Ряды и преобразование Фурье. Специальные главы математического анализа

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
С.В. НЕДЕЛЬКО, Г.Н. МИРЕНКОВА 
 
 
 
 
РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 
 
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 
 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом 
университета в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

УДК 517.518.45(075.8) 
Н 421 
 
 
Рецензенты: 
канд. пед. наук, доцент  А.Н. Буров 
д-р физ.-мат. наук, профессор  В.А. Селезнев 
 
 
 
Работа подготовлена кафедрой высшей математики 
 
 
 
Неделько С.В. 
Н 421      Ряды и преобразование Фурье. Специальные главы математического анализа: учебное пособие / С.В. Неделько, Г.Н. Миренкова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 62 с.  

ISBN 978-5-7782-3626-4 

Учебное пособие предназначено студентам технических факультетов, в программе обучения которых содержится тема «Ряды Фурье. 
Преобразование Фурье». Авторами предложено доступное изложение 
этой темы, достаточное для усвоения ее студентами нематематических специальностей. 
В пособии сначала дается теоретический материал с пояснениями 
и примерами, а затем приводятся условия задач типового расчета. 
 
 
 
 
 
 
 
 
УДК 517.518.45(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3626-4 
© Неделько С.В., Миренкова Г.Н., 2018 
 
© Новосибирский государственный  
 
 технический университет, 2018 

 
 
 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение .................................................................................................................. 4 
§ 1. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ И ЕГО СВОЙСТВА ..................................... 5 
1. Бесконечномерные евклидовы пространства ............................................ 5 
2. Пространство L2 ........................................................................................... 7 
3. Определение обобщенного ряда Фурье. Сходимость в среднем ............. 8 
4. Свойства обобщенного ряда Фурье .......................................................... 10 
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ ................................................... 12 
1. Примеры ортогональных в L2 систем тригонометрических  
функций ....................................................................................................... 12 
2. Разложение периодических функций в ряд Фурье на промежутке 
(–π, π) (период T = 2π) ................................................................................ 15 
3. Разложение периодических функций  в ряд Фурье на промежутке 
(–L, L) (период T = 2L) ............................................................................... 19 
4. Свойства тригонометрического ряда Фурье ............................................ 20 
5. Спектр функции. Энергия спектра. Оценка вклада k-й гармоники 
в общую энергию спектра ......................................................................... 25 
6. Метод Малиева построения быстросходящегося ряда ........................... 28 
7. Примеры ...................................................................................................... 29 
§ 3. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ ................................................. 42 
§ 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ................................... 46 
1. Интеграл Фурье в комплексной форме .................................................... 46 
2. Интеграл Фурье в действительной форме ............................................... 47 
3. Преобразование Фурье (в комплексной форме) ...................................... 47 
4. Некоторые свойства преобразования Фурье ........................................... 48 
5. Приложения преобразования Фурье ........................................................ 52 
§ 5. УСЛОВИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ............................................................ 56 
Библиографический список ................................................................................. 61 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Французский математик Фурье (1768–1830) – один из известных 
представителей математической французской школы наряду с Лагранжем и Коши. Ряды Фурье, открытые им в начале XIX века, были восприняты современниками как революция в математике. Почти весь 
ХХ век ряды и преобразование Фурье были основным математическим 
аппаратом радиотехники. И в настоящее время техника описывается 
математическим языком с помощью преобразования и рядов Фурье. 
В пособии рассмотрены обобщенный и тригонометрический ряды 
Фурье и их свойства, ряды Фурье в комплексной форме, интеграл и 
преобразование Фурье. Для усвоения темы требуется владеть материалом курсов математического анализа и линейной алгебры. 
Напомним отдельно некоторые способы приближения функций, 
которые потребуются далее при определении функционального пространства L2 и рядов Фурье, а также при рассмотрении свойств рядов. 
1. Локальное приближение – приближение функции в окрестности некоторой точки. Обычно требуется совпадение значений функции 
и ее производных с соответствующими значениями приближения 
функции в точке. Реализуется локальное приближение с помощью рядов Тейлора. 
2. Равномерное приближение. При этом способе требуется, чтобы 
погрешность во всех точках имела примерно один и тот же порядок малости. За критерий близости принимается наибольшее уклонение, максимум модуля разности между данной функцией и ее приближением. 
При интерполяции приближение в виде многочлена совпадает с 
функцией в нескольких данных точках (узлах интерполяции). Математическим аппаратом являются интерполяционные многочлены, например, Ньютона и Лагранжа. 
3. Приближение в среднем (по среднеквадратичному отклонению). В роли математического аппарата выступают ряды Фурье. Требуется минимизировать квадрат модуля разности между функцией и ее 
приближением. 

