Сопротивление материалов

СОПРОТИВЛЕНИЕ 

МАТЕРИАЛОВ

УЧЕБНИК

Пятое издание

Москва
РИОР

ИНФРА-М

В.А. ВОЛОСУХИН
В.Б. ЛОГВИНОВ
С.И. ЕВТУШЕНКО

Допущено Министерством сельского хозяйства  

Российской Федерации в качестве учебника  

для студентов высших учебных заведений, 

обучающихся по направлению 

«Природоустройство и водопользование»

УДК 539.3/8(075.8)
ББК 30.121я73
          В68

А в т о р ы :
Волосухин В.А. — профессор, д-р техн. наук;
Логвинов В.Б. — профессор, канд. техн. наук;
Евтушенко С.И. — профессор, д-р техн. наук

Р е ц е н з е н т ы :
зав. кафедрой «Сопротивление материалов СПбГАСУ (г. СанктПетербург), д-р техн. наук, профессор В.Д. Харлаб;
зав. кафедрой «Строительная механика» РГСУ (г. Ростов-на-Дону),  
д-р техн. наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ Г.В. Васильков;
зав. кафедрой «Прикладная механика» КБГУ (г. Нальчик), д-р техн. 
наук, профессор Х.П. Культербаев;
зав. кафедрой «Строительная механика и сопротивление материалов» 
АГТУ (г. Архангельск), канд. техн. наук, доцент А.Ю. Коновалов;
проректор ЮРГПУ (НПИ) по инновационной деятельности, д-р техн. 
наук, профессор Л.Н. Фесенко

Волосухин В.А., Логвинов В.Б., Евтушенко С.И.

В68 
 
Сопротивление материалов : учебник / В.А. Волосухин, В.Б. Лог
винов, С.И. Евтушенко. — 5-е изд. — Москва : РИОР : ИНФРА-М, 
2020. — 543 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI: https://
doi.org/10.12737/16729

ISBN 978-5-369-01159-1 (РИОР)
ISBN 978-5-16-006438-3 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-100548-4 (ИНФРА-М, online)
В учебнике изложены основы курса сопротивления материалов, 

рассмотрены вопросы теории и задачи в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего образования. В книге использована Международная система единиц (СИ). Обозначения приняты в соответствии с международными рекомендациями ИСО. Курс 
разделен на модули. Изложение сопровождается вопросами для самоконтроля, в конце учебника помещены ответы на указанные вопросы.

Предназначен для студентов высших учебных заведений, обуча
ющихся по направлениям «Природообустройство и водопользование» 
и «Строительство».

УДК 539.3/8(075.8)
ББК 30.121я73 

ISBN 978-5-369-01159-1 (РИОР)
ISBN 978-5-16-006438-3 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-100548-4 (ИНФРА-М, online)

© Логвинов В.Б.
 Волосухин В.А.,
 Евтушенко С.И.

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ОТ АВТОРОВ 
 
Новочеркасский политехнический институт (НПИ), основанный в 
1907 году, вступил во второе столетие своей деятельности. НПИ за 
годы своего существования послужил основой для создания более 
20 учебных заведений. Нынешние Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический 
институт) и Новочеркасская государственная мелиоративная академия пошли после 1930 г. самостоятельными путями. Опыт преподавания курса «Сопротивление материалов» бережно сохраняется на 
кафедрах обоих вузов, творческому обмену способствовали советы 
по защите диссертаций и семинары, проводимые ведущими лекторами. В разные годы на соответствующих кафедрах работали профессоры Н.М. Абрамов (ученик профессора Н.А. Белелюбского), 
А.П. Коробов (ученик профессора С.П. Тимошенко), В.О. Цшохер, 
А.Н. Динник (в последующем академик АН СССР), Н.Н. Давиденков 
(в 
последующем 
академик 
АН 
УССР), 
Л.Н. 
Воробьёв, 
Г.В. Воронцов, А.А. Пиковский, Ю.В. Осетинский, П.Д. Мищенко, 
А.З. Зарифьян и др.; доценты Г.В. Веселовский, Д.Д. Савин и др. 
Книга соответствует примерной программе по дисциплине «Сопротивление материалов» разработанной проф. А.Г. Горшковым, 
доц. Д.И. Макаревским (МАИ (технический университет)) и 
В.А. Светлицким (МГТУ им. Н.Э. Баумана). Авторы учли опыт создания учебников для инженеров-строителей, в том числе учебники 
по «Сопротивлению материалов» под редакцией профессоров 
А.Ф. Смирнова, А.В. Александрова, Ю.Н. Новичкова, Г.С. Варданяна и др.  
Отличительные особенности предлагаемой книги заключаются в 
использовании глобальных координатных осей при построении 
эпюр внутренних усилий для пространственных ломаных стержней 
и рам, что приводит к визуальному уравновешиванию узлов рам; в 
учёте всех возможных распределённых нагрузок при составлении 
дифференциальных уравнений равновесия для пространственно 
нагруженного элемента прямого бруса; в теории напряжённодеформированного состояния предпочтение отдано аналитическим 
методам взамен давно устаревших графических; даны представления 
о современных гипотезах прочности; приведены сведения о композиционных материалах; чётко разграничиваются виды сложного сопротивления; в методе сил подробно рассмотрены приёмы учёта 
симметрии и показан расчёт рам на действие изменений температуры; достаточно компактно рассмотрены расчёты на циклически изменяющиеся нагрузки; кратко изложены основы теории упругости; 
представлен расчёт конструкций по предельным состояниям, позво

