Модели и алгоритмы финансового инвестирования

МОДЕЛИ
И АЛГОРИТМЫ
ФИНАНСОВОГО
ИНВЕСТИРОВАНИЯ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки 38.04.01 «Экономика»
(квалификация (степень) «магистр»)

Москва
ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК
ИНФРА-М
2020

М.И. ЛИСИЦА

УДК 336.764.061.1
ББК 65.262.2
 
Л63

Лисица М.И.
Модели и алгоритмы финансового инвестирования : учебное пособие / М.И. Лисица. — Москва : Вузовский учебник :
ИНФРА-М, 2020. — 192 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс].

ISBN 978-5-9558-0341-8 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-009234-8 (ИНФРА-М)

В учебном пособии освещены фундаментальные и информационные, а также поведенческие аспекты финансового инвестирования и функционирования 
рынков капитала, изложены основные подходы по управлению портфелями 
акций и пакетами облигаций, а также по выработке ординарных и синтетических финансовых инвестиционных стратегий. В частности, представлены нигде ранее не опубликованные алгоритмы оптимизации финансового инвестиционного портфеля на основе рыночной и многофакторных моделей формирования доходности ценных бумаг при условии их неделимости, а также 
универсальный способ вычисления дюрации облигаций.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по магистерским программам экономического направления, может быть полезно аспирантам и соискателям ученых степеней по экономическим наукам, а также специалистам в области финансового инвестирования.

УДК 336.764.061.1
ББК 65.262.2

Материалы, отмеченные знаком 
, 
доступны в электронно-библиотечной системе Znanium.com

ISBN 978-5-9558-0341-8 (Вузовский учебник) 
©  Вузовский учебник, 2014 
ISBN 978-5-16-009234-8 (ИНФРА-М)

Л63

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ВВЕДЕНИЕ

Экономической наукой накоплен большой опыт применения ме
тодов и моделей финансового инвестирования, который необходимо 
осмыслить и безошибочно применять. Кроме того, актуальной задачей профильной подготовки экономистов является формирование 
образа мышления, основанного не только на категориях экономической теории, но и на знании математических инструментов, без 
которых невозможно правильное применение методик анализа и 
алгоритмов управления финансовыми инвестициями. В предлагаемом учебном пособии, что является его уникальной особенностью, 
подробно и без уклонения, к которому часто склонны авторы многих 
учебных изданий в рассматриваемой предметной области, обсуждаются наиболее сложные теоретические решения и подходы, обеспечивая читателей необходимыми знаниями, умениями и навыками 
для практической и исследовательской деятельности в области финансового инвестирования.

В пособии изложены общепринятые, а также новые методы раз
работки и реализации финансовых инвестиционных решений, кроме 
того, дана их критическая оценка автором. Представленный материал, безусловно, нельзя считать «истиной в последней инстанции», 
поскольку теоретический взгляд на проблемы финансового инвестирования не учитывает многих практических аспектов инвестиционной деятельности. Например, вряд ли можно считать безупречным 
обобщенный взгляд, усредняющий мышление и поведение рыночных 
субъектов. Однако это неизбежно, так как теория ориентирована на 
выработку универсальных рекомендаций, иначе принятие решений 
превратится в бесконечный во времени процесс учета индивидуальных особенностей. Второй упрек в адрес теории — это то, что «на 
бумаге» процессы рассматриваются как «идеальный газ», «при прочих 
равных условиях» и происходят со скоростью, с которой владелец 
карандаша или ручки умеет писать. Однако идеализирование процессов необходимо для того, чтобы исключить влияние «ненужных», 
искажающих анализ факторов, т.е. факторов, с учетом или без учета 
которых решения все равно будут приняты.

Предлагаемое учебное пособие направлено на формирование и 

систематизацию теоретических знаний, развитие навыков практического использования методов и приемов финансового инвестирования.