§ 1. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ  
И ЕГО СВОЙСТВА 

1. БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ  
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 

Вспомним определение n-мерного евклидова пространства.  
Определение. Евклидово пространство 
n
E  – это линейное пространство, в котором введено скалярное произведение элементов (векторов) пространства. 
Основными операциями в линейном пространстве являются сложение элементов и умножение элементов на числа. 
Определение. Скалярным произведением элементов 
n
x
E

, 
n
y
E

 
называется вещественное число, которое ставится в соответствие x   
и y , обозначается ( , )
x
y  и удовлетворяет следующим четырем аксиомам: 
1) ( , )
( , )
x y
y x

; 
2) (
, )
( , )
( , )
x
y z
x z
y z



; 
3) (
, )
( , ), 
x y
x y
K

 

 (K – числовое поле);  
 
  (1) 

4) ( , )
0,  если  
0;

( , )
0,  если  
0.

x x
x

x x
x







 

Элементы x  и y  называются ортогональными, если ( , )
0
x y 
.  
В геометрических векторных пространствах 
1
E , 
2
E , 
3
E  ортогональность означает перпендикулярность векторов. 
Норма вектора в пространстве 
n
E  (в пространствах 
1
E , 
2
E , 
3
E  
это длина вектора) вводится следующим образом:  

 
( , )
x
x x

. 
(2) 

Метрика (в геометрии расстояние между элементами x  и y ) определяется как x
y

. 
Основным понятием любого линейного пространства является базис, т. е. система максимального числа линейно независимых векторов. 
Любой вектор (элемент) пространства можно однозначно разложить  
по базису, т. е. представить в виде линейной комбинации базисных 
векторов: 

 
1

n
i i
i

x
x e

 
 
(3) 

в 
n
E , где  
ie
 – базис, 
ix  – координаты, n – размерность пространства. 
В ортогональном базисе (векторы ie  попарно ортогональны) 

 
2
( , 
)
i
i
i

x e
x
e

. 
(4) 

В ортонормированном базисе (
1
ie 
) получаем  

 
( , )
i
i
x
x e

. 
(5) 

Объектом изучения алгебры являются конечномерные (n-мерные) 
линейные пространства с конечными базисами. Например, у полинома 

0
1
( )
n
n
n
P x
a
a x
a x





 базисными будут степени 
:1, ,
,
n
x
x
x

, а 
координатами – 0
1
,
,
,
n
a
a
a

. 
Для бесконечномерных пространств ( n   ) вопросы выбора базиса и разложения вектора по базису – более сложная задача. Функции, 
в отличие от полиномов, представляются в виде бесконечных рядов.  
Можно показать, что функциональные пространства являются бесконечномерными. Элементы таких пространств – функции, а базис в 
них – это полная бесконечномерная система линейно независимых 
функций 

( )
k x

. Понятие полноты будет уточнено далее.  
Представим (формально) функцию рядом 

 
1
( )
( )
k
k
k

f x
c
x






. 

Если этот ряд сходится к 
( )
f x , то говорят, что 
( )
f x  разлагается по 
базису 

( )
k x

. Ниже будут рассмотрены различные виды сходимости.  
Фактически с разложением функции по базису мы уже встречались 

при изучении ряда Тейлора 

( )
0
0
0

(
)
( )
(
)
!

k
k

k

f
x
f x
x
x
k







. Здесь 

( )
0
(
)
!

k

k

f
x
c
k

 есть коэффициенты ряда, а 

0
(
)k
x
x

 – базис. 

2. ПРОСТРАНСТВО L2 

Определение. 1. Обозначим через 
2
L  множество всех кусочно
непрерывных на 

, 
a b  функций таких, что 
2( )
b

a
f
x dx  

. 

2. Определим скалярное произведение на 
2
L  следующим образом: 

2
2
( )
,
( )
f x
L
g x
L




   ( , )
( ) ( )
b

a

f
g
f x g x dx
 
. 

3. Норма в 
2
L  есть 

1
2
2
( , )
( )
b

a

f
f
f
f
x dx



 







, 
0
f 
 при 

0
f 
. 
Легко проверить, что введенное таким образом скалярное произведение удовлетворяет всем четырем аксиомам скалярного произведения, привычного для геометрических векторов. Норма в 
2
L  есть 
аналог длины геометрических векторов, которая в 
n
R  равна 

1
2
2

1

n
i
i
x
x




 




. Нетрудно убедиться из свойств интегралов, что норма 

удовлетворяет аксиомам: 
1) 
2
0
f
f
L
 

, при этом 
0
0
f
f



; 
2) 
2
,  
f
f
R
f
L

 


;