Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Элементы механики жидкости и газа в курсе общей физики

Покупка
Артикул: 779252.01.99
Книга посвящена гидрогазодинамике и рассчитана на студентов младших курсов университетов и учащихся старших классов с углублённой подготовкой по физике и математике. Что-то полезное для себя в книге могут найти школьные учителя физики и преподаватели вузов. В отличие от многих популярных книг, носящих по преимуществу описательный характер, эта книга ближе к учебнику, втом отношении, что в ней важное место уделено аналитическому исследованию гидродинамических явлений. Поскольку от читателей не требуется знание сложных разделов математики, круг рассматриваемых в книге задач ограничен такими, для решения которых достаточно знания основ дифференциального и интегрального исчисления. Тем не менее содержание книги охватывает широкий круг задач от гидро- и аэростатики до ударных волн и сверхзвуковых потоков. Вопросы механики сплошных сред как в курсе физики средних школ, так и в курсе общей физики вузов занимают очень скромное место, не соответствующее их реальной роли в технике и явлениях природы. Попыткой исправить такое положение гидродинамики в современном физическом образовании, заинтересовать ею учащихся и преподавателей, является эта книга. Читатели книги, незнакомые с гидродинамикой, смогут узнать для себя немало интересного, посмотреть на знакомые явления другими глазами, а может быть и всерьёз заинтересоваться этой наукой.
Лисицын, С. Г. Элементы механики жидкости и газа в курсе общей физики : учебное пособие / С. Г. Лисицын. - Долгопрудный : Интеллект, 2021. - 240 с. - ISBN 978-5-91559-291-8. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1870018 (дата обращения: 15.07.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ЛИСИЦЫН С.Г.

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ 
ЖИДКОСТИ И ГАЗА В КУРСЕ 
ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Ñ.Ã. Ëèñèöûí
Ýëåìåíòû ìåõàíèêè æèäêîñòè è ãàçà â êóðñå îáùåé ôèçèêè:
Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Ñ.Ã. Ëèñèöûí – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2021. – 240 ñ.

ISBN 978-5-91559-291-8

Êíèãà ïîñâÿùåíà ãèäðîãàçîäèíàìèêå è ðàññ÷èòàíà íà ñòóäåíòîâ
ìëàäøèõ êóðñîâ óíèâåðñèòåòîâ è ó÷àùèõñÿ ñòàðøèõ êëàññîâ ñ óãëóáë¸ííîé ïîäãîòîâêîé ïî ôèçèêå è ìàòåìàòèêå. ×òî-òî ïîëåçíîå
äëÿ ñåáÿ â êíèãå ìîãóò íàéòè øêîëüíûå ó÷èòåëÿ ôèçèêè è ïðåïîäàâàòåëè âóçîâ.  îòëè÷èå îò ìíîãèõ ïîïóëÿðíûõ êíèã, íîñÿùèõ
ïî ïðåèìóùåñòâó îïèñàòåëüíûé õàðàêòåð, ýòà êíèãà áëèæå ê ó÷åáíèêó, â òîì îòíîøåíèè, ÷òî â íåé âàæíîå ìåñòî óäåëåíî àíàëèòè÷åñêîìó èññëåäîâàíèþ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ïîñêîëüêó îò
÷èòàòåëåé íå òðåáóåòñÿ çíàíèå ñëîæíûõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè, êðóã
ðàññìàòðèâàåìûõ â êíèãå çàäà÷ îãðàíè÷åí òàêèìè, äëÿ ðåøåíèÿ
êîòîðûõ äîñòàòî÷íî çíàíèÿ îñíîâ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Òåì íå ìåíåå ñîäåðæàíèå êíèãè îõâàòûâàåò
øèðîêèé êðóã çàäà÷ îò ãèäðî- è àýðîñòàòèêè äî óäàðíûõ âîëí è
ñâåðõçâóêîâûõ ïîòîêîâ.
Âîïðîñû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä êàê â êóðñå ôèçèêè ñðåäíèõ
øêîë, òàê è â êóðñå îáùåé ôèçèêè âóçîâ çàíèìàþò î÷åíü ñêðîìíîå ìåñòî, íå ñîîòâåòñòâóþùåå èõ ðåàëüíîé ðîëè â òåõíèêå è ÿâëåíèÿõ ïðèðîäû. Ïîïûòêîé èñïðàâèòü òàêîå ïîëîæåíèå ãèäðîäèíàìèêè â ñîâðåìåííîì ôèçè÷åñêîì îáðàçîâàíèè, çàèíòåðåñîâàòü
åþ ó÷àùèõñÿ è ïðåïîäàâàòåëåé, ÿâëÿåòñÿ ýòà êíèãà.
×èòàòåëè êíèãè, íåçíàêîìûå ñ ãèäðîäèíàìèêîé, ñìîãóò óçíàòü
äëÿ ñåáÿ íåìàëî èíòåðåñíîãî, ïîñìîòðåòü íà çíàêîìûå ÿâëåíèÿ
äðóãèìè ãëàçàìè, à ìîæåò áûòü è âñåðü¸ç çàèíòåðåñîâàòüñÿ ýòîé
íàóêîé.