Основными задачами учебного пособия являются:

 
• формирование теоретической базы, обеспечивающей возмож
ность выполнения расчетов, необходимых для решения практи

ческих задач, возникающих при управлении финансовыми инвестициями;

 
• обобщение теоретических знаний и развитие практических навы
ков в области управления пакетом облигаций, моделирования 
финансового инвестиционного портфеля, в том числе арбитражного, прогнозирования и оценки доходности финансовых активов, проектирования и осуществления финансовых инвестиционных стратегий;

 
• развитие менталитета современного менеджера, принимающего 

решения на базе профессионального владения теоретическим аппаратом и умеющего применять полученные знания в своей практической и исследовательской деятельности;

 
• формирование объективности суждений при обосновании при
нимаемых финансовых инвестиционных решений.
Обычно наибольшие затруднения возникают при практическом 

использовании знаний, полученных в ходе изучения теоретических 
положений, поэтому особое внимание следует уделить представленным в практикуме заданиям и самостоятельно выполнить мини-ситуации. При их решении рекомендуется использовать крупноформатную электронную таблицу «Microsoft Excel», применение которой 
существенно ускоряет решения. Следует обратить внимание на то, 
что некоторые представленные в практикумах мини-ситуации связаны между собой.

ГЛАВА 1 

ВВЕДЕНИЕ В ФИНАНСОВЫЕ ИНВЕСТИЦИИ

1.1.  
ИСТОРИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОГРАНИЧЕНИЯ 
ПОРТФЕЛЬНОЙ ТЕОРИИ

Финансовые инвестиции являются постоянно и интенсивно ис
следуемым объектом, при этом обозначенное научное направление 
не имеет ни общей цели, ни общей методологии. Отсутствие единства 
по конкретной проблеме, в частности, как определить будущую доходность или будущий курс1 ценной бумаги2, вполне понятно, поскольку экспертное сообщество представлено специалистами с разными профессиональными взглядами и образом мышления. Однако 
принципиального единства нет и по общей проблеме, в частности 
риск (нередко называемый финансовым инвестиционным риском) 
ценных бумаг надо устранять или компенсировать доходностью. В какой-то мере данные разногласия можно объяснить большей или 
меньшей склонностью инвесторов (рыночных субъектов или участников рынка) к неприятию риска. Отсюда, разумеется, и обилие 
подходов, предназначенных для выбора финансовой инвестиционной стратегии (понимаемой как способ достижения положительного 
финансового результата в любом виде), а также для формирования 
финансового инвестиционного портфеля3. Условно совокупность 
упомянутых подходов образует портфельную теорию, причем это, по 
нашему мнению, фундаментальные исследования. Перечислим их, 
одновременно придерживаясь хронологии возникновения и развития.

Прежде всего следует назвать разработанные в 50-е и 60-е годы 

XX века метод (нередко называемый моделью или базовой моделью) 
выбора портфеля, а также его более примитивную версию, известную 

1 Будем считать, что курс, цена, рыночный курс, рыночная цена являются 

синонимами.

2 Здесь и далее будем рассматривать ценные бумаги с позиций инвесторов, 

желающих разместить свободные денежные средства. Покупка ценных бумаг 
как раз предоставляет такую возможность, поэтому ценные бумаги, с точки 
зрения инвесторов, являются активами, которые принято называть финансовыми активами.

3 Будем считать, что финансовый инвестиционный портфель, портфель 

финансовых активов, портфель ценных бумаг (а сокращенно — портфель) 
являются синонимами. Соответственно, портфель есть динамическая совокупность финансовых активов, состоящая из включаемых в нее и исключаемых 
из нее ценных бумаг.

как упрощенная модель портфельного анализа. Много лет спустя, на 
рубеже первого и второго десятилетий XXI века, были разработаны 
алгоритмы модифицированной версии базовой модели выбора портфеля, а также алгоритмы универсальной точечной модели оптимизации финансового инвестиционного портфеля Li-Ka, которые существенно дополняют метод выбора портфеля, устраняя его отдельные проблемы. Обозначенные подходы направлены на 
формирование такой композиции (состава) финансовых активов 
(в частности, акций), которая удовлетворяла бы заданным целевым 
уровням по риску и доходности, что достижимо за счет диверсификации портфеля путем включения в него или исключения из него 
ценных бумаг, выпущенных различными эмитентами. Отметим, что 
процедуры моделирования финансового инвестиционного портфеля 
в рамках каждого подхода (из числа перечисленных) так или иначе 
направлены на устранение риска (последнее можно считать целью), 
опираются на ряд частных технических ограничений, однако допущение об однородности ожиданий рыночных субъектов является 
фундаментальным во всех случаях.

В качестве альтернативного направления, обогащающего мето
дологию финансового инвестирования, с 50-х по 90-е годы XX века 
получили развитие методы управления портфелем (нередко называемого пакетом) облигаций. Различия между названными методами 
заключаются в принципиальном отношении к самой возможности 
предсказания доходности облигаций, что и предопределяет соответствующие частные технические ограничения, а также инструментарий. 
Однако ориентированность на формирование портфеля облигаций 
со стабильными платежами (последнее можно считать целью) является фундаментальным положением, объединяющим эти методы, 
которые также опираются на допущение об однородности ожиданий 
рыночных субъектов.

Заслуживает внимания разработанная в 60-е годы XX века модель 

оценки доходности финансовых активов, которая доказывает горизонтальное разделение доходности ценных бумаг под воздействием 
риска, объясняя, какая доходность должна быть получена при заданном целевом уровне риска. Как и в предыдущем случае, много лет 
спустя, в первом и в начале второго десятилетия XXI века была разработана модифицированная модель оценки доходности финансовых 
активов, в рамках которой преодолеваются критические недостатки 
модели оценки доходности финансовых активов; кроме того, доказывается вертикальное разделение доходности ценных бумаг при зафиксированном уровне риска, а также выдвигаются рекомендации относительно выбора компенсирующих риск теоретически эффективных 
финансовых инвестиционных стратегий, позволяющих получить финансовый результат (последнее можно считать целью) в виде положи

тельной курсовой разности от короткой продажи1 либо от покупки 
ценных бумаг. Отметим и здесь то, что процедуры моделирования доходности ценных бумаг в рамках каждого подхода опираются на ряд 
частных (причем по большинству позиций идентичных) технических 
ограничений, однако допущение об однородности ожиданий рыночных субъектов является фундаментальным в обоих случаях.

В 70-е и 80-е годы XX века была разработана арбитражная теория 

оценки доходности финансовых активов, в основе которой лежит 
многофакторная модель прогнозирования доходности ценных бумаг, 
составляющих композицию портфеля. Процедуры моделирования 
направлены на поиск наибольшей доходности (последнее можно считать целью) финансового инвестиционного портфеля исключительно 
за счет изменения его структуры при неизменности риска, стоимости 
и состава входящих в портфель ценных бумаг. Представленный подход 
позиционируется как альтернатива модели оценки доходности финансовых активов, опирается на ряд частных (причем по отдельным позициям идентичных с моделью оценки доходности финансовых активов) ограничений, однако допущение об однородности ожиданий 
рыночных субъектов является фундаментальным и здесь.

С 70-х по 90-е годы XX века продолжилось развитие факторных 

моделей. Среди них наиболее известны однофакторная рыночная 
модель и многофакторная модель BARRA, впоследствии переименованная в E2. Они являются исключительно позитивными (поисковыми) и направлены на прогнозирование доходности ценных бумаг 
(последнее можно считать целью) без выработки рекомендаций относительно действий с финансовыми активами. Факторные модели 
формализуют данные фундаментального анализа рынков капитала, 
показывая, какой может быть доходность исследуемых ценных бумаг 
при сочетании тех или иных исходных параметров, выраженных количественно. Разумеется, процедуры моделирования доходности 
финансовых активов в рамках каждого подхода опираются на ряд 
частных статистически более или менее сложных технических процедур и ограничений, однако допущение об однородности ожиданий 
рыночных субъектов является фундаментальным во всех случаях.

