Теоретическая механика. Сборник задач
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Теоретическая (аналитическая) механика
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Автор:
Кирсанов Михаил Николаевич
Год издания: 2021
Кол-во страниц: 430
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-16-010026-5
ISBN-онлайн: 978-5-16-102392-1
Артикул: 470750.06.01
Изложены условия и примеры решения 68 задач по статике, кинематике и динамике. Каждая задача имеет 30 вариантов. Условия подобраны так, что все ответы — целые числа. Приведены примеры решений, ссылки на Maple-программы и справочные материалы.
Книга может быть использована как при очной, так и при дистанционной формах обучения. Для студентов и преподавателей университетов и технических вузов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 02.03.01: Математика и компьютерные науки
- 02.03.03: Механика и математическое моделирование
- 03.03.02: Прикладная математика и информатика
- 03.03.03: Механика и математическое моделирование
- 05.03.04: Гидрометеорология
- 05.03.05: Прикладная гидрометеорология
- 07.03.03: Дизайн архитектурной среды
- 08.03.01: Строительство
- 12.03.05: Лазерная техника и лазерные технологии
- 13.03.03: Энергетическое машиностроение
- 14.03.02: Ядерные физика и технологии
- 15.03.01: Машиностроение
- 15.03.03: Прикладная механика
- 15.03.05: Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств
- 15.03.06: Мехатроника и роботехника
- 16.03.01: Техническая физика
- 16.03.02: Высокотехнологические плазменные и энергетические установки
- 16.03.03: Холодильная, криогенная техника и системы жизнеобеспечения
- 20.03.01: Техносферная безопасность
- 20.03.02: Природообустройство и водопользование
- 21.03.01: Нефтегазовое дело
- 23.03.01: Технология транспортных процессов
- 23.03.02: Наземные транспортно-технологические комплексы
- 23.03.03: Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов
- 24.03.01: Ракетные комплексы и космонавтика
- 24.03.03: Баллистика и гидроаэродинамика
- 24.03.04: Авиастроение
- 24.03.05: Двигатели летательных аппаратов
- 25.03.01: Техническая эксплуатация летательных апаратов и двигателей
- 26.03.01: Управление водным транспортом и гидрографическое обеспечение судоходства
- 26.03.02: Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры
- 27.03.04: Управление в технических системах
- 28.03.01: Нанотехнологии и микросистемная техника
- 28.03.02: Наноинженерия
- 28.03.03: Наноматериалы
- 29.03.01: Технология изделий легкой промышленности
- 29.03.02: Технологии и проектирование техстильных изделий
- 35.03.02: Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств
- 35.03.06: Агроинженерия
- 54.03.04: Реставрация
- ВО - Магистратура
- 01.04.03: Механика и математическое моделирование
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
- 03.05.01: Астрономия
- 03.05.02: Фундаментальная и прикладная физика
- 04.05.01: Фундаментальная и прикладная химия
- 08.05.01: Строительство уникальных зданий и сооружений
- 08.05.02: Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей
- 14.05.01: Ядерные реакторы и материалы
- 14.05.02: Атомные станции: проектирование, эксплуатация и инжиниринг
- 15.05.01: Проектирование технологических машин и комплексов
- 16.05.01: Специальные системы жизнеобеспечения
- 17.05.01: Боеприпасы и взрыватели
- 17.05.02: Стрелково-пушечное, артиллерийское и ракетное оружие
- 21.05.03: Технология геологической разведки
- 21.05.04: Горное дело
- 23.05.01: Наземные транспортно-технологические средства
- 23.05.02: Транспортные средства специального назначения
- 23.05.03: Подвижной состав железных дорог
- 23.05.04: Эксплуатация железных дорог
- 23.05.06: Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей
- 24.05.01: Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетно-космических комплексов
- 24.05.02: Проектирование авиационных и ракетных двигателей
- 24.05.03: Испытание летательных аппаратов
- 24.05.04: Навигационно-баллистическое обеспечение применения космической техники
- 24.05.05: Интегрированные системы летательных аппаратов
- 24.05.06: Системы управления летательными аппаратами
- 24.05.07: Самолето- и вертолетостроение
- 26.05.01: Проектирование и постройка кораблей, судов и объектов океанотехники
- 26.05.02: Проектирование, изготовление и ремонт энергетических установок и систем автоматизации кораблей и судов
- 26.05.03: Строительство, ремонт и поисково-спасательное обеспечение наводных кораблей и подводных лодок
- 26.05.07: Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики
- 27.05.01: Специальные организационно-технические системы
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - БАКАЛАВРИАТ серия основана в 1 996 г. М.Н. КИРСАНОВ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СБОРНИК ЗАДАЧ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим направлениям подготовки (квалификация (степень) «бакалавр») znanium.com Москва ИНФРА-М 2021
УДК 531:004.428.4 ББК 22.213 К43 ФЗ Издание не подлежит маркировке № 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11 Рецензент А.В. Ковалев — доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета Кирсанов М.Н. К43 Теоретическая механика. Сборник задач : учебное пособие / М.Н. Кирсанов. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 430 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). ISBN 978-5-16-010026-5 (print) ISBN 978-5-16-102392-1 (online) Изложены условия и примеры решения 68 задач по статике, кинематике и динамике. Каждая задача имеет 30 вариантов. Условия подобраны так, что все ответы — целые числа. Приведены примеры решений, ссылки на Maple-программы и справочные материалы. Книга может быть использована как при очной, так и при дистанционной формах обучения. Для студентов и преподавателей университетов и технических вузов. УДК 531:004.428.4 ББК 22.213 ISBN 978-5-16-010026-5 (print) ISBN 978-5-16-102392-1 (online) © Кирсанов М.Н., 2014
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ...................................................... 6 I. Статика Глав а 1. Плоская система сил .................................... 9 С1. Равновесие рамы ........................................... 11 С2. Простая составная конструкция ............................. 16 С3. Система двух тел. Пластина и уголок ....................... 27 С4. Составная рама с учетом веса .............................. 33 С5. Система двух тел. Пластины и стержни ...................... 39 С6. Составная рама с распределенной нагрузкой ................. 45 С7. Рама с линейно распределенной нагрузкой ................... 51 С8. Составная рама. Нагрузка, распределенная по дуге .......... 57 С9. Система трех тел .......................................... 63 С10. Конструкция из трех соединенных тел ........................ 69 С11. Составная конструкция из трех тел с нитью .................. 76 С12. Система с односторонней связью ............................. 82 С13. Ферма ...................................................... 89 Глав а 2. Трение ................................................ 98 С14. Трение скольжения .......................................... 98 С15. Трение качения ............................................ 104 Глав а 3. Пространственная система сил ......................... 111 С16. Равновесие полки .......................................... 112 С17. Равновесие плиты .......................................... 118 С18. Статические инварианты .................................... 123 Гл ав а 4. Центр тяжести ....................................... 127 С19. Плоская фигура ............................................ 128 С20. Тело, составленное из пластин ............................. 135 С21. Объемное тело ............................................. 141 С22. Пространственная стержневая фигура ........................ 147 II. Кинематика Глав а 5. Кинематика точки ..................................... 153 K1. Кинематика точки на плоскости ............................ 153 K2. Кинематика точки в пространстве .......................... 156 K3. Полярные координаты ...................................... 159 Гл ав а 6. Вращательное движение ............................... 162 K4. Ускорение точки .......................................... 163
