Атлас поверхностей квазивращения

И.А. БЕГЛОВ 

 

 

АТЛАС ПОВЕРХНОСТЕЙ КВАЗИВРАЩЕНИЯ 

 

АТЛАС 

 

 
 

Москва 

ИНФРА-М 

2022 

УДК 514.181.22 
ББК 22.151.3
Б37
16+

 
Р е ц е н з е н т ы: 
К.Л. Панчук, доктор технических наук, профессор кафедры «Инженерная геометрия и САПР» Омского государственного технического университета; 
Д.В. Волошинов, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Информатика и компьютерный дизайна» Санкт-Петербургского государственного 
университета телекоммуникаций имени профессора М.А. Бонч-Бруевича; 
Е.Г. Трибельская, кандидат архитектуры, член-корреспондент Российской академии художеств Российской Федерации, заведующая кафедрой «Архитектура» 
Московского государственного академического художественного института имени В.И. Сурикова 
 
О ф о р м л е н и е  и  д и з а й н  р и с у н к о в: 
К.Т. Егиазарян 
 

Беглов И.А. 

Б37 

Атлас поверхностей квазивращения : атлас / И.А. Беглов. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 76 с. 

 
ISBN 978-5-16-110316-6 (online) 
 

Термин «квазивращение» введен автором для обозначения геометрического соответствия, при котором каждой точке, лежащей в плоскости кривой второго 

порядка, приводится в соответствие относительно данной кривой четыре окружности. Описанное в работе соответствие может использоваться с целью 
формообразования поверхностей. Каждая полученная таким способом поверхность является в общем случае четырехлистной. 

В атласе приводится аналитическое описание соответствия квазивращения и более 1000 изображений четырехлистных поверхностей и их отдельных листов, 

полученных с его помощью. Рассмотрено более 50 поверхностей, образованных квазивращением прямой или окружности. Для каждого случая представлено 
20 изображений — три ортогональные проекции и аксонометрия для целой поверхности и отдельных ее листов. 

Предназначен для геометров, архитекторов, дизайнеров, художников, скульпторов, а также будет интересен математикам, занимающимся исследованием свойств 

кривых и поверхностей высоких порядков, порождаемых многозначными соответствиями. 

Автор благодарит Константина Леонидовича Панчука за научное руководство исследованиями, по результатам которых был разработан данный атлас, своего 

друга и коллегу Вячеслава Володяевича Рустамяна за постановку вопроса о возможности вращения геометрических объектов относительно кривых осей. 

Связаться с автором можно по электронной почте: beglov_ivan@mail.ru 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

УДК 514.181.22 

ББК 22.151.3 

ISBN 978-5-16-110316-6 (online) 

© Беглов И.А., 2022 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ ......................................................................................................................................................................................... 4 

КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СООТВЕТСТВИЯ «КВАЗИВРАЩЕНИЕ» .......................................... 4 

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СООТВЕТСТВИЯ «КВАЗИВРАЩЕНИЕ» ............................................ 7 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ КВАЗИВРАЩЕНИЯ И ИХ ОТСЕКОВ ПО НАПЕРЁД ЗАДАННЫМ УСЛОВИЯМ .... 10 

ПОВЕРХНОСТИ КВАЗИВРАЩЕНИЯ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ДИЗАЙНЕ .................................................................................. 14  

ПОЯСНЕНИЯ К ПРИВЕДЁННЫМ ИЗОБРАЖЕНИЯМ ПОВЕРХНОСТЕЙ КВАЗИВРАЩЕНИЯ .................................................. 17 

ИЗОБРАЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ...................................................................................................................................................... 19 

ЛИСТИНГИ ............................................................................................................................................................................................... 71 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ......................................................................................................................................................................... 75 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 

 Всѐ, что создаѐтся руками человека, имеет форму. Если продуктом творчества 

является материальный объект, то он имеет геометрическую форму. Создавая 

умозрительно своѐ будущее материальное творение, человек использует доступные 

его пониманию идеальные геометрические объекты. Их разнообразие расширяется 

по мере того, как человек самосовершенствуется в своѐм творчестве. Понять новую 

для своего восприятия форму непросто. Для этого необходимо не только 

задействовать пространственное мышление, но и иметь в достаточной степени 

заинтересованность или, другими словами, нужно быть любопытным.   

С древних времѐн математики аналитически описывали поверхности, которые 

затем использовались в различных производственных сферах деятельности 

человека. Сегодня имеются десятки способов формообразования и сотни 

аналитических поверхностей, которые используют инженеры, архитекторы, 

дизайнеры и художники в своѐм творчестве. Аналитическое описание поверхностей 

используется при написании алгоритмов, с помощью которых создаются 3D-модели 

с необходимыми геометрическими свойствами. 

В данной работе представлено описание геометрического соответствия 

«квазивращение», которое используется для формообразования циклических 

поверхностей. Получаемые геометрические объекты уникальны и не могут быть 

смоделированы каким-либо другим известным способом. Для ознакомления с 

многообразием форм, образованных с помощью соответствия квазивращения, в 

данном 
атласе 
приведены 
плоские 
проекции 
получаемых 
поверхностей. 

Приведѐнные изображения могут использоваться в качестве прототипа в 

архитектурном проектировании на стадии эскизного проекта, а также на этапе 

поиска художественного образа во всех направлениях дизайна.  

 

 

 

КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО 
СООТВЕТСТВИЯ «КВАЗИВРАЩЕНИЕ» 
 

Квазивращение – это четырѐхзначное геометрическое соответствие, при 

котором любой точке пространства R3 относительно заданной в том же 

пространстве коники приводиться в соответствие четыре окружности, содержащие 

исходную точку и лежащие в плоскостях перпендикулярных плоскости коники. 

При этом центры упомянутых окружностей в общем случае не принадлежат конике, 

но лежат в одной с ней плоскости.  

Данный атлас содержит изображения поверхностей, которые образованны 

квазивращением линий, лежащих в плоскости коники. Однако, согласно 

определению квазивращения, в общем случае нет ограничения на положение 

исходной точки или линии в пространстве. 

Основной предпосылкой к описанию данного способа формообразования 

послужило 
некоторое 
сходство 
геометрических 
свойств 
конической, 

цилиндрической, торовой поверхностей и циклиды Дюпена. В работе [3] 

приводятся утверждения, согласно которым существует общий для перечисленных 

выше поверхностей способ формообразования. Этот способ был описан с 

использованием результатов исследований геометрических свойств циклид 

Дюпена, представленных в работах [12-16].  В работах [18,19] приводятся 

конструктивные 
геометрические 
аналогии, на 
основании 
которых 
можно 

утверждать, что вращение является частным случаем квазивращения. В работах 

[19,20] показаны возможности образования поверхностей с помощью соответствия 

квазивращения. Некоторые геометрические свойства получаемых поверхностей 

исследованы в работе [19]. 

Для того чтобы понять, как квазивращение линии порождает поверхность, 

рассмотрим конструктивное построение проекций окружностей, соответствующих 

одной точке. При построении этих проекций используются различные опорные 

геометрические объекты. Принципы, в соответствии с которыми этим объектам 

присваиваются названия, приведены ниже: 

 

1. Исходная точка или множество точек (линия) называются образующими и 

обозначаются 
заглавными 
и 
строчными 
буквами 
латинского 
алфавита, 

соответственно. Коника относительно которой выстраивается соответствие 

называется коникой-осью, а также эллиптической осью, параболической осью или 

гиперболической осью. Окружности, полученные в результате квазивращения 

образующей 
точки, 
называются 
образованными 
или 
образующимися 

окружностями. 

2. Ось квазивращения обозначается строчной буквой латинского алфавита с 

нижним индексом, который указывает на еѐ тип (ie – эллиптическая ось, iр – 

параболическая ось, ig – гиперболическая ось). 

3. Фокусы кривых осей обозначаются заглавными буквами латинского 

алфавита и цифрой (F1, F2).  

4. Центры квазивращения, а также любые другие объекты, обозначаются 

буквой с добавлением цифры, как и в названии фокуса, с помощью которого они 

были найдены (рис. 1). 

5. Если на прямом отрезке, соединяющем центр квазивращения и 

образующую точку, находится фокус, то такой центр называется дальним. Если 

фокуса на этом отрезке нет, то центр – ближний. Ближние центры квазивращения 

обозначаются заглавными буквами латинского алфавита с одним штрихом, дальние 

с двумя штрихами, как показано на рис. 1. 

