Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Основы квантовой теории твердого тела

Покупка
Артикул: 735684.02.99
Цель этой книги — служить пособием для студентов, аспирантов и преподавателей, изучающих и ведущих курс теории твердого тела. В книге изложены основы современной квантовой теории свойств нормальных и сверхпроводящих металлов, диэлектриков, полупроводников и происходящих в них явлений. Описаны принципы использования ряда этих свойств для разработки измерительных и других приборов электроники. Книга может быть полезной экспериментаторам, работающим в области физики твердого тела, поскольку изложение материала ведется на уровне, не включающем изощренные теоретические методы типа диаграммной техники и функций Грина. Предполагается, что читатель знаком с основами квантовой механики и статистики в объеме обычных университетских курсов. Первое издание учебного пособия быстро завоевало известность и широко используется в учебном процессе ведущих российских классических и технических университетов.
Кочелаев, Б. И. Основы квантовой теории твердого тела : учебное пособие / Б. И. Кочелаев. - 2-е изд. - Долгопрудный : Интеллект, 2021. - 288 с. - ISBN 978-5-91559-288-8. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1870020 (дата обращения: 11.12.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Б.И. КОЧЕЛАЕВ 
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ  
ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Под редакцией Ю.Н. Прошина
Второе издание
2021


Á.È. Êî÷åëàåâ
Îñíîâû êâàíòîâîé òåîðèè òâåðäîãî òåëà: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
Á.È. Êî÷åëàåâ – 2-å èçä. – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé
Äîì «Èíòåëëåêò», 2021. – 288 ñ.
ISBN 978-5-91559-288-8
Öåëü ýòîé êíèãè – ñëóæèòü ïîñîáèåì äëÿ ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ
è ïðåïîäàâàòåëåé, èçó÷àþùèõ è âåäóùèõ êóðñ òåîðèè òâåðäîãî òåëà.
 êíèãå èçëîæåíû îñíîâû ñîâðåìåííîé êâàíòîâîé òåîðèè
ñâîéñòâ íîðìàëüíûõ è ñâåðõïðîâîäÿùèõ ìåòàëëîâ, äèýëåêòðèêîâ,
ïîëóïðîâîäíèêîâ è ïðîèñõîäÿùèõ â íèõ ÿâëåíèé.
Îïèñàíû ïðèíöèïû èñïîëüçîâàíèÿ ðÿäà ýòèõ ñâîéñòâ äëÿ ðàçðàáîòêè èçìåðèòåëüíûõ è äðóãèõ ïðèáîðîâ ýëåêòðîíèêè.
Êíèãà ìîæåò áûòü ïîëåçíîé ýêñïåðèìåíòàòîðàì, ðàáîòàþùèì
â îáëàñòè ôèçèêè òâåðäîãî òåëà, ïîñêîëüêó èçëîæåíèå ìàòåðèàëà
âåäåòñÿ íà óðîâíå, íå âêëþ÷àþùåì èçîùðåííûå òåîðåòè÷åñêèå
ìåòîäû òèïà äèàãðàììíîé òåõíèêè è ôóíêöèé Ãðèíà.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ îñíîâàìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè è ñòàòèñòèêè â îáúåìå îáû÷íûõ óíèâåðñèòåòñêèõ êóðñîâ.
Ïåðâîå èçäàíèå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ áûñòðî çàâîåâàëî èçâåñòíîñòü
è øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ó÷åáíîì ïðîöåññå âåäóùèõ ðîññèéñêèõ
êëàññè÷åñêèõ è òåõíè÷åñêèõ óíèâåðñèòåòîâ.
ISBN 978-5-91559-288-8
© 2019, Á.È. Êî÷åëàåâ
© 2021, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................................................................................................... 7
ГЛАВА 1. ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
§1.1. Введение ............................................................................................... 9
§1.2. Теорема Блоха .................................................................................... 11
§1.3. Общие свойства функций Блоха ....................................................... 13
§1.4. Зонная структура уровней энергии 
................................................... 15
§1.5. Приближение слабой связи ............................................................... 16
§1.6. Приближение сильной связи ............................................................. 19
§1.7. Скорость и ускорение электрона в кристалле ................................. 23
§1.8. Статистика электронов, поверхность Ферми 
................................... 25
§1.9. Зависимость химического потенциала от температуры ................. 27
§1.10. Теплоемкость электронов проводимости 
....................................... 30
§1.11. Типы межатомных связей в твердых телах ................................... 32
§1.12. Зонная структура в некристаллических телах ............................... 33
Литература к главе ...................................................................................... 34
ГЛАВА 2. КИНЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
§2.1. Кинетическое уравнение ................................................................... 35
§2.2. Электропроводность .......................................................................... 37
§2.3. Теплопроводность .............................................................................. 40
§2.4. Эффект Холла 
..................................................................................... 42
§2.5. Магнетосопротивление в двухзонной модели 
................................. 44
§2.6. Ферми-жидкость Ландау ................................................................... 45
Литература к главе ...................................................................................... 50
ГЛАВА 3. ПАРАМАГНЕТИЗМ И ДИАМАГНЕТИЗМ МЕТАЛЛОВ
§3.1. Спиновая восприимчивость Паули 
................................................... 51
§3.2. Квантование орбитального движения электронов 
проводимости в магнитном поле ...................................................... 52
§3.3. Диамагнетизм Ландау ........................................................................ 55
§3.4. Эффект де Гааза – ван Альфена 
........................................................ 59
Литература к главе ...................................................................................... 62