Содержание K5. Передача вращений ........................................... 165 Гл ав а 7. Плоское движение тела .................................. 170 K6. Скорости точек механизма (3 звена) .......................... 177 K7. Угловые скорости звеньев шарнирного механизма ............... 185 K8. Механизм с диском ........................................... 191 K9. Механизм с двумя степенями свободы .......................... 197 K10. Кинематический анализ плоского механизма ..................... 204 K11. Угловые ускорения в механизме. Три звена ..................... 210 K12. Угловые ускорения звеньев механизма. Четыре звена ............ 217 K13. Плоский механизм с блоком .................................... 223 Гл ав а 8. Сложное движение ....................................... 229 K14. Сложение скоростей ........................................... 230 K15. Сложение ускорений ........................................... 236 K16. Планетарный редуктор ......................................... 246 K17. Сложение угловых ускорений ................................... 253 Гл ав а 9. Сферическое движение ................................... 256 K18. Угловая скорость ............................................. 257 K19. Поворот вокруг произвольной оси .............................. 259 Гл ав а 10. Кинематика тела в пространстве ........................ 263 K20. Кинематические инварианты произвольного движения тела ........ 263 K21. Пластина на трех стержнях .................................... 268 K22. Шарнирный механизм из трех тел ............................... 272 K23. Механизм с цилиндрическим шарниром ........................... 278 III. Динамика Гл ав а 11. Динамика точки ........................................ 284 Д1. Дифференциальное уравнение движения точки ................... 285 Д2. Теорема об изменении количества движения точки .............. 289 Д3. Теорема об изменении момента количества движения точки ...... 292 Д4. Движение точки по поверхности ............................... 296 Глав а 12. Динамика системы........................................ 301 Д5. Теорема о центре масс системы ............................... 301 Д6. Теорема о моменте количества движения системы ............... 307 Д7. Кинетическая энергия системы. Цилиндры, блоки ............... 312 Д8. Кинетическая энергия системы. Стержни и блоки ............... 322 Д9. Теорема об изменении кинетической энергии ................... 328 Гл ав а 13. Аналитическая механика ................................ 336 Д10. Принцип возможных перемещений ................................ 336 Д11. Уравнение Лагранжа 2-го рода. Определение ускорения по T и Q . 342
Содержание 5 Д12. Уравнение Лагранжа 2-го рода. Система с одной степенью свободы . . . 345 Д13. Система с двумя степенями свободы .......................... 355 Гл ав а 14. Сферическое и произвольное движение тела ............ 361 Д14. Динамические уравнения Эйлера .............................. 361 Д15. Кинетический момент тела в сферическом движении ............ 364 Д16. Кинетическая энергия сферического движения тела ............ 367 Д17. Кинетическая энергия произвольного движения тела ........... 375 Гл ав а 15. Колебания ........................................... 382 Д18. Свободное колебание точки .................................. 382 Д19. Колебания системы. Одна степень свободы .................... 387 Д20. Колебания системы. Две степени свободы ..................... 394 Гл ав а 16. Удар ................................................ 403 Д21. Удар в динамике точки .................................... 404 Д22. Удар в динамике твердого тела ............................ 409 Д23. Удар в динамике механической системы ..................... 415 Приложение. Геометрические характеристики плоских фигур ......... 422 Список литературы ............................................... 423 Предметный и именной указатель .................................. 425
Предисловие Сборник составлен на основе тридцатилетнего опыта преподавания теоретической механики в технических вузах и университетах (ВГАСУ, МЭИ, МГУ). В сборнике приведены задачи по статике, кинематике и динамике. Каждая из задач имеет по 30 вариантов. Особенностью сборника, отличающей его от известных сборников заданий [26, 33, 34], является то, что все задачи имеют целые ответы. С одной стороны, это упрощает математическую часть решения, оставляя без изменения содержательную сторону задачи, с другой — указывает учащемуся на возможную ошибку в том случае, когда его решение приводит к вещественной или рациональной форме ответа. Задача на равновесие рамы С1 характерна тем, что в качестве опор рамы используются не совсем обычные, но реально существующие, типы связей. Три уравнения, необходимые для