 

Рис. 1. Положение ближнего и дальнего центров квазивращения относительно 

фокуса кривой и исходной точки 

 

6. Названия всех геометрических объектов, так или иначе связанных с 

данным центром квазивращения, включают ту же цифру и количество штрихов, что 

и сам центр. Например, на рис. 2 показаны образующая точка А, образующаяся 

окружность k2’, ось iе и ближний центр квазивращения S2′ относительно фокуса F2. 

Точка, полученная квазиповоротом А относительно F2 и центра S2’ на угол π, 

обозначена А2′.  

На рис. 2 показано построение окружности k2’, которая аппаратом 

квазивращения приводится в соответствие точке А относительно эллиптической 

оси ie по еѐ фокусу F2. При этом точка А2’ является образом точки А при еѐ 

квазиповороте на угол π. Образованная окружность k2’ задана точками A и A2’, так 

как расстояние между ними равно диаметру этой окружности, а еѐ плоскость 

перпендикулярна плоскости, в которой лежит коника-ось. 

Построение образа A2′ точки А, производится согласно алгоритму: 

1. Выполняется построение прямой А F2. 

2. Определяется ближний центр квазивращения: 

S2′ = А F2∩ ie,  
A ϵ S2′ F2. 

3. Определяется положение точки A2′: 

A2′ ϵ F1 S2′, ׀A2′ S2′׀ = ׀A S2′׀ 

 

Рис. 2. Элементы аппарата квазивращения на примере квазиповорота точки А 

относительно эллиптической оси относительно фокуса F2 по ближней траектории в 

проекции на плоскость оси iе 

Приведѐнный алгоритм универсален и используется для построения окружностей 

k1', k1'', k2', k2'', образующихся при квазивращении относительно любой из коник. 

Построение всех четырѐх окружностей, соответствующих точке A при еѐ 

квазивращении относительно эллипса ie, показано на рис. 3, относительно 

гиперболы ig – на рис.4, относительно параболы ip – на рис.5.  

Отметим, 
что 
аппарат 
квазивращения 
реализуется 
в 
евклидовом 

пространстве, дополненном несобственными элементами. При этом закономерным 

является использование бесконечно удалѐнного фокуса параболы для построений 

проекций образующихся окружностей (рис. 5) 

 

 

Рис. 3. Построение проекций окружностей, образованных квазивращением 

точки А относительно эллипса ie 

 

Рис. 4. Построение проекций окружностей, образованных квазивращением 

точки А относительно гиперболы ig 

Как показано на рис. 5, окружность k2’’ вырождается в две прямые, 

перпендикулярные плоскости параболы. Одна из них проходит через образующую 

точку А, а вторая через точку А2’’. Точка А2’’ при этом всегда принадлежит оси 

параболы и удалена от еѐ вершины на то же расстояние d, что и точка А. 

 

Рис. 5 Построение проекций окружностей, образованных квазивращением 

точки А относительно параболы ip 

Если образующая точка лежит на оси параболы (рис.6), то при квазивращении 

она порождает плоскость, состоящую из множества прямых, перпендикулярных 

плоскости параболы и удалѐнных от еѐ вершины на то же расстояние d, что и точка 

A. Отметим, что расстояние d в приведѐнных случаях откладывается вдоль оси 

параболы 

 

Рис.6. Порождение плоскости квазивращением точки А, лежащей на оси параболы 

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО 
СООТВЕТСТВИЯ «КВАЗИВРАЩЕНИЕ» 

 

Аналитическое описание поверхностей квазивращения основано на том, что 

данные поверхности являются циклическими, то есть образованны семейством 

окружностей. Окружность в трѐхмерном пространстве определяется величиной еѐ 

радиуса, положением еѐ центра, а также положением плоскости, которой она 

принадлежит. Поместим криволинейную ось квазивращения в плоскость XY. Тогда 

из конструктивного описания исследуемого соответствия следует, что плоскости 

окружностей, формообразующих поверхность квазивращения, перпендикулярны 

плоскости XY, и центры этих окружностей принадлежат плоскости XY. Запишем 

параметрические уравнения, описывающие любую из этих окружностей.  

{

   (      )        
   (      )        
                                    

                                            ( ) 

В уравнениях (1) угол   является параметром, который определяет положение 

текущей точки на образованной окружности. Величины радиуса r и угла   зависят 

от положения точки L (  ,   ), принадлежащей образующей линии l, а также от 

формы и положения оси квазивращения. Зависимость координат х и y от углов   и 

  в уравнениях (1) иллюстрируется на рис. 7. 

 

Рис. 7. Проекция окружности с центром в точке С и радиусом r на плоскости XY 

Значение координаты z не зависит от величины угла  , так как плоскость 

описываемой окружности параллельна аппликате. 

Для того чтобы параметрические уравнения (1) описывали не одну 

окружность, а их семейство, величины радиуса r и угла   должны определятся 

выражениями, в которых параметры оси имеют значения констант, а положение 

точки L (  ,   ) является переменным и соответствует второму параметру уравнений 

(1). Например, если применить окружность в качестве образующей кривой, то 

значения    и    будут удовлетворять уравнениям: 

{              
                                                                       ( ) 

где угол τ является параметром, который определяет текущую точку (L) на 

образующей окружности.  

 

Рис. 8. Конструктивная схема аппарата квазивращения точки L вокруг 

гиперболической оси ig относительно фокуса F2 

Рассмотрим квазивращение окружности, лежащей в плоскости XY и заданной 

параметрическими уравнениями (2), относительно гиперболической оси. Гипербола 

задана величиной большой полуоси a и расстоянием с от фокуса до начала 

координат, еѐ асимптоты пересекаются в точке О (0,0,0) и располагаются 

симметрично относительно оси ОХ. На рис. 8 изображена плоскость XY и лежащие 

в ней гипербола ig, точка L, и проекции окружностей k2' и k2'', которые являются 

результатом квазивращения точки L вокруг гиперболической оси относительно 

фокуса F2. Величина угла ( ) наклона плоскости квазивращения к оси ОX и 

величина радиуса (׀L C2'׀) квазиповорота зависят от положения точки L(  ,   ). 

На рис. 8 применѐн описанный ранее порядок построений центра 

квазивращения S2' и S2'' и проекции окружностей k2' и k2''. Далее рассмотрено 

квазивращение только относительно ближнего центра квазивращения S2' с 

образованием окружности k2'. Для центров S2'', S1' и S1'' применимы аналогичные 

рассуждения.  

 

Рис. 9. Схема конструктивной взаимосвязи величин r и   и положения точек 

S2', L, F1 и F2 

Для упрощения восприятия на рис. 9 показаны только геометрические 

объекты, входящие в аппарат квазивращения точки L относительно S2'. 

Гиперболическая ось не показана. 

Для того, чтобы параметрические уравнения (1) описывали окружность k2' 

необходимо, чтобы значения величин r и   рассчитывались по формулам, 

отражающим конструктивную взаимосвязь, показанную на рис. 9. Тогда формула 

расчѐта радиуса r примет вид: 

  (   )    (   

 
)                                              ( ) 

где v - длина отрезка F2 S2', а u – длина отрезка F2 L. Углы   и   обозначены на 

рис. 9. Величина v — это расстояние от фокуса до точки, принадлежащей 

гиперболе, которое рассчитывается по известной формуле [4]: 

  
 

                                                           ( ) 

где фокальный параметр p и эксцентриситет   могут быть выражены через 

величины a и c: 

    

     
   

                                               ( ) 

Величина угла   зависит только от положения точки L и определяется по формуле: 

        (
    

        (  ))       (  )                            ( ) 

В формуле (6) функция        (  )  позволяет получать отрицательные 

значения угла   при отрицательных значениях координаты   . Величина отрезка u 

рассчитывается по формуле: 

  √  

   (    )                                                      ( ) 

Угол   рассчитывается по формуле: 

  (      (        

    
))        (  )                              ( ) 

В формуле (8) функция        (  )  меняет знак угла   в соответствии со 

знаком координаты   . Угол наклона плоскости окружности к оси ОХ зависит от 

величин углов   и   согласно формуле: 

        

 
                                                   ( ) 

Если подставить приведенные формулы (3) - (9) в параметрические уравнения 

(1), то получим систему уравнений, которая описывает один лист поверхности, 

полученной в результате квазивращения окружности вокруг гиперболической оси. 