Наконец, с нашей точки зрения, весьма перспективной является 

интервальная теория портфеля, становление которой пришлось на 
первое и на начало второго десятилетия XXI века. Ее особенностью 
является синтетический инструментарий, основанный на методологии модифицированной модели оценки доходности финансовых 

1 Эффективная короткая продажа предполагает заимствование ценных 

бумаг у кредитора, затем их продажу по существующему рыночному курсу с 
последующим выкупом по снизившемуся и, наконец, возврат ценных бумаг 
кредитору.

активов, а также на методологии опционного ценообразования, разработанного в 70-е годы XX века. Интервальная теория портфеля 
направлена на моделирование компенсирующих риск потенциально 
эффективных (ординарных или синтетических) финансовых инвестиционных стратегий, позволяющих получить финансовый результат 
(последнее можно считать целью) в виде положительной курсовой 
разности от короткой продажи либо от покупки ценных бумаг или в 
виде положительной премии от продажи и исполнения опционов на 
ценные бумаги. Разумеется, процедуры выработки финансовых инвестиционных стратегий опираются на ряд частных технических 
ограничений, характерных, с одной стороны, для модифицированной 
модели оценки доходности финансовых активов, а с другой, — для 
опционного ценообразования. Однако фундаментальным для интервальной теории портфеля является допущение о неоднородности 
ожиданий рыночных субъектов, что принципиально отличает ее от 
других, в том числе перечисленных выше подходов.

Теперь следует определиться с терминологией и наполнить содер
жанием то, что ранее излагалось абстрактно. Это касается наших 
трактовок риска, доходности и соответствующей математической 
формализации данных понятий.

Итак, риск допустимо трактовать как угрозу осуществления не
благоприятного события. Например, рыночный субъект может не 
получить доходность, на которую рассчитывает, отсюда риск (или, 
о чем упоминалось ранее, финансовый инвестиционный риск) ценных бумаг мы понимаем как угрозу отклонения фактической доходности от ее предполагаемого (прогнозного) уровня, фиксируемого в 
виде ожидаемой доходности. Соответственно, доходность представляет собой финансовый результат, приносимый за единицу времени 
каждой единицей стоимости ценных бумаг. Доходность, которую 
допустимо называть ставкой доходности, можно измерять в процентах или, что в дальнейшем примем за основу, в долях единицы.

Фактическая доходность отражает финансовый результат, полу
ченный за один из прошлых периодов времени с каждой единицы 
стоимости ценных бумаг, отсюда фактическая доходность рассчитывается в соответствии с формулой:

 
R
P
P
D

P
j t
j t
j t
j t

j t
,
,
,
,

,
,
=
−
+
−

−

1

1

  
(1.1)

где Rj,t — фактическая доходность по финансовому активу j за период 
времени t; Pj,t — рыночный курс финансового актива j на конец периода времени t; Pj,t –1 — рыночный курс финансового актива j на 
конец периода времени t – 1, что теоретически соответствует началу 
периода времени t; Dj,t — платеж к получению по финансовому активу j за период времени t.

Обсудим запись (1.1). Прежде всего обратим внимание на числи
тель — это и есть финансовый результат (за один из прошлых периодов времени) в виде суммы курсовой разности (Pj,t – Pj,t –1) и платежа 
к получению (Dj,t). Очевидно, чем больше рыночная цена финансового актива на конец рассматриваемого периода, тем больше фактическая доходность. При этом чем больше рыночная цена финансового актива на начало рассматриваемого периода, тем меньше фактическая доходность. Наконец, чем больше выплачиваемый 
эмитентом ценной бумаги доход за рассматриваемый период, тем 
больше фактическая доходность.

Ожидаемая доходность выражает предполагаемый финансовый 

результат, приносимый в течение будущей единицы времени каждой 
единицей стоимости ценных бумаг, причем ожидаемая доходность 
рассчитывается как гипотетическая усредненная оценка из некоего 
массива значений фактической доходности:

 
R
n
R
j
j t
t

n

=
⋅

=∑
1

1
, ,  
(1.2)

где Rj — ожидаемая доходность по финансовому активу j; t = 1, ..., n — 
длина динамического ряда, иначе говоря, наблюдаемый релевантный 
промежуток времени.

