Решение задач по аналитической геометрии

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
А.М. ИВЛЕВА, О.Ю. БРЕДНИХИНА, Д.Р. КОВАЛЬЧУК  
 
 
 
 
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ  
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ  
ГЕОМЕТРИИ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

 

УДК 514.12(075.8) 
         И 255 
 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, профессор А.Г. Пинус 
доцент Э.Б. Шварц 
 

Работа подготовлена на кафедре алгебры и математической логики  
для студентов I курса всех факультетов 

 
 
 
Ивлева А.М. 
И 255   
Решение задач по аналитической геометрии: учебное пособие / А.М. Ивлева, О.Ю. Бреднихина, Д.Р. Ковальчук. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. – 58 с. 
 
      ISBN 978-5-7782-4218-0 
 
Пособие представляет собой сборник очень подробных решений задач по аналитической геометрии с использованием таблиц различных 
видов уравнений прямой на плоскости, плоскости и прямой в пространстве. 
 
 
УДК 514.12(075.8) 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-4218-0  
 
 
 
 
 
© Ивлева А.М., Бреднихина О.Ю., 
    Ковальчук Д.Р., 2020 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2020 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
 

Предисловие ............................................................................................................. 4 

1. Задачи на прямую на плоскости ......................................................................... 5 

2. Задачи на плоскость ........................................................................................... 20 

3. Задачи на прямую в пространстве .................................................................... 34 

4. Плоскость и прямая в пространстве ................................................................. 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Цель настоящего пособия – научить студентов I курса решать задачи 
по аналитической геометрии, относящиеся к темам: «Прямая на плоскости», «Плоскость», «Прямая в пространстве». В пособии представлены 
таблицы различных видов уравнений перечисленных геометрических 
объектов. Таблицы содержат не только виды уравнений, но и, что самое главное, геометрический смысл параметров этих уравнений. Все 
подробные решения задач основаны именно на использовании таблиц. 
Глядя в таблицы, нужно научиться выбирать тот вид уравнения, который использует данные о геометрическом объекте, содержащиеся в 
условии задачи. Кроме того, во всех решениях объясняется, как проверить полученный ответ. Последнее очень важно, так как заставляет понимать смысл того, что мы сделали в решении. Предполагается, что 
теоретические сведения по перечисленным разделам, а также по векторной алгебре читателю известны, например, из пособия А.М. Ивлевой, П.И. Прилуцкой, И.Д. Черных «Линейная алгебра. Аналитическая 
геометрия». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

1. ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ 
НА ПЛОСКОСТИ 

Существует так называемое общее уравнение прямой на плоскости 
0
Ax
By
C



. В принципе, любую задачу можно решить, пользуясь 
только этим уравнением. Однако решение может оказаться очень длинным. Если же пользоваться специальными видами уравнений, приведенными в таблице, решение станет коротким и понятным. Таблица содержит название уравнения, вид уравнения, и, что самое главное, геометрический смысл параметров уравнения. Параметрами называются 
все буквы, входящие в уравнение, кроме x и y. Так, общее уравнение 
прямой имеет три параметра: А, В, С. Каков их геометрический смысл? 
Вектор 
( ,
)
n
А В

 – это вектор нормали к прямой, т. е. вектор, перпендикулярный прямой; вектор 
(
,
)
s
В А
 
 – направляющий вектор пря
мой, т. е. вектор, параллельный прямой; 

2
2
С

А
В
 

 – расстояние от 

начала координат до прямой. 
Общий алгоритм решения задач на прямую на плоскости следующий. 
1. Из условия задачи понять и четко сформулировать, что известно 
про прямую. 
2. Найти в таблице вид уравнения, в котором используются именно 
эти данные. 
3. Подставить значения параметров в подходящий вид уравнения и 
привести уравнение к общему виду (табл. 1). 

Т а б л и ц а  1 

Различные уравнения прямой на плоскости 

Название уравнения 
Вид уравнения 
Геометрический смысл  
параметров 

1. Общее уравнение 
прямой 

Ax + Bу + C = 0 

 

( , )
n
A B
l

 ; 
(
, ) ||  
s
B A
l
 
 

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку 
перпендикулярно 
данному вектору 
0
0
(
)
(
)
0
A x
x
B y
y




 

 

( , )
n
A B
l

 ; 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
l
  

3. Каноническое 
уравнение прямой 

0
0
x
x
y
y
p
q



 

 

( , )  
s
p q
l

‖ ; 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
l
  

4. Параметрические 
уравнения прямой 

0

0

;
x
x
pt
y
y
qt







 

 

( , )  
s
p q
l

‖ ; 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
l
