  С9. Система трех тел .......................................... 63
С10. Конструкция из трех соединенных тел ........................ 69
С11. Составная конструкция из трех тел с нитью .................. 76
С12. Система с односторонней связью ............................. 82
С13. Ферма ...................................................... 89

Глав а 2. Трение ................................................ 98
С14. Трение скольжения .......................................... 98
С15. Трение качения ............................................ 104

Глав а 3. Пространственная система сил ......................... 111
С16. Равновесие полки .......................................... 112
С17. Равновесие плиты .......................................... 118
С18. Статические инварианты .................................... 123

Гл ав а 4. Центр тяжести ....................................... 127
С19. Плоская фигура ............................................ 128
С20. Тело, составленное из пластин ............................. 135
С21. Объемное тело ............................................. 141
С22. Пространственная стержневая фигура ........................ 147

     II.  Кинематика

Глав а 5. Кинематика точки ..................................... 153
  K1. Кинематика точки на плоскости ............................ 153
  K2. Кинематика точки в пространстве .......................... 156
  K3. Полярные координаты ...................................... 159

Гл ав а 6. Вращательное движение ............................... 162
  K4. Ускорение точки .......................................... 163

Содержание

  K5. Передача вращений ........................................... 165

Гл ав а 7. Плоское движение тела .................................. 170
  K6. Скорости точек механизма (3 звена) .......................... 177
  K7. Угловые скорости звеньев шарнирного механизма ............... 185
  K8. Механизм с диском ........................................... 191
  K9. Механизм с двумя степенями свободы .......................... 197
K10. Кинематический анализ плоского механизма ..................... 204
K11. Угловые ускорения в механизме. Три звена ..................... 210
K12. Угловые ускорения звеньев механизма. Четыре звена ............ 217
K13. Плоский механизм с блоком .................................... 223

Гл ав а 8. Сложное движение ....................................... 229
K14. Сложение скоростей ........................................... 230
K15. Сложение ускорений ........................................... 236
K16. Планетарный редуктор ......................................... 246
K17. Сложение угловых ускорений ................................... 253

Гл ав а 9. Сферическое движение ................................... 256
K18. Угловая скорость ............................................. 257
K19. Поворот вокруг произвольной оси .............................. 259

Гл ав а 10. Кинематика тела в пространстве ........................ 263
K20. Кинематические инварианты произвольного движения тела ........ 263
K21. Пластина на трех стержнях .................................... 268
K22. Шарнирный механизм из трех тел ............................... 272
K23. Механизм с цилиндрическим шарниром ........................... 278

     III.  Динамика

Гл ав а 11. Динамика точки ........................................ 284
  Д1. Дифференциальное уравнение движения точки ................... 285
  Д2. Теорема об изменении количества движения точки .............. 289
  Д3. Теорема об изменении момента количества движения точки ...... 292
  Д4. Движение точки по поверхности ............................... 296

Глав а 12. Динамика системы........................................ 301
  Д5. Теорема о центре масс системы ............................... 301
  Д6. Теорема о моменте количества движения системы ............... 307
  Д7. Кинетическая энергия системы. Цилиндры, блоки ............... 312
  Д8. Кинетическая энергия системы. Стержни и блоки ............... 322
  Д9. Теорема об изменении кинетической энергии ................... 328

Гл ав а 13. Аналитическая механика ................................ 336
Д10. Принцип возможных перемещений ................................ 336
Д11. Уравнение Лагранжа 2-го рода. Определение ускорения по T и Q . 342

Содержание

5

Д12. Уравнение Лагранжа 2-го рода. Система с одной степенью свободы . . . 345
Д13. Система с двумя степенями свободы .......................... 355

Гл ав а 14. Сферическое и произвольное движение тела ............ 361
Д14. Динамические уравнения Эйлера .............................. 361
Д15. Кинетический момент тела в сферическом движении ............ 364
Д16. Кинетическая энергия сферического движения тела ............ 367
Д17. Кинетическая энергия произвольного движения тела ........... 375

Гл ав а 15. Колебания ........................................... 382
Д18. Свободное колебание точки .................................. 382
Д19. Колебания системы. Одна степень свободы .................... 387
Д20. Колебания системы. Две степени свободы ..................... 394

Гл ав а 16. Удар ................................................ 403
Д21. Удар в   динамике точки .................................... 404
Д22. Удар в   динамике твердого тела ............................ 409
Д23. Удар в   динамике механической системы ..................... 415
Приложение. Геометрические характеристики плоских фигур ......... 422
Список литературы ............................................... 423
Предметный и именной указатель .................................. 425