Оглавление
4
ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА МЕТАЛЛОВ
§4.1. Скин-эффект 
........................................................................................ 
63
§4.2. Распространение электромагнитных волн в присутствии 
постоянного магнитного поля ........................................................... 
66
§4.3. Циклотронный резонанс .................................................................... 
68
§4.4. Резонанс на локализованных спинах в металлах 
............................. 
69
§4.5. Спиновый резонанс электронов проводимости ............................... 
74
§4.6. Диэлектрическая проницаемость металлов 
...................................... 
78
§4.7. Квантовая теория диэлектрической проницаемости ....................... 
79
§4.8. Плазменные колебания ...................................................................... 
82
§4.9. Экранирование заряженной примеси 
................................................ 
85
§4.10. Эффект Кондо ................................................................................... 
87
Литература к главе 
....................................................................................... 
91
ГЛАВА 5. МАГНИТНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ
§5.1. Обменное взаимодействие Гайзенберга ........................................... 
92
§5.2. Молекулярное поле в приближении хаотических фаз .................... 
94
§5.3. Простые примеры ферро- и антиферромагнетиков ......................... 
96
§5.4. Спиновая корреляционная длина ...................................................... 
98
§5.5. Спиновые волны в ферромагнетике 
................................................ 
100
§5.6. Намагниченность ферромагнетика ................................................. 
104
§5.7. Спиновые волны в антиферромагнетике ........................................ 
105
§5.8. Намагниченность антиферромагнетика 
.......................................... 
108
§5.9. Косвенное обменное взаимодействие локализованных  
спинов через электроны проводимости 
.......................................... 
110
Литература к главе 
..................................................................................... 
115
ГЛАВА 6. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
§6.1. Колебания одноатомной цепочки ................................................... 
116
§6.2. Колебания двухатомной линейной цепочки .................................. 
119
§6.3. Колебания трехмерной решетки 
...................................................... 
122
§6.4. Свойства нормальных координат 
.................................................... 
125
§6.5. Колебания кристаллической решетки ионных кристаллов .......... 
128
§6.6. Квантовая теория колебаний кристаллической решетки .............. 
133
§6.7. Теплоемкость решетки ..................................................................... 
134


Оглавление
ГЛАВА 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФОНОНОВ С ФОТОНАМИ, НЕЙТРОНАМИ И 
МЕЖДУ СОБОЙ
§7.1. Электромагнитные волны в ионном кристалле 
............................. 138
§7.2. Квантование электромагнитного поля в  
диэлектрической среде .................................................................... 141
§7.3. Квантовая теория поляритонов 
....................................................... 145
§7.4. Рассеяние нейтронов на колебаниях решетки ............................... 151
§7.5. Рассеяние рентгеновских лучей и света 
......................................... 157
§7.6. Фононная теплопроводность 
........................................................... 158
§7.7. Тепловое расширение твердых тел 
................................................. 162
Литература к главе .................................................................................... 164
ГЛАВА 8. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
§8.1. Поляроны в ковалентных кристаллах ............................................ 165
§8.2. Поляроны в ионных кристаллах ..................................................... 168
§8.3. Электрон-фононное взаимодействие в металлах .......................... 171
§8.4. Вклад фононов в электросопротивление металлов 
....................... 173
§8.5. Взаимодействие электронов через поле фононов ......................... 176
ГЛАВА 9. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
§9.1. Основные свойства сверхпроводников .......................................... 179
§9.2. Пара Купера ...................................................................................... 182
§9.3. Элементарные возбуждения в сверхпроводнике 
........................... 185
§9.4. Зависимость энергетической щели от температуры ..................... 189
§9.5. Релаксация ядерного спина ............................................................. 192
Литература к главе .................................................................................... 198
ГЛАВА 10. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДНИКОВ
§10.1. Сверхпроводник в магнитном поле .............................................. 200
§10.2. Феноменологическая теория Гинзбурга и Ландау ...................... 201
§10.3. Вывод уравнений Гинзбурга-Ландау ........................................... 204
§10.4. Два масштаба длины в сверхпроводнике и эффект близости .... 208
§10.5. Квантование магнитного потока 
................................................... 210
§10.6. Два рода сверхпроводников .......................................................... 213
§10.7. Критические магнитные поля сверхпроводников 2-го рода ...... 218