ляющий обосновать остаточный ресурс зданий и сооружений и продление их жизненного цикла, рассмотрены вопросы рационального 
проектирования, собранные впервые для учебного издания в отдельную главу. Кратко изложены основы расчёта безмоментных оболочек вращения (более подробно с расчётом оболочек можно познакомиться по монографиям, в том числе Ростовской научной школы, 
руководимой долгие годы академиком АН СССР И.И. Воровичем).  
Издание основано на лекциях, читаемых В.Б. Логвиновым свыше 
40 лет, и на его учебных пособиях, получивших гриф УМО по университетскому и политехническому образованию. 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Предмет и задачи курса сопротивления материалов 
 
На детали машин и элементы сооружений действуют внешние 
нагрузки во время их эксплуатации: например, на шатун автомобильного двигателя действует давление газа в цилиндре, на пролётное строение автомобильного моста — вес транспортных средств, 
проезжающих через мост. Детали машин и элементы сооружений 
должны выдерживать внешние воздействия, не разрушаясь, не деформируясь чрезмерно и сохраняя состояние равновесия под действием этих факторов, для чего детали машин и элементы сооружений должны иметь необходимые размеры, устанавливаемые расчётом. Это расчётное обоснование обеспечивает курс сопротивления 
материалов. Проектирование любой машины и сооружения состоит 
из конструирования и расчёта. 
Сопротивление материалов — наука о прочности, жёсткости и 
устойчивости деталей машин и элементов сооружений. Прочность — способность конструкции сопротивляться действию внешних нагрузок и других факторов (изменений температуры, осадок 
опор, неточностей изготовления и т.д.), не разрушаясь. Жёсткость — 
способность конструкции сопротивляться различным факторам без 
чрезмерных деформаций, то есть таких деформаций, появление которых нарушает эксплуатационные функции конструкции. Устойчивость — способность конструкции сохранять состояние первоначального равновесия под действием приложенных сил и различных 
факторов. Необходимо обеспечить надёжную эксплуатацию машин 
и сооружений в течение длительного времени при действии на них 
различных нагрузок. Расчёты должны обеспечить экономичность 
конструкций. Требования надёжности и экономичности противоречивы. Для повышения надёжности поперечные размеры конструктивных элементов, как правило, надо увеличивать, а для повышения 
экономичности эти размеры следует уменьшать, то есть сокращать 
расход материала на конструкцию. Это противоречие является стимулом развития науки о сопротивлении материалов. 
Сопротивление материалов основывается на результатах экспериментов, которые позволяют определить физико-механические характеристики материалов и проверить правильность расчётных теорий. Сопротивление материалов является не только экспериментальной, но и теоретической наукой. При изучении какого-либо 
явления выделяют наиболее важные и существенные черты, отвлекаясь от второстепенных, а затем, если нужно, учитывают и второстепенные факторы, то есть используют метод абстракций. Сопро

тивление материалов имеет свой математический аппарат, но не является чисто математической дисциплиной. 
Курс сопротивления материалов базируется на ряде учебных 
дисциплин. Из математики в сопротивлении материалов используются элементы дифференциального и интегрального исчисления, 
начала векторной и линейной алгебры, аналитическая геометрия, 
сведения из теории рядов, дифференциальные уравнения, элементы 
математической статистики и теории вероятностей. Из физики заимствованы разделы: механика, оптика, электричество, магнетизм, теплота и т.д. при изучении теории курса и теории лабораторных работ. 
В значительной степени применяются сведения из теоретической 
механики (статика, кинематика, динамика, включая теорию колебаний). Для оформления полученных результатов и их анализа необходимо иметь представления из начертательной геометрии и уметь 
чертить (инженерное черчение). Для изучения физико-химических 
свойств материалов и при создании материалов с наперёд заданными 
свойствами используется прикладная химия. Для расчёта сложных 
конструкций применяют компьютеры (необходимы знания по ЭВМ, 
информатике, программированию). 
Сопротивление материалов используется в ряде последующих 
курсов, таких как: детали машин, метрология и нормирование точности, расчёты на прочность машин, строительная механика машин, 
сооружений и т.п., строительные конструкции и т.д. Сопротивление 
материалов решает задачи, во многом сходные с теми, которые являются предметом механики сплошной среды, теории упругости, 
пластичности и ползучести, но в сопротивлении материалов математический аппарат проще и задачи решаются приближённо. 
 