решения задачи, просты, а все трудности находятся в проблеме выбора реакций опор. В задачах С2-С11 надо найти реакции опор плоской составной (из двух или трех тел) конструкции. Почти во всех этих задачах решение сводится к решению системы линейных уравнений. Правильный выбор уравнений равновесия позволяет уменьшить порядок этой системы. Задача с односторонней связью, подобная С12, редко выдается в качестве задания по теоретической механике. Из всех существующих сборников, вероятно, только сборник заданий Яблонского А. А. [34] содержит подобную задачу. Для расчета фермы в задаче С13 предлагается несколько методов решения, некоторые из которых заимствованы из строительной механики [29]. Учащийся может выбрать один из них, используя другие в качестве проверки. В С14 рассматривается равновесие рамы, одна из опор которой может проскальзывать. Эта задача на трение скольжения. В задаче С15 на определение условия равновесия системы тел с учетом трения качения делается предположение, что коэффициент трения скольжения достаточно велик и проскальзывания не произойдет. Задачи С16 - С18 пространственной статики даны на известные темы теоретической механики — определение реакций опор пространственной конструкции и нахождение инварианта системы сил. В отдельную главу выделены четыре задачи на определение центра тяжести. Все тела (плоские или пространственные) однородные, что облегчает решение задачи. Три задачи кинематики K1, K2, K3, представленные в сборнике, посвящены кинематике точки и напоминают задачи физики или математики. В задаче K5 на передачу вращений ставится необычный вопрос — определить радиусы цилиндров по известным угловым скоростям (обычно в таких задачах спрашивается передаточное число или угловая скорость). Самый большой набор задач по кинематике K6 - K13 относится к задачам на плоское движение. Методы, используемые при решении, самые разные. Это
Предисловие 7 и довольно распространенный в технических вузах метод мгновенного центра скоростей и некоторые малоизвестные аналитические методы. Все они, однако, основаны на одной и той же векторной зависимости между скоростями точек тела при плоском движении. Сложное движение точки и тела рассматривается в задачах K14 - K17, сферическое движение — в задачах K18 - K19. Задача K20 кинематики (как это ни странно звучит) аналогична задаче C18 статики. Дело в том, что в этих задачах разыскиваются инварианты. В C16 — статические, в K20 — кинематические. Основные формулы при этом отличаются лишь обозначениями. Три задачи K21 - K22 по кинематике тела или механизма в пространстве полезны для понимания работы механизмов в реальной практике. Не всегда можно обойтись знанием кинематики плоского движения. Здесь подобраны задачи, решить которые можно на контрольной работе, не прибегая к компьютеру. Однако, если это домашнее задание, громоздкую систему линейных уравнений лучше решить с помощью каких-либо математических пакетов (Maple, Maxima и др.). Задачи динамики точки Д1 напоминают задачи по физике. Здесь, и в задаче Д2, два предмета — теоретическая механика и физика, — наиболее близки, различаясь, правда, немного в терминологии ¹ . Уравнение Лагранжа 1-го рода используется в задаче Д4 о движении точки по поверхности. В главе 12 предложены задачи на некоторые теоремы динамики системы. Задачи аналитической механики (принцип возможных перемещений и составление уравнения движения на основе уравнения Лагранжа 2-го рода) даны в главе 13. Главы 14, 15 и 16 посвящены сферическому движению, колебаниям и теории удара. Варианты аналогичных задач с ответами можно найти на сайте vuz.exponenta.ru в разделе Архив задач и в сборниках автора [18, 19]. Задачи с целочисленными ответами выделены отдельно. Анимационные модели (SWF, ActionScript), наглядно показывающие кинематику задач на составление уравнения Лагранжа 2-го рода, размещены на этом же сайте в разделе Механические модели. Ссылки на видео-лекции автора, записанные в стенах НИУ МЭИ и МГУ для YouTube по материалам сборника (более 200 лекций), даны в разделе Видео. Автор благодарен Н. В. Осадченко, сделавшему ряд замечаний по книге. Все замечания и предложения по книге с благодарностью принимаются по адресу: C216@yandex.ru. ¹ Количество движения q, например, в физике часто называют импульсом, а в теоретической механике импульс вычисляется у силы: S = /*1 Fdt.
