Сферическая астрономия

Сферическая
АСТРОНОМИЯ

Сферическая 
АСТРОНОМИЯ

Государственный астрономический институт
им. П. К. Штернберга

В. Е. Жаров

Рекомендовано Учебно-методическим объединением 
по классическому университетскому образованию 
в качестве учебника для студентов вузов, 
обучающихся по специальности 010702 – астрономия

Электронное издание

Москва, 2022

УДК 52
ББК 22.6
Ж35

Ж35
Жаров, Владимир Евгеньевич.

Сферическая астрономия : учебник / В. Е. Жаров ; Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга. —  Эл. изд. —  1 файл pdf : 481 с. — 
Москва : ДМК Пресс, 2022. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe 
Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.

ISBN 978-5-89818-209-0

В учебнике последовательно изложены основы фундаментальной астрономии. Формулируется рекомендуемый Международным астрономическим 
союзом (МАС) математический аппарат интерпретации и анализа астрометрических наблюдений.

Учебник может быть использован как справочник рекомендованных МАС и 
Международной службой вращения Земли и систем отсчета (МСВЗ) формул редукции оптических и радионаблюдений.

УДК 52 
ББК 22.6

Электронное издание на основе печатного издания: Сферическая астрономия  :  учебник / 
В. Е. Жаров ; Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга. — Москва : ДМК 
Пресс, 2022. — 480 с. — ISBN 978-5-89818-109-3. — Текст : непосредственный.

На обложке:  астрономический глобус с изображениями 67 созвездий. 
Сконструирован К. Пфлигером (1665–1730) в 1725 г. 
и установлен в Клементинуме (Прага) в 1727 г.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-89818-209-0
© Век 2, 2006
© Переиздание. ДМК Пресс, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие
9

Введение
13

0.1. Основные задачи, решаемые сферической астрономией
13

0.2. Краткий исторический обзор . . . . . . . . . . . . . . . .
21

Глава 1. Основы сферической геометрии
39

1.1. Основные понятия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

1.2. Скаляры, векторы, тензоры и системы координат . . . .
44

1.3. Сферическая система координат . . . . . . . . . . . . . .
56

1.4. Основные формулы сферической геометрии . . . . . . .
63

Глава 2. Астрономические системы координат
70

2.1. Горизонтальная система координат . . . . . . . . . . . .
72

2.2. Экваториальная система координат . . . . . . . . . . . .
74

2.3. Эклиптическая система координат . . . . . . . . . . . . .
79

2.4. Галактическая система координат . . . . . . . . . . . . .
80

2.5. Преобразование координат из одной системы в другую
83

2.6. Суточное вращение небесной сферы . . . . . . . . . . . .
94

2.7. Восход и заход небесных тел
. . . . . . . . . . . . . . . .
96

2.8. Определение систем координат
в современной астрометрии . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

2.9. Эпоха каталога, эпоха равноденствия,
динамическое равноденствие . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5

2.10. Основы небесной механики . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.10.1. Законы Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.10.2. Параметры и аномалии кеплеровской орбиты . . 116

2.11. Барицентрическая система координат . . . . . . . . . . . 123

Глава 3. Системы координат на Земле
126

3.1. Основные параметры Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.2. Уравнение геоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.3. Геоцентрическая и геодезическая системы координат . 142

3.4. Земная система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.5. Приливы и определение земной системы координат . . 159

Глава 4. Шкалы времени
163

4.1. Солнечное время
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.1.1.
Системы всемирного времени
и неравномерность вращения Земли
. . . . . . . 170

4.1.2.
Всемирное координированное время UTC . . . . 178

4.1.3.
Местное, поясное и декретное время . . . . . . . 184

4.2. Звездное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.3. Эфемеридное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.4. Атомное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.5. Динамические шкалы времени . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.5.1.
Координатное и собственное время . . . . . . . . 200

4.5.2.
Связь между динамическими шкалами времени 209

4.5.3.
Барицентрическая и геоцентрическая небесные
системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.6. Пульсарная шкала времени . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

4.7. Системы счета дней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

4.7.1.
Юлианские даты и юлианская эпоха . . . . . . . 234

4.7.2.
Тропический и звездный год . . . . . . . . . . . . 236

4.8. Летосчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

4.9. Связь всемирного и звездного времени . . . . . . . . . . 245

Глава 5. Эффекты, искажающие положение звезд
на небесной сфере
251

6

5.1. Рефракция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.1.1.
Учет рефракции в оптическом диапазоне
. . . . 252

5.1.2.
Формула Лапласа для вычисления рефракции . 258

5.1.3.
Восход и заход светил с учетом рефракции
. . . 262

5.1.4.
Влияние рефракции на прямое восхождение и
склонение звезды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.1.5.
Рефракция при наблюдениях в радиодиапазоне 265

5.1.6.
Рефракция и задержка радиосигнала
в тропосфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

5.1.7.
Задержка оптического сигнала в тропосфере . . 296

5.2. Аберрация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

5.2.1.
Изменение координат звезды из-за рефракции
или аберрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

5.2.2.
Суточная аберрация . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

5.2.3.
Формулы учета годичной аберрации низкой
точности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

5.2.4.
Точные формулы учета годичной аберрации
. . 308

5.2.5.
Планетная аберрация
. . . . . . . . . . . . . . . . 315

5.3. Параллакс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

5.3.1.
Оценка расстояния до звезд Ньютоном . . . . . . 319

5.3.2.
Изменение координат звезды
из-за параллактического смещения . . . . . . . . 320

5.3.3.
Суточный параллакс . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

5.3.4.
Суточный параллакс Солнца . . . . . . . . . . . . 323

5.3.5.
Влияние суточного параллакса
на экваториальные координаты
. . . . . . . . . . 325

5.4. Собственное движение звезд
. . . . . . . . . . . . . . . . 326

5.5. Измерение параллаксов и собственных движений звезд 333

5.6. Отклонение луча света в гравитационном поле . . . . . 334

5.7. Изменение координат опорного источника
в поле Солнца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

Глава 6. Прецессия и нутация
349

6.1. Причины прецессии и нутации . . . . . . . . . . . . . . . 351

7

6.2. Определение матрицы прецессии
. . . . . . . . . . . . . 359

6.3. Прецессионные параметры в теории IAU2000 . . . . . . 365

6.4. Математическое описание прецессии . . . . . . . . . . . 366

6.5. Точные формулы учета нутации . . . . . . . . . . . . . . 375

6.6. Преобразование из земной
к небесной системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . 379

6.6.1.
Определение небесного эфемеридного полюса . 380

6.6.2.
Гринвичское истинное звездное время . . . . . . 385

6.6.3.
Классическое преобразование из ЗСК в НСК . . 388

6.6.4.
Концепция «невращающегося начала отсчета» . 390

6.7. Процедура редукции оптических наблюдений . . . . . . 402

Глава 7. Редукция наблюдений на РСДБ
407

7.1. Основные этапы редукции наблюдений на РСДБ . . . . 411

7.2. Вычисление гравитационной задержки . . . . . . . . . . 412

7.3. Вычисление геометрической задержки . . . . . . . . . . 415

7.4. Вычисление частных производных по нутации . . . . . 421

Глава 8. Астрономические постоянные
424

Приложение A. Юлианские и календарные даты
435

Приложение B. Резолюции
XXVI Генеральной Ассамблеи МАС
439

Приложение C. Основные математические определения
443

C.1. Матричная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

C.2. Линейная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

C.3. Декартовы прямоугольные и сферические
координаты вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

C.4. Элементы дифференциального и интегрального
исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

C.5. Криволинейные координаты
. . . . . . . . . . . . . . . . 449

C.6. Сферические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

Приложение D. Основные термины
454

Литература
469

Предметный указатель
473

8

ПРЕДИСЛОВИЕ

Астрометрия — это область астрономии, занимающаяся установлением системы координат на небесной сфере. Ее раздел — сферическая астрономия, одной из задач которой является строгое математическое определение этой системы. В последние два десятилетия
XX века в развитии астрометрии наступил новый этап. В связи с появлением и использованием в астрометрии новых инструментов, таких как радиоинтерферометры со сверхдлинными базами (РСДБ),
дальномеры для лазерной локации Луны и спутников, космический
телескоп ГИППАРКОС, а также развитием космических навигационных систем GPS и ГЛОНАСС, точность получаемых астрометрических данных повысилась на три порядка. Для корректной обработки результатов наблюдений (редукции) были разработаны новые алгоритмы, ориентированные на использование компьютеров.
В связи с ростом точности при обработке наблюдений учитываются
эффекты общей теории относительности (ОТО), используются точные формулы прецессии, нутации, аберрации и других эффектов.

В отличие от традиционного подхода, в котором использовался
аппарат сферической тригонометрии, все новые алгоритмы редукции астрометрических наблюдений построены на основе векторного
и тензорного исчисления с применением матричной алгебры, чтобы
в максимальной степени оптимизировать время вычислений и сэкономить машинную память. Автор старался использовать стандартные (принятые или рекомендованные Международным астрономическим союзом) определения величин.

Увеличение точности наблюдений, широкое использование радиоинтерферометров и космических навигационных систем для ре
Предисловие
9

шения задач астрометрии и геодинамики, повсеместное применение
компьютеров для обработки данных требуют изменения содержания курса «Сферическая астрономия». Несмотря на то, что решение
задач сферической астрономии выполняется на основе методов матричной и векторной алгебры, автор предпочел сохранить традиционное название «Сферическая астрономия».

Трудность создания нового курса заключается в сложности современных алгоритмов редукции наблюдений и необходимости доступного для студентов изложения. «Сферическая астрономия» читается в МГУ им. М. В. Ломоносова для студентов первого курса,
когда общая подготовка по математике и физике еще не завершена.
Поэтому некоторые вопросы приходится излагать без строгих доказательств. Это касается, главным образом, решений задач в рамках специальной и общей теории относительности. Строгие решения можно найти в учебнике М. В. Сажина «Общая теория относительности для астрономов».

В учебнике последовательно изложены основы фундаментальной астрономии, целью которой является определение инерциальной системы координат в пространстве — основы для изучения Вселенной. Для этого формулируется рекомендуемый Международным
Астрономическим Союзом (МАС) математический аппарат интерпретации и анализа астрометрических наблюдений. Поэтому учебник, по мнению автора, может быть использован как справочник рекомендованных МАС и Международной службой вращения Земли
и систем отсчета (МСВЗ) формул редукции оптических и радионаблюдений (см. IERS Conventions (2003), которые в тексте называются как «Стандарты МСВЗ»).

В соответствии с основными задачами сферической астрономии
содержание учебника следующее.

Первая часть посвящена определению систем координат на небесной сфере и преобразованию координат вектора из одной системы в
другую с использованием как формул сферической тригонометрии,
так и матриц вращения.

Во второй части рассматриваются различные шкалы времени,
используемые в современной астрономии. Координаты небесных
объектов меняются со временем из-за различных причин. Поэтому
для изучения их движения необходимо задать единицы измерения
времени и, кроме того, определить промежуток времени между на
10
Предисловие