Краткие сведения из истории курса  
сопротивления материалов 
 
Люди начали строить жильё и культовые сооружения с древнейших времен. Первые орудия труда и приспособления появились на 
заре истории человечества, но первые примитивные машины созданы гораздо позже. Никакого расчётного обоснования сооружений и 
машин с тех времен до нас не сохранилось. Первые письменные источники, в которых упоминаются задачи, относящиеся к сопротивлению материалов, появились гораздо позже. В ХIII веке Иордан 
Неморарий предпринял первую попытку определить форму изогнутой оси балки под действием нагрузки. В ХVI веке Леонардо да 
Винчи изучал вопрос о сопротивлении балок изгибу и занимался задачей о сопротивлении колонн. Зарождение сопротивления материалов как науки связывают с именем Галилея, который в 1638 году 
опубликовал в Лейдене книгу о двух новых отраслях науки, одна из 

которых — сопротивление материалов. Свой вклад в развитие сопротивления материалов внесли Роберт Гук, Бернулли, Л. Эйлер и 
другие. 
В России вопросы испытания материалов нашли отражение в 
первых печатных трудах начала ХVIII века. При Петре I в «Регламенте Адмиралтейства» (1722 г.) опубликованы правила обязательных механических испытаний железа на прочность. М.В. Ломоносов 
изучал твёрдость материалов и их прочность при сжатии. Он сконструировал и изготовил несколько приборов для исследования механических свойств, его можно считать одним из основоположников 
учения о твёрдости материалов. 
Первый учебник по сопротивлению материалов и теории упругости опубликовал в 1826 году Клод Луи Мари Анри Навье. Значительный вклад в развитие науки сделан выдающимися учёными 
О. Коши, А.Ж.К. Барре де Сен-Венаном, Ламэ и др. В XIX веке мировую известность приобрели работы русских учёных Д.И. Журавского, Х.С. Головина, В.Л. Кирпичева, Н.А. Белелюбского, поляка 
Ф.С. Ясинского. С начала ХХ века роль русских учёных в науке о 
сопротивлении материалов ещё более возросла; появились работы 
А.Н. Крылова, И.Г. Бубнова, С.П. Тимошенко, А.Н. Динника. Важные 
работы выполнили советские ученые Н.М. Беляев, Н.С. Стрелецкий, 
В.З. Власов, А.А. Гвоздев, И.Я. Штаерман, Н.Н. Давиденков, 
Я.Б. Фридман, А.А. Ильюшин, Ю.Н. Работнов, С.В. Серенсен, Н.И. 
Безухов, Н.К. Снитко, В.В. Болотин, А.Ф. Смирнов, В.И. Феодосьев, 
С.Д. Пономарёв, Н.Н. Малинин, Н.И. Мусхелишвили и многие другие. 
Более подробно с историей курса сопротивления материалов можно 
ознакомиться в работах [2, 4, 29]. 
По сопротивлению материалов написано много учебников. Давно 
стал классическим учебник С.П. Тимошенко [30]. Многие советские 
годы основным учебником оставалась книга Н.М. Беляева [3], переиздававшаяся много раз. Очень хороший учебник [26] многократно 
издавался под редакцией Г.С. Писаренко. В машиностроительных 
вузах популярен учебник В.И. Феодосьева [31, 32]. Оригинальными 
являются учебные пособия Ю.Н. Работнова [23], И.А. Биргера и 
Р.Р. Мавлютова [5], А.Г. Горшкова и другие [14]. Для строительных 
специальностей широко используются учебник под редакцией 
А.Ф. Смирнова [25], учебник А.В. Александрова и др. [1], учебники 
под редакцией Г.С. Варданяна [6, 7]. Для изучения курса студентами-заочниками известен учебник А.В. Даркова и Г.С. Шпиро [15] и 
по сокращённой программе популярен учебник П.А. Степина [28]. 
К сожалению, число часов, выделяемых на курс сопротивления материалов в учебных планах вузов, неуклонно сокращается, поэтому 
возникает необходимость в создании учебных пособий, аналогичных 
предлагаемому. 