Часть I СТАТИКА Традиционно курс теоретической механики начинается со статики. В статике изучается равновесие тел под действием сил и свойства систем сил, необязательно находящихся в равновесии. Сборник охватывает все основные типы задач статики — задачи на плоские и пространственные конструкции, задачи на определение центра тяжести. Как и другие задачи сборника, эти задачи имеют целые ответы. Промежуточные ответы не обязательно должны быть целыми. Так, в задачах о составных конструкциях реакции внутренних шарниров могут выражаться вещественными числами. В решениях задач статики используются понятия проекции силы на ось и момента силы относительно точки и оси. Из курса математики известно, что проекция вектора силы F на ось x определяется по формуле Fx = F cos а, где а — угол между положительным направлением оси и вектором силы, отсчитываемый против часовой стрелки. Если угол острый, то проекция положительная, если тупой — отрицательная. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на эту ось равна нулю. Проекция силы параллельной оси равна F, если сила и ось направлены в одну сторону (а = 0), и —F, если — в разные стороны (а = 180°). Момент MO силы F относительно точки O определен как векторное произведение (рис. 1) Mo(F) = ro x F где r₀ — радиус-вектор точки приложения вектора силы относительно точки O. Направление вектора момента вычисляется по правилу векторного произведения — вектор момента перпендикулярен плоскости, содержащей вектора r₀ и F. Модуль момента вычисляем по формуле Mo (F) = = r₀ F sin в = hF, где в — угол между векторами r₀ и F. Плечо h силы
Плоская система сил 9 относительно точки O — это кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы; h = r₀ sin в. Глава 1 Плоская система сил Если векторы сил, действующие на систему, расположены в одной плоскости, например x - y, то векторы моментов этих сил относительно произвольной точки на плоскости перпендикулярны плоскости. Поэтому в задачах статики плоской системы сил момент можно рассматривать как скалярную величину — величину проекции вектора момента силы на нормаль к плоскости (ось z). Индекс z для сокращения записи часто опускают и отождествляют момент силы MO относительно точки на плоскости со скалярной величиной — MOz . Отсюда вытекает практическое правило определения момента силы относительно точки в плоских задачах статики. Для вычисления момента силы относительно точки O (рис. 2) сначала находим проекции силы на оси, а затем момент вычисляем по формуле MOz (F) = -Fxy0 + Fyx0 . Другой способ вычисления момента: MOz(F) = ±F h, где h — плечо силы относительно точки O. Рис. 2 Рис. 3 O —* Рис. 4 x O x Знак определяется по правилу векторного произведения. Если сила поворачивает тело относительно центра по часовой стрелке — момент отрицательный, против часовой стрелки — положительный. На рис. 3 момент силы F относительно точки O отрицательный, на рис. 4 — положительный. Если сила или линия ее действия пересекает точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю. Кроме сил в статике рассматриваются и пары сил. Пара — это совокупность двух равных параллельных противоположно направленных сил. Пара характеризуется моментом — суммой моментов ее сил относительно некоторой точки. Легко показать, что положение точки не существенно и на момент не влияет, поэтому момент пары является свободным вектором.
Плоская система сил Глава 1 Напомним, что вектор силы является вектором скользящим ¹ . В зависимости от знака момента пары на плоско сти изображать пару будем изогнутой стрелкой ^ или \J . Вектор пары перпендикулярен ее плоскости. Для решения задач о равновесии тел или системы тел необходимо выделить тело, равновесие которого изучается. Связи заменяем их реакциями. Основные виды связей в плоских задачах и их реакции даны в таблице 1. Неподвижный шарнир A имеет две реакции (первая строка таблицы). Подвижная опора имеет одну реакцию, перпендикулярную плоскости опоры (вторая и третья строки таблицы — опора B). В условиях задач предполагается, что все связи двусторонние, т. е. предусмотрено некоторое ограничение (на рисунке не показано), не позволяющее подвижным опорам отрываться от поверхности. Заделка C имеет три реакции, включая реактивный момент. Момент направляем так, чтобы он был против часовой стрелки. ¹ Изложение основных теорем статики в терминах скользящих векторов дано в учебнике Ю.Ф.Голубева [10].