© 2021, Ñ.Ã. Ëèñèöûí
© 2021, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-291-8

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
6

ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
8

Общие свойства жидкостей и газов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
8
Силы в жидкости и газе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
9
Сила давления на произвольную поверхность. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
11
Клапан. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
12
Варим сосиску . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
12
Удивительный воздушный шарик. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
13
Равновесие жидкости, находящейся в поле тяжести . . . . . . . . . . . . . .  
13
Силы давления на стенки аквариума  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
16
Как появляется тяга в трубе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
16
Почему взлетает аэростат?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
17
Вечные двигатели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
19
Фонтан Герона Александрийского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
20
Зачем нужен балласт на воздушных шарах?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
21
Сифон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
22
Устойчивость плавающих тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
23

КАК РАБОТАЕТ АВТОМОБИЛЬНОЕ КОЛЕСО? . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
26

Сила сопротивления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
30
Движение по рыхлому грунту и бездорожью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
32
Воздушная подушка. Транспорт на воздушной подушке. . . . . . . . . . .  
35

АТМОСФЕРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
37

Изотермическая атмосфера  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
37
Атмосферы планет на больших высотах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
40
Устойчивость атмосферы по отношению к конвекции . . . . . . . . . . . .  
42
Равновесие влажной атмосферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
44
Местные ветры: бриз, фён, бора, стоковые ветры. . . . . . . . . . . . . . . .  
47

ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
51

Уравнение неразрывности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
53
Уравнение Эйлера  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
57
Жидкость во вращающемся сосуде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
58
Граничные условия на поверхности жидкости  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
59

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
60
Давление в покоящейся жидкости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
61
Истечение из открытого сосуда под действием силы тяжести . . . . . . .  
61
Истечение из открытого сосуда через вертикальную трубу . . . . . . . . .  
62
Скорость течения жидкости в сифоне  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
63
Истечение из сосуда под действием внутреннего давления . . . . . . . . .  
64
Измерение скорости потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
65
Вытекание вязкой жидкости из сосуда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
67
Дополнительный насос в длинной трубе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
68
Истечение газа из закрытого сосуда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
70
Когда газ можно считать несжимаемым?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
71
Скорость ветра во время боры  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
72
Печная труба  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
73
Заполнение пузырька . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
73
Кавитация  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
77
Прочность жидкости на разрыв  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
78
Стенка на стенку  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
80
Движение жидкости в спиральной камере  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
81
Чаинки в чашке с чаем  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
83
Реакция потока жидкости на стенки трубы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
83
Реакция вытекающей струи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
85
Поток в трубе переменного сечения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
85
Парашют  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
86
Внезапное расширение трубы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
87
Сжатие струи, вытекающей из сосуда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
88
Движение жидкостей в каналах 
с переменным поперечным сечением  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
89
Измерение расхода жидкости в трубе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
91

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
94
Движение вблизи критической точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
101
Потенциальное течение и уравнение Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . .  
103
Источники и стоки, дублеты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
106
Шар в потоке идеальной жидкости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
109
Парадокс Даламбера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
111
Присоединённая масса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
112
Сохранение циркуляции скорости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
113

ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
120
Формула Пуазейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
122
Течение вязкой жидкости по наклонной плоскости . . . . . . . . . . . . . .  
124
Движение жидкости между вращающимися цилиндрами  . . . . . . . . . .  
126
Колебания поверхности жидкости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
129
Метод подобия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
131
Сила сопротивления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
131
Формула Стокса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
133
Стенка на стенку в вязкой жидкости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
137
Пограничный слой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
140

4
Оглавление

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
146
Сила лобового сопротивления при турбулентном обтекании  . . . . . . .  
150
Сила тяги авиационных двигателей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
151
Висение вертолёта в воздухе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
152
Подъёмная сила крыла самолёта. Формула Жуковского . . . . . . . . . . .  
152
Подъёмная сила крыла в виде плоской пластинки . . . . . . . . . . . . . . .  
158
Эффект Магнуса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
159

ВОЛНЫ НА ВОДЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
162
Отражение и преломление плоских волн  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
165
Гравитационные волны  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
167
Длинные гравитационные волны  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
171
Капиллярные волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
173
Групповая скорость  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
177
Корабельные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
178
Энергия волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
179
Перенос энергии волнами  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
181
Волновое сопротивление  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
183
Движение воды в открытом русле  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
183
Волны на поверхности ручья  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
186