Вопросы и задания для самоконтроля к введению 

1. Дайте определение науки «Сопротивление материалов».
2. Что такое прочность конструкции?
3. Что такое жёсткость конструкции?
4. Что такое устойчивость конструкции?
5. В чём заключается противоречивость требований надёжности
и экономичности конструкции? 
6. Для чего в сопротивлении материалов используют эксперимент? 
7. На каких дисциплинах базируется курс сопротивления материалов? 
8. В каких последующих курсах используют результаты, полученные в сопротивлении материалов? 
9. В чём состоит отличие математического аппарата курса сопротивления материалов от используемого в теории упругости, пластичности и ползучести? 
10. Когда зародилась наука о сопротивлении материалов? С именем какого учёного связано её появление? 

Модуль  1 
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК 
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ И ВНУТРЕННИХ  
УСИЛИЙ В БРУСЕ 
 
Глава 1 
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 
 
1.1. Классификация сил и нагрузок 
 
Различают силы внешние и внутренние. Внешние силы — это силы взаимодействия между телами. Внутренние силы возникают 
между частицами тела. Далее речь будет идти о внутренних силах, 
вызванных внешними силами, внутренними же силами иной природы интересоваться не будем. 
Внешние силы классифицируем по ряду признаков. Различают 
силы активные и реактивные (то есть реакции). Далее рассматриваются активные силы. 
1. В зависимости от места приложения сил различают поверхностные и объёмные силы. Поверхностные силы действуют на поверхности конструкции, например, давление жидкости на стенки резервуара; 
сила, приходящаяся на единицу площади поверхности. Объёмные силы приложены к каждой единице объёма тела, например, силы тяжести, силы инерции. 
2. В зависимости от размера площадки, на которую действуют 
силы, различают сосредоточенные силы и распределённые нагрузки. 
Сосредоточенные силы приложены к площадке, малой в сравнении с 
размерами тела, например, давление колеса вагона на рельс 
(рис. 1.1). Нагрузку, распределённую по малой площадке контакта 
колеса и рельса, заменяем равнодействующей сосредоточенной силой F (от force (англ.) — сила). Сосредоточенные силы выражаются 
в ньютонах, килоньютонах или меганьютонах (Н, кН, МН). Распределённые нагрузки действуют непрерывно на некоторой площадке, 
сравнимой с основными размерами тела, например, давление воды 
на плотину (рис. 1.2) (размеры h и H одного порядка). Распределённые нагрузки выражаются в единицах силы, отнесённых к единице 
длины, или к единице площади поверхности либо к единице объёма 
(например, гравитационные силы). 
3. В зависимости от продолжительности времени действия сил 
различают постоянные и временные нагрузки. Постоянные нагрузки 
действуют на протяжении всего периода эксплуатации машины или 

сооружения, например, силы тяжести. Временные нагрузки могут 
действовать или не действовать (ветровая нагрузка, снеговая нагрузка, давление автомобиля на несущие конструкции моста). 
 

 
 

4. По характеру действия различают силы статические и динамические. Статические остаются неизменными либо растут от нуля до 
конечного значения без заметных ускорений (силы инерции при 
этом не учитываются). Динамические силы сопровождаются ускорениями либо в рассчитываемых телах, либо в телах, действующих на 
рассчитываемые (силы инерции при этом учитываются). К динамическим силам относятся: импульсные, ударные, взрывные, сейсмические и другие. 
5. В зависимости от того, меняется ли во времени нагрузка, различают нагрузки неизменные во времени или изменяющиеся во времени (с установившимся режимом — повторно-периодические — и 
с неустановившимся режимом). 
 
1.2. Деформации 
 
В теоретической механике изучают материальные точки, системы 
материальных точек и абсолютно твёрдые тела. В сопротивлении 
материалов рассматривают деформируемые тела. Деформацией 
назовём изменение формы и (или) размеров тела. Деформация может 
не сопровождаться изменением формы, например, полый шар, загруженный внутренним давлением, остаётся шаром. Но может измениться форма, а размеры сохранятся, например, при сдвиге квадрат 
превращается в ромб, но размеры сторон не меняются. Деформации 
классифицируем по ряду признаков. 
1. Деформации бывают упругими и пластическими. Упругие деформации полностью исчезают после удаления нагрузки. Тела, способные упруго деформироваться, называются упругими. Пластические, или остаточные деформации сохраняются после удаления