После 
замены 
символов 
   
и 
    
на 
соответствующие 
выражения 
из 

параметрических уравнений (2), получим два параметра в правых частях итоговых 

параметрических уравнений – τ и β. Такая запись итоговых параметрических 

уравнений очень громоздкая и не имеет смысла в данном описании. Схема расчѐта 

значения r и θ представлена на рис.10. 

Рис.10. Схема расчѐта значений радиуса r окружности и угла θ наклона еѐ 

плоскости к плоскости XY при конкретном значении параметра τ 

 

Алгоритмы построения поверхностей квазивращения с эллиптической и 

параболической осью вращения разработаны на основе рассуждений, аналогичных 

тем, что приведены выше.  

Приведѐнных формул достаточно для записи алгоритма построения 

трѐхмерного графика целевой поверхности средствами системы компьютерной 

алгебры.  

На рис. 11 приведена схема алгоритма, реализованного в системе 

компьютерной алгебры «Maple». Алгоритм позволяет получать 3D-модели листов 

поверхностей квазивращения окружности с радиусом Rl и центром в точке О (x0, y0) 

относительно гиперболы c малой полуосью a и фокусным расстоянием с. 

Анализировать форму листов поверхности можно как по отдельности, так и в 

составе модели единой четырѐхлистной поверхности. В алгоритме учтѐн частный 

случай, при котором образующая кривая проходит через фокус криволинейной оси. 

В этом случае квазивращение точки А, совпадающей с фокусом коники образует не 

четыре окружности, а бесконечное их число, так как прямая АF может быть 

построена в любом направлении. Полученный таким образом лист является 

циклидой Дюпена с горловой окружностью нулевого радиуса в исходной точке А.  

 

 

 

Рис. 11. Схема алгоритма создания 3D-моделей поверхностей квазивращения. 

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ КВАЗИВРАЩЕНИЯ И 

ИХ ОТСЕКОВ ПО НАПЕРЁД ЗАДАННЫМ УСЛОВИЯМ 

 

Поверхности квазивращения или их отсеки могут быть использованы при 

решении задач проектирования различных форм. При этом инженер должен иметь 

возможность моделировать поверхность определѐнного типа так, чтобы некоторые 

еѐ геометрические параметры строго соответствовали заранее заданным. Ниже 

описаны общие подходы к такому проектированию, разобраны примеры решения 

конкретных задач средствами системы компьютерной алгебры.  

Первым этапом моделирования целевого геометрического объекта является 

создание 3D-модели поверхности, вторым – отсечение, при необходимости, еѐ 

части. При работе с поверхностями с конечной площадью, то есть с замкнутыми, 

второй этап может не потребоваться, так как целевым объектом может быть тело, 

ограниченное одним из листов поверхности квазивращения. Например, в работе 

[21] решается задача моделирования тела с заданными масс-центровочными 

свойствами, ограниченного одним листом поверхности квазивращения. При 

необходимости возможно решить задачу отделения отсека поверхности с 

заданными параметрами его границы. 

Рассмотрим имеющиеся возможности реализации первого этапа на примере 

листа поверхности, изображѐнного на рис. 12. Особенностью данной поверхности 

является 
положение 
центра 
образующей 
окружности 
в 
центре 
эллипса. 

Определитель такой поверхности имеет вид: 

 ( (  )   (   ))[          ( )]                                       (  ) 

где QRTie (Q-quasi, R-rotation, T-transformation) – обозначение аппарата 

квазивращения относительно эллиптической оси ie с полуосями a и b, l – 

окружность с радиусом Rl. 

Для получения 3D-модели поверхности в исходные данные разработанного 

алгоритма необходимо внести содержание геометрической части определителя 

поверхности.  

При этом параметры эллиптической оси участвуют в расчѐтах, но на самой 

модели никак не отражены. То есть, определение параметров оси квазивращения по 

имеющейся 3D-модели поверхности квазивращения– это отдельная задача. Однако 

существует возможность измерения ряда параметров 3D-модели, которые не 

отображены в определителе, но могут иметь значение при проектировании целевых 

форм. Рассмотрим такие параметры на примере (рис. 12). 

 

Рис. 12. Три ортогональные проекции и изометрия одного листа поверхности 

квазивращения и некоторые его параметры 

В геометрической части определителя поверхности присутствует только 

параметр d1 (d1=2Rl). Другие размеры формы поверхности, указанные на рис. 12, 

никак не отражены в определителе поверхности. Однако их можно менять при