Обсудим запись (1.2). Очевидно, чем больше величина фактиче
ской доходности по финансовому активу, тем больше его ожидаемая 
доходность. Для выбора же динамического ряда с корректной по времени длиной применяется проверочная процедура, известная как 
верификация, что обсуждается в рамках интервальной теории портфеля.

Завершая изложение терминологических аспектов, заметим, что 

финансовый инвестиционный риск носит спекулятивный характер, 
т.е. отклонения фактической доходности от ее предполагаемого 
уровня могут происходить в любую сторону, соответственно фактическая доходность может оказаться больше или меньше ожидаемой 
доходности. Отсюда финансовый инвестиционный риск допустимо 
исчислять с помощью стандартного отклонения, которое показывает 
средний разброс возможных значений доходности относительно ее 
прогнозного в виде ожидаемой доходности уровня и имеет одинаковую с доходностью, следовательно, легко интерпретируемую единицу 
измерения:

 
j
n
R
R
j t
j

t

n
σ
=
⋅
−
(
)

=∑
1
2

1

,
,  
(1.3)

где σj — стандартное отклонение, являющееся мерой риска по финансовому активу j.

Обсудим выражение (1.3). Очевидно, чем больше отклонение 

фактической доходности от ожидаемой доходности |Rj,t – Rj|, тем 
больше величина финансового инвестиционного риска. Обозначенные отклонения возникают в связи со случайными колебаниями 
фактической доходности, отсюда чем больше колебания, тем больше 
величина риска. Разумеется, чем меньше колебания фактической 
доходности и чем больше размер ожидаемой доходности, тем 
меньше величина финансового инвестиционного риска.

Далее необходимо дать общую характеристику объектов, к кото
рым применяются изложенная выше терминология и инструментарий. Разумеется, речь идет о ценных бумагах.

1.2.  
ВИДЫ И ИНВЕСТИЦИОННЫЕ СВОЙСТВА  
ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ

Ценной бумагой является документ, удостоверяющий с соблюде
нием установленной формы и обязательных реквизитов имущественные права, осуществление или передача которых возможны 
только при его предъявлении. Очевидно, что обозначенное определение допускает широкую трактовку понятия ценной бумаги, в связи 
с чем существует законодательно закрепленный перечень ценных 
бумаг, а именно: закладная, чек, дорожный чек, коносамент, простое 
складское свидетельство, двойное складское свидетельство, складское свидетельство, залоговое свидетельство (варрант), банковская 
сберегательная книжка на предъявителя, ипотечный сертификат 
участия, государственная облигация, облигация, облигация с залоговым обеспечением (облигация с ипотечным покрытием, жилищная 
облигация с ипотечным покрытием), биржевая облигация, простой 
вексель, переводной вексель, депозитный сертификат, сберегательный сертификат, привилегированная акция, обыкновенная акция, 
опцион эмитента, форвардный контракт, фьючерсный контракт, депозитарная расписка, приватизационные ценные бумаги.

Экономическая сущность ценных бумаг раскрывается через инте
ресы их эмитентов и держателей, а также через совокупность инвестиционных свойств, которые схематично представлены на рис. 1.1. 
Для эмитента ценная бумага, как правило, является инструментом 
финансирования (финансовым инструментом), позволяющим привлечь необходимые для достижения целей эмиссии денежные средства. 
Для держателя (инвестора) ценная бумага является финансовым активом, предположительно позволяющим выгодно вложить (инвестировать) имеющиеся в наличии денежные средства (о чем уже упоминалось ранее). Совершенно очевиден взаимный интерес эмитентов и 
инвесторов к обмену ценных бумаг на деньги. Причем данный обмен, 
представляющий собой куплю-продажу ценных бумаг, возможен при