Оглавление
6
§10.8. Эффекты Джозефсона .................................................................... 
220
§10.9. Сверхпроводящие квантовые интерферометры 
........................... 
224
§10.10. Высокотемпературная сверхпроводимость (ВТСП) 
.................. 
226
§10.11. Модели в теории сильно коррелированных систем .................. 
231
Литература к главе 
..................................................................................... 
234
ГЛАВА 11. ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§11.1. Собственные полупроводники ...................................................... 
236
§11.2. Доноры и акцепторы в полупроводниках 
..................................... 
239
§11.3. Локализованные состояния вблизи примеси 
................................ 
241
§11.4. Населенность примесных уровней 
................................................ 
246
§11.5. Равновесная концентрация носителей тока в  
примесном полупроводнике .......................................................... 
248
§11.6. Равновесный p–n переход ............................................................. 
251
§11.7. Выпрямитель на p–n переходе ..................................................... 
257
§11.8. Транзистор на двух p–n переходах .............................................. 
260
§11.9. Применения полупроводников в оптоэлектронике ..................... 
262
§11.10. Лазер на p–n переходе 
................................................................. 
265
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Основные формулы представления вторичного квантования .............. 
274
Б. Свободная энергия фононов кристалла 
............................................... 
276
В. Операторы Хаббарда и вывод гамильтониана t–J модели ............... 
278
Г. Локальные квазичастицы в виде кластеров CuO4 в оксидах меди 
.... 
283
Литература к приложениям ...................................................................... 
287
 
 


Предисловие 
Физика твердого тела является наукой о материалах, которые используются как для строительства, создания различных машин и предметов 
обихода, так и для конструирования всевозможных электронных 
устройств и приборов. Если в первом случае важно изучить макроскопические свойства твердых тел, не вникая в микроскопическую природу 
этих свойств, то во втором случае необходимо понимать происходящие 
процессы в твердом теле на атомном и электронном уровне. Предлагаемое 
учебное пособие ориентировано на студентов, решивших связать свое 
будущее с этим вторым направлением физики твердого тела.  
Построение микроскопической теории твердого тела началось после 
открытия Дж. Томсоном электрона в 1897 г. Вскоре после этого открытия 
П.К. Друде разработал теорию электро- и теплопроводности металлов на 
основе кинетической теории газов. Он предположил, что электронный газ 
в металле движется по законам классической механики в поле неподвижных положительно заряженных тяжелых ионов. Сопротивление возникает 
вследствие столкновений электронов с этими ионами. Помимо электропроводности эта теория позволила объяснить на качественном уровне ряд 
других свойств металлов. Однако модель Друде не могла объяснить 
некоторые эксперименты и столкнулась с рядом трудностей принципиального характера. Кроме того, сама природа существования твердых тел 
оставалась непонятой. В 1912 г. была открыта дифракция рентгеновских 
лучей на кристаллах, что подтверждало гипотезу о регулярном расположении атомов в этих твердых телах. Обнаружение дифракции пучка 
электронов на кристалле никеля в 1927 г. доказало гипотезу Де Бройля 
(1924 г.) о волновой природе электронов. Таким образом, появились 
экспериментальные свидетельства поведения электронов в твердом теле 
не только как частиц, но и как волн. Объяснить основные свойства твердых тел и происходящих в них явлений, обусловленных взаимодействием 
электронов и ионов как между собой, так и с внешними электрическими и 
магнитными полями, удалось лишь на основе квантовой теории твердых 
тел. Книга охватывает основные темы этой теории: электронные энерге
Предисловие
8
тические зоны и элементарные возбуждения электронов в твердом теле; 
колебания кристаллической решетки и взаимодействия фононов с другими 
элементарными возбуждениями и внешними полями; явления электрической и тепловой проводимости, магнетизма и спинового резонанса, микроскопическая и феноменологическая теория сверхпроводимости; физика 
полупроводников и принципы работы электронных приборов на их основе. 
Эта книга написана на основе курса лекций, читавшегося автором в 
течение ряда лет для студентов физического факультета (ныне Института 
физики) Казанского университета. Для освоения изложенного материала 
необходимо знание основ квантовой механики, электродинамики и статистической физики на уровне обычных университетских курсов. Автор 
старался избегать использования формул на основе заклинаний типа «как 
легко показать» и делал их выводы по возможности подробно, как это и 
делалось на лекциях. Вместе с этим, стремлением автора было подвести 
студента к такому уровню, чтобы он мог читать и понимать интересующие 
разделы монографий и статьи в научных журналах. 
Автор глубоко признателен своим коллегам профессору Юрию Николаевичу Прошину и доценту Александру Сергеевичу Кутузову за творческую работу по подготовке макета книги, сопровождавшуюся исправлением допущенных оплошностей, а также студентам Ольге Борисовой, 
Даниилу Кочергину, Константину Макушину за изготовление рисунков по 
эскизам автора. Автор также благодарен профессору В.А. Жихареву, 
доценту А.В. Дуглаву, студенту Ф.М. Сираеву и другим читателям предварительной версии книги за присланные правки и замечания. 
 