ЗВУК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
187
Отражение звука  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
190
Гидравлический удар  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
192
Столкновение стержня со стенкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
193
Столкновение двух стержней  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
194
Движение газа по трубе переменного сечения  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
195

УДАРНЫЕ ВОЛНЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
199
Ударная адиабата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
203

КУМУЛЯЦИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
211
Столкновение струи со стенкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
211
Кумулятивный эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
213
Глиссирование плоской пластинки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
218
Можно ли бежать по воде?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
220

ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
222

Движение газа в трубе постоянного сечения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
222
Обтекание угла дозвуковым потоком газа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
228
Обтекание угла сверхзвуковым потоком газа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
230
Подъёмная сила плоского крыла в сверхзвуковом потоке. . . . . . . . . .  
233
Ещё немного о крыльях самолётов   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
234
Некоторые формулы термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
235

ПОСЛЕСЛОВИЕ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
238

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
239

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга посвящена гидродинамике и её содержание, 
по мысли автора, должно быть доступно студентам младших курсов 
вузов и учащимся старших классов с углублённой подготовкой по 
физике и математике. Что-то полезное для себя в книге могут найти 
школьные учителя физики и преподаватели вузов. Для читателей, 
которые мало или вовсе не знакомы с гидродинамикой, эта книга 
может дать представление о характере задач и простейших методах их 
решения, показать связь известных читателю законов механики и термодинамики с их применением к задачам механики сплошной среды. 
Уравнения гидродинамики очень сложны, поэтому даже простейшие 
задачи нередко требуют для своего решения привлечения сложных 
разделов математики или численных методов. Нацеленность же книги 
на упомянутый круг читателей требует ограничить применение таких 
методов. Насколько автору удалось рассмотреть важные на его взгляд 
вопросы и одновременно с этим не переусердствовать с математикой, 
судить читателю.
Круг задач, решаемых гидродинамикой, по сути, необъятен, поэтому 
всякая книга по гидродинамике никогда не охватит все разделы этой 
науки, и её содержание в значительной мере будет определяться личными 
интересами автора. Всё это справедливо и в отношении данной книги. 
В неё включены темы, затрагивающие простейшие вопросы движения 
жидкости и газа, которые рассматриваются в курсе общей физики. Однако рассмотрение этих вопросов проводится на более глубоком, нежели 
это обычно принято, уровне. Ряд тем выходят за рамки стандартной 
программы, и их выбор определялся автором исходя просто-напросто из 
его личных интересов. Поскольку читателям могут быть интересны иные 
вопросы, автор в конце книги привёл небольшой список литературы по 

гидродинамике, который далеко не исчерпывает перечня литературы по 
этой очень интересной науке.
Автор выражает самую искреннюю благодарность Л.Ф. Соловейчику, 
по инициативе которого была написана эта книга, за его поддержку и 
ценные советы и дискуссии в процессе написания книги.

С.Г. Лисицын

Предисловие

ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА

 
Общие свойства жидкостей и газов

Всякий объем жидкости или газа способен как угодно 
изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил. Это 
справедливо, однако, лишь при условии, что объём тела при таких 
деформациях остаётся неизменным (деформации сдвига). Но для 
изменения самого объёма жидкости или газа, так же, как и в случае 
твёрдых тел, необходимы конечные внешние силы. Это значит, что при 
изменении объёма жидкости или газа в нем возникают силы, в конце 
концов уравновешивающие действие внешних сил. Если твёрдое тело 
можно растянуть или сжать в каком-либо одном направлении, то его 
можно также сжать во всех направлениях, т.е. подвергнуть всестороннему сжатию или растяжению. В жидкостях же и газах практически 
приходится иметь дело только со всесторонним сжатием, при этом в 
газах принципиально имеют место только деформации сжатия. Какой 
бы объем ни занимала данная масса газа, газ всегда оказывается сжатым, так как в отсутствие внешних сил объем газа будет увеличиваться 
беспредельно. Между тем жидкость в отсутствие внешних сил занимает 
определённый объем. Элементарная деформация сдвига не сопровождается изменением объёма тела. При такой деформации, как указывалось 
выше, в жидкости или газе не возникают никакие силы. Строго говоря, 
это имеет место лишь при достаточно медленном изменении состояния 
жидкости или газа. При быстрых же деформациях сдвига в жидкости 
и газе могут возникать заметные силы; однако эти силы зависят не от 
величины деформации, а от скорости изменения деформации. И если 
скорость деформации стремится к нулю, то и силы стремятся к нулю. 
Какая скорость является «достаточно большой», зависит от свойств жидкости или газа и конкретных условий задачи. Но во всяