Универсальная алгебра и теория решеток

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
______________________________________________________________________
А. В. КРАВЧЕНКО, М. В. ШВИДЕФСКИ 
УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА 
И ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
Утверждено Редакционно-издательским советом 
университета в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2019

УДК 512.57+512.565](075.8) 
        К772 
 
Рецензенты:  
академик РАН С.С. Гончаров, 
канд. физ.-мат. наук М.С. Шеремет  
 
 
Работа подготовлена на кафедре алгебры и математической логики  
НГТУ для студентов и аспирантов, интересующихся алгеброй  
и математической логикой 
 
 
 
Кравченко А.В. 
К772         Универсальная алгебра и теория решеток: учебное пособие / 
А.В. Кравченко, М.В. Швидефски. – Новосибирск: Изд-во 
НГТУ, 2019. – 75 с. 
 
 
 
            ISBN 978-5-7782-4061-2 
 
 
 
 
В пособии изложены основы универсальной алгебры и теории решеток, разделов математики, находящихся на стыке алгебры и математической логики. От читателя требуется владение основами алгебры в рамках курса «Линейная алгебра», читаемого на I курсе всех факультетов 
НГТУ.  
 
 
 
 
 
 
 
УДК 512.57+512.565](075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-4061-2                              ©  Кравченко А. В., Швидефски М. В., 2019 
© Новосибирский государственный  
технический  университет, 2019 

Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Глава 1.
Начальные понятия теории решеток . . . . . . . . . . . . . .
7
1.
Определения решеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.
Некоторые алгебраические понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.
Операторы замыкания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.
Дистрибутивные и модулярные решетки. . . . . . . . . . . . . . 22
Глава 2.
Основные конструкции универсальной алгебры. . . 29
1.
Гомоморфизмы алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.
Прямые произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.
Подпрямые произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.
Конгруэнции произвольных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.
Конгруэнц-свойства и условия Мальцева . . . . . . . . . . . . .
40
6.
Определяющие соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
7.
Прямые и надпрямые пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Глава 3.
Аксиоматизируемые классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.
Полугруппа операторов и порядок на ней. . . . . . . . . . . . . 59
2.
Характеризация многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.
Квазикомпактные классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.
Характеризация квазимногообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.
Квазимногообразия и невложимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.
Антимногообразия алгебраических систем . . . . . . . . . . . . 71
3

Введение
Основным методом универсальной алгебры является выделение общих элементов совершенно различных алгебраических
объектов. Это позволяет видеть общие определения и конструкции и единообразно формулировать утверждения, известные в
частных случаях как теоремы о группах, кольцах или других
классических алгебраических системах.
Важным шагом для развития универсальной алгебры явилось определение Гарреттом Биркгофом абстрактных алгебр.
Определение 0.1. Пусть A  произвольное непустое множество. Назовем его носителем системы. Пусть L = F ∪R  множество сигнатурных символов, т. е. имен операций и отношений
на A. С каждым элементом f ∈F свяжем натуральное число
(возможно, ноль), а с каждым элементом r ∈R  положительное натуральное число. Такое число называется арностью (или
местностью) символа и соответствующей операции или отношения. Для каждого f ∈F определим функцию f A : An →A,
а для каждого r ∈R  отношение rA ⊆An, где n  арность
соответствующего символа.
Множество A с определенной на нем структурой {f A : f ∈
F}∪{rA : r ∈R} называется алгебраической системой и обозначается A или (A; σ).
Это современное общепринятое определение незначительно
отличается от исходного (например, определение Биркгофа допускало частичные операции и операции бесконечной арности, а
5

сигнатура предполагалась алгебраической, т. е. не содержащей
символов отношений).
Определения классических алгебраических систем оказываются частными случаями определения 0.1:
группоиды  это системы с бинарной операцией ·;
полугруппы  это группоиды с ассоциативной операцией ·;
моноиды  это системы сигнатуры {·2, 1} такие, что (A; ·) 
полугруппа, а 1  константа для нейтрального элемента;
группы  это системы сигнатуры {+2, −1, 0} с ассоциативной
бинарной операцией +, унарной операцией −взятия обратного
элемента выделенным элементов (константой) 0 для нейтрального элемента;
кольца  это системы сигнатуры {+2, ·2, −1, 0} такие, что
(A; +, −, 0)  абелева группа, (A; ·)  полугруппа, и выполняются правый и левый законы дистрибутивности для операций
сложения и умножения;
модули над кольцами, решетки, булевы алгебры, частично
упорядоченные множества, графы и т. д.
В главе 1 мы познакомимся с алгебраическими системами,
возникающими в различных областях математики. Это решетки.
Они позволяют описывать иерархии объектов (решетки подпространств, решетки замкнутых подмножеств, решетки конгруэнций и т. п.) и, как многие классические алгебры, обладают достаточно интересной структурной теорией.
В главе 2 мы вернемся к произвольным алгебраическим системам и познакомимся с общими понятиями подсистемы, изоморфизма, гомоморфизма, произведений и пределов систем. Эти
основные конструкции приводят к понятию операторов на классах систем и позволяют описывать классы, аксиоматизируемые
формулами специальных видов.
В главе 3 мы встретимся с хорошо изученными специальными аксиоматизируемыми классами (многообразиями и квазимногообразиями) и познакомимся с описаниями таких классов в
терминах замкнутости относительно операторов и с помощью
предложений специального вида.
6

Глава 1
Начальные понятия теории решеток
1. Определения решеток
Решетки  алгебраические системы, которые можно определить двумя способами. Первый из них ставит решетки в один
ряд с такими классическими алгебрами, как группы и кольца, а
другой основан на понятии порядка и допускает геометрическое
представление.
Определение 1.1. Решетка  это алгебра с двумя основными бинарными операциями ∧и ∨, удовлетворяющая для всех
x, y и z следующим условиям
ассоциативности: x∨(y∨z) = (x∨y)∨z и x∧(y∧z) = (x∧y)∧z,
коммутативности: x ∨y = y ∨x и x ∧y = y ∧x,
идемпотентности: x ∨x = x и x ∧x = x,
поглощения: x ∨(x ∧y) = x и x ∧(x ∨y) = x.
Упражнение 1. Проверьте, что следующие алгебры суть
решетки:
(а) множество натуральных чисел с операциями наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного;
(б) множество подмножеств произвольного множества с операциями пересечения и объединения;
(в) множество вещественных чисел с операциями минимума
и максимума.
Определение 1.2. Решеткой называется частично упорядоченное множество (P; ⩽) такое, что для любых a, b ∈P существуют точная верхняя и точная нижняя грани множества {a, b}.
7

Теорема 1.3. Если L = (L; ∧, ∨)  решетка в смысле определения 1.1, то L′ = (L; ⩽) является решеткой в смысле определения 1.2, где a ⩽b тогда и только тогда, когда a = a ∧b.
Если P = (P; ⩽)  решетка в смысле определения 1.2, то
P′ = (P; ∧, ∨) является решеткой в смысле определения 1.2, где
a ∧b = inf(a, b) и a ∨b = sup(a, b).
Доказательство. Пусть L  решетка в смысле первого из
определений.
Проверим сначала, что отношение ⩽на L, определенное по
правилу a ⩽b тогда и только тогда, когда a∧b = a, является отношением частичного порядка. Рефлексивность является следствием идемпотентности, антисимметричность  коммутативности, а транзитивность  ассоциативности операций решетки.
Проверим, что a ∨b = sup(a, b). В силу условия поглощения
a ∧(a ∨b) = a, т. е. a ⩽a ∨b. В силу условий коммутативности и
поглощения b∧(a∨b) = b∧(b∨a) = b, т. е. b ⩽a∨b. Следовательно,
a ∨b  верхняя грань для a и b. Рассмотрим любую верхнюю
грань u для a и b и покажем, что a ∨b ⩽u. Вычислим (a ∨b) ∨u.
Так как a ⩽u, имеем a = a∧u, откуда в силу условия поглощения
u = (a ∧u) ∨u = a ∨u. Аналогично u = b ∨u. Следовательно, в
силу условий на решеточные операции, а также двух только что
полученных равенств
(a ∨b) = (a ∨b) ∧((a ∨b) ∨u) = (a ∨b) ∧(a ∨(b ∨u)) =
= (a ∨b) ∧(a ∨u) = (a ∨b) ∧u,
откуда a ∨b ⩽u, т. е. a ∨b = sup(a, b).
Доказательство равенства a ∧b = inf(a, b) аналогичное.
Пусть теперь P  решетка в смысле второго из определений.
Нетрудно проверить, что алгебра P′ удовлетворяет всем четырем условиям определения 1.1. Например, коммутативность операции ∨следует из очевидного равенства sup(a, b) = sup(b, a),
а условие поглощения a = a ∨(a ∧b) получается из равенства
a = sup(a, inf(a, b)), которое, очевидно, верное в силу неравенства inf(a, b) ⩽a.
□
8