ГЛАВА 1. ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 
§1.1. Введение 
Построение квантовой теории твердых тел существенно опирается на 
симметрию их кристаллических структур. Стабильные структуры большинства твердых тел образуют регулярные решетки из атомов, обладающие трансляционной симметрией. Для описания такой решетки удобно 
ввести понятие элементарной ячейки, которая служит «кирпичиком» для 
построения всей кристаллической решетки. Форму элементарной ячейки 
можно задать тремя некомпланарными базисными векторами 
,
,
.
1
2
3
a
a
a
 
Элементарная ячейка может содержать несколько различных атомов. 
Кристаллическая решетка, построенная из элементарных ячеек, образуется набором векторов решетки 
:
n
R
 
 
1 1
2 2
3 3
n
n
n
n



R
a
a
a , 
(1.1) 
где 
,
,
1
2
3
n
n
n  – целые числа (положительные, отрицательные или нуль). 
Решетка, образованная этими векторами, носит название решетки Браве. 
Объем элементарной ячейки решетки Браве равен 
.
0
1
2
3
V
 
¯

q
¢
±
a
a
a
 Положение s-го атома внутри элементарной ячейки будем определять вектором 
:
s
d
 
 
1 1
2 2
3 3
s
s
s
s
d
d
d



d
e
e
e , 
(1.2) 
где 
,
,
1
2
3
e
e
e  – единичные векторы, направленные вдоль соответствующих базисных векторов. Положение каждого атома в кристаллической 
решетке будет определяться суммой векторов 
.
n
s

R
d  В простейшем 
случае твердого тела, состоящего из одинаковых атомов и имеющего кубическую симметрию, элементарная ячейка содержит один атом. Ее форма 
может быть задана тремя взаимно перпендикулярными базисными векторами одинаковой длины, равной расстоянию между ближайшими атомами. 
Важную роль в теории играет также понятие обратной решетки, образуемой совокупностью векторов ,
g  удовлетворяющих уравнению 
 
.
1
n
i
e

gR
 
(1.3) 


Глава 1. Электрон в периодическом поле
10
Элементарная ячейка обратной решетки определяется обычно с помощью 
базисных векторов решетки Браве: 
a
a
a
a
a
a
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 
(1.4) 
 
,
,
.
2
3
3
1
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
2
2
Q
Q
Q
 
¯
 
¯
 
¯
q
q
q
¢
±
¢
±
¢
±



 
¯
 
¯
 
¯
q
q
q
¢
±
¢
±
¢
±
Отметим, что в знаменателе этих формул стоит величина, равная объему 
элементарной ячейки решетки Браве 
.
0
V
 Очевидно, что каждый конкретный вектор обратной решетки можно записать в виде  
 
1 1
2 2
3 3
g
g
g



g
b
b
b , 
(1.5) 
где 
,
,
1
2
3
g
g
g  – целые числа (положительные, отрицательные или нуль). 
Объем элементарной ячейки этой решетки обратно пропорционален 
объему элементарной ячейки решетки Браве: 
 
3
1
2
3
0
(2 )
V
Q
 
¯
q

¢
±
b
b
b
. 
(1.6) 
Определение элементарной ячейки как решетки Браве, так и обратной 
решетки является неоднозначным. В дальнейшем мы будем также использовать элементарную ячейку Вигнера-Зейтца (рис. 1.1), в которой узел 
решетки находится в центре ячейки. Для построения ячейки ВигнераЗейтца нужно провести прямые, соединяющие центральный узел со всеми 
соседними узлами решетки. Затем нужно построить плоскости, перпенди2
a  
1
a   
Рис. 1.1. Ячейка Вигнера-Зейтца в случае решетки Браве с элементарной
ячейкой в виде ромба. Она покрывает ту же площадь, что и ромб.