Предисловие



    Сборник составлен на основе тридцатилетнего опыта преподавания теоретической механики в технических вузах и университетах (ВГАСУ, МЭИ, МГУ).
    В сборнике приведены задачи по статике, кинематике и динамике. Каждая из задач имеет по 30 вариантов. Особенностью сборника, отличающей его от известных сборников заданий [26, 33, 34], является то, что все задачи имеют целые ответы. С одной стороны, это упрощает математическую часть решения, оставляя без изменения содержательную сторону задачи, с другой — указывает учащемуся на возможную ошибку в том случае, когда его решение приводит к вещественной или рациональной форме ответа.
    Задача на равновесие рамы С1 характерна тем, что в качестве опор рамы используются не совсем обычные, но реально существующие, типы связей. Три уравнения, необходимые для решения задачи, просты, а все трудности находятся в проблеме выбора реакций опор.
    В задачах С2-С11 надо найти реакции опор плоской составной (из двух или трех тел) конструкции. Почти во всех этих задачах решение сводится к решению системы линейных уравнений. Правильный выбор уравнений равновесия позволяет уменьшить порядок этой системы.
    Задача с односторонней связью, подобная С12, редко выдается в качестве задания по теоретической механике. Из всех существующих сборников, вероятно, только сборник заданий Яблонского А. А. [34] содержит подобную задачу.
    Для расчета фермы в задаче С13 предлагается несколько методов решения, некоторые из которых заимствованы из строительной механики [29]. Учащийся может выбрать один из них, используя другие в качестве проверки.
    В С14 рассматривается равновесие рамы, одна из опор которой может проскальзывать. Эта задача на трение скольжения.
    В задаче С15 на определение условия равновесия системы тел с учетом трения качения делается предположение, что коэффициент трения скольжения достаточно велик и проскальзывания не произойдет.
    Задачи С16 - С18 пространственной статики даны на известные темы теоретической механики — определение реакций опор пространственной конструкции и нахождение инварианта системы сил.
    В отдельную главу выделены четыре задачи на определение центра тяжести. Все тела (плоские или пространственные) однородные, что облегчает решение задачи.
    Три задачи кинематики K1, K2, K3, представленные в сборнике, посвящены кинематике точки и напоминают задачи физики или математики.
    В задаче K5 на передачу вращений ставится необычный вопрос — определить радиусы цилиндров по известным угловым скоростям (обычно в таких задачах спрашивается передаточное число или угловая скорость).
    Самый большой набор задач по кинематике K6 - K13 относится к задачам на плоское движение. Методы, используемые при решении, самые разные. Это

Предисловие

7

и довольно распространенный в технических вузах метод мгновенного центра скоростей и некоторые малоизвестные аналитические методы. Все они, однако, основаны на одной и той же векторной зависимости между скоростями точек тела при плоском движении.
    Сложное движение точки и тела рассматривается в задачах K14 - K17, сферическое движение — в задачах K18 - K19. Задача K20 кинематики (как это ни странно звучит) аналогична задаче C18 статики. Дело в том, что в этих задачах разыскиваются инварианты. В C16 — статические, в K20 — кинематические. Основные формулы при этом отличаются лишь обозначениями.
    Три задачи K21 - K22 по кинематике тела или механизма в пространстве полезны для понимания работы механизмов в реальной практике. Не всегда можно обойтись знанием кинематики плоского движения. Здесь подобраны задачи, решить которые можно на контрольной работе, не прибегая к компьютеру. Однако, если это домашнее задание, громоздкую систему линейных уравнений лучше решить с помощью каких-либо математических пакетов (Maple, Maxima и др.).
    Задачи динамики точки Д1 напоминают задачи по физике. Здесь, и в задаче Д2, два предмета — теоретическая механика и физика, — наиболее близки, различаясь, правда, немного в терминологии ¹ . Уравнение Лагранжа 1-го рода используется в задаче Д4 о движении точки по поверхности.
    В главе 12 предложены задачи на некоторые теоремы динамики системы. Задачи аналитической механики (принцип возможных перемещений и составление уравнения движения на основе уравнения Лагранжа 2-го рода) даны в главе 13. Главы 14, 15 и 16 посвящены сферическому движению, колебаниям и теории удара.
    Варианты аналогичных задач с ответами можно найти на сайте vuz.exponenta.ru в разделе Архив задач и в сборниках автора [18, 19]. Задачи с целочисленными ответами выделены отдельно. Анимационные модели (SWF, ActionScript), наглядно показывающие кинематику задач на составление уравнения Лагранжа 2-го рода, размещены на этом же сайте в разделе Механические модели. Ссылки на видео-лекции автора, записанные в стенах НИУ МЭИ и МГУ для YouTube по материалам сборника (более 200 лекций), даны в разделе Видео.
    Автор благодарен Н. В. Осадченко, сделавшему ряд замечаний по книге.
    Все замечания и предложения по книге с благодарностью принимаются по адресу: C216@yandex.ru.

   ¹ Количество движения q, например, в физике часто называют импульсом, а в теоретической механике импульс вычисляется у силы: S = /*1 Fdt.

Часть I



    СТАТИКА


   Традиционно курс теоретической механики начинается со статики. В статике изучается равновесие тел под действием сил и свойства систем сил, необязательно находящихся в равновесии.
   Сборник охватывает все основные типы задач статики — задачи на плоские и пространственные конструкции, задачи на определение центра тяжести. Как и другие задачи сборника, эти задачи имеют целые ответы. Промежуточные ответы не обязательно должны быть целыми. Так, в задачах о составных конструкциях реакции внутренних шарниров могут выражаться вещественными числами.
   В решениях задач статики используются понятия проекции силы на ось и момента силы относительно точки и оси. Из курса математики известно, что проекция вектора силы F на ось x определяется по формуле Fx = F cos а, где а — угол между положительным направлением оси и вектором силы, отсчитываемый против часовой стрелки. Если угол острый, то проекция положительная, если тупой — отрицательная. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на эту ось равна нулю. Проекция силы параллельной оси равна F, если сила и ось направлены в одну сторону (а = 0), и —F, если — в разные стороны (а = 180°).

   Момент MO силы F относительно точки O определен как векторное

произведение (рис. 1)

Mo(F) = ro x F


где r₀ — радиус-вектор точки приложения вектора силы относительно точки O. Направление вектора момента вычисляется по правилу векторного



произведения — вектор момента перпендикулярен плоскости, содержащей вектора r₀ и F. Модуль момента вычисляем по формуле Mo (F) =



= r₀ F sin в = hF, где в — угол между векторами r₀ и F. Плечо h силы

Плоская система сил

9

относительно точки O — это кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы; h = r₀ sin в.



Глава 1

Плоская система сил



   Если векторы сил, действующие на систему, расположены в одной плоскости, например x - y, то векторы моментов этих сил относительно произвольной точки на плоскости перпендикулярны плоскости. Поэтому в задачах статики плоской системы сил момент можно рассматривать как скалярную величину — величину проекции вектора момента силы на нормаль к плоскости (ось z). Индекс z для сокращения записи часто опускают и отождествляют момент силы MO относительно точки на плоскости со скалярной величиной — MOz . Отсюда вытекает практическое правило определения момента силы относительно точки в плоских задачах статики. Для вычисления момента силы относительно точки O (рис. 2) сначала находим проекции силы на оси, а затем момент вычисляем по формуле MOz (F) = -Fxy0 + Fyx0 . Другой способ вычисления момента: MOz(F) = ±F h, где h — плечо силы относительно точки O.

Рис. 2                  Рис. 3

O

—*

Рис. 4

x

O

x

   Знак определяется по правилу векторного произведения. Если сила поворачивает тело относительно центра по часовой стрелке — момент отрицательный, против часовой стрелки — положительный. На рис. 3 момент силы F относительно точки O отрицательный, на рис. 4 — положительный. Если сила или линия ее действия пересекает точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю.
   Кроме сил в статике рассматриваются и пары сил. Пара — это совокупность двух равных параллельных противоположно направленных сил. Пара характеризуется моментом — суммой моментов ее сил относительно некоторой точки. Легко показать, что положение точки не существенно и на момент не влияет, поэтому момент пары является свободным вектором.

Плоская система сил

Глава 1

Напомним, что вектор силы является вектором скользящим ¹ . В зависимости от знака момента пары на плоско сти изображать пару будем изогнутой стрелкой ^ или \J . Вектор пары перпендикулярен ее плоскости. Для решения задач о равновесии тел или системы тел необходимо выделить тело, равновесие которого изучается. Связи заменяем их реакциями. Основные виды связей в плоских задачах и их реакции даны в таблице 1.


   Неподвижный шарнир A имеет две реакции (первая строка таблицы). Подвижная опора имеет одну реакцию, перпендикулярную плоскости опоры (вторая и третья строки таблицы — опора B). В условиях задач предполагается, что все связи двусторонние, т. е. предусмотрено некоторое ограничение (на рисунке не показано), не позволяющее подвижным опорам отрываться от поверхности. Заделка C имеет три реакции, включая реактивный момент. Момент направляем так, чтобы он был против часовой стрелки.


   ¹ Изложение основных теорем статики в терминах скользящих векторов дано в учебнике Ю.Ф.Голубева [10].

С1.

Равновесие рамы

11

   При разбиении составной конструкции по внутренней связи (скользящей заделке D) к каждой из частей прикладываем реакции — взаимно противоположные силы, перпендикулярные оси скольжения, и моменты. Заделка с двойным скольжением E имеет только одну реакцию — момент. В скользящей заделке G возникает реактивный момент и сила, перпендикулярная направлению скольжения.
   Задачи статики, как правило, сводятся к решению систем линейных уравнений. Часть работы по составлению и решению уравнений можно поручить Maple [21]. Вот пример простейшей программы:

   eq1:=Xa*2+Ya*9=198:
   eq2:=Xa*2+Ya*4=68:
   solve({eq1,eq2},{Xa,Ya});

   Почти так же записывается программа для решения уравнений в системе Maxima:

   eq1:Xa*2+Ya*9=198;
   eq2:Xa*2+Ya*4=68;
   solve([eq1,eq2],[Xa,Ya]);

   Разница в записи, как видно, небольшая.
   Особенно эффективно такое решение для систем большого порядка. В задачах с тремя телами С9 - С11 система может содержать (в зависимости от выбранного способа решения) до 11 уравнений, в ферме С13 — 16 уравнений, если использовать метод вырезания узлов.
   Записывать уравнение на компьютере, а не на бумаге, очень удобно. Во-первых, компьютер выполняет математические действия, часто весьма громоздкие. Во-вторых, в случае ошибки в уравнениях, все можно поправить и сразу же пересчитать. В-третьих, решение легко оформить, распечатав его на принтере. Можно вывести график, таблицу результатов и т. д. Текст программы для Maple и Maxima легко конвертируется в HTML или LaTeX [20].

С1. Равновесие рамы

   К плоской раме, представляющей собой твердое тело, приложены силы и момент. Опоры у рамы содержат три неизвестные реакции: две силы и момент или три силы. Это самая простая задача статики для плоской системы произвольных сил. Трудности при решении в основном здесь возникают при идентификации опор (выбор реакций и их направлений) и при составлении уравнений моментов. Отметим, что связи в этой задаче двусторонние, поэтому не надо беспокоиться о возможном отрыве рамы от опорной плоскости, если таковая имеется. Кроме того, вес рамы в задачах не учитывается.
   В сборнике [19] есть аналогичная задача C1 с ответами.

Плоская система сил

Глава 1

   Условия задач

   Рама представляет собой плоскую конструкцию, состоящую из жестко соединенных под прямым углом стержней. Рама имеет две или три опоры (см. табл. 1, с. 10). На раму действуют вертикальная сила P, наклонная сила F и момент M. Размеры даны в метрах, cos а = 0,8. Определить реакции опор рамы.

С1. 1.

F = 40Н, P = 5Н, M = 17 Нм.

С1. 2.

F = 10Н, P = 3Н, M = 12 Нм.

С1. 3.

F = 35Н, P = 3Н, M = 15 Нм.

С1. 4.

F = 35Н, P = 3Н, M = 17 Нм.

С1. 5.                                  С1. 6.

F = 25Н, P = 30Н, M = 7Нм.

F = 15Н, P = 4Н, M = 16 Нм.

С1.

Равновесие рамы

13

С1.7.

С1.8.

M

F = 5 Н, P = 2 Н, M = 5 Нм.

M

P

2

2

4____4_____,______6________,

F = 50 Н, P = 5 Н, M = 20 Нм.

С1.10.


С1.9.

F = 50 Н, P = 3 Н, M = 9 Нм.

M ^ PJ

³          9

F = 30 Н, P = 1Н, M = 11 Нм.

С1.11.                                  С1.12.

F = 25 Н, P = 2 Н, M = 16 Нм.

F = 10 Н, P = 5 Н, M = 25 Нм.

С1.14.

С1.13.

F = 35 Н, P = 3 Н, M = 9 Нм.

F = 25 Н, P = 4 Н, M = 15 Нм.

Доступ онлайн
от 520 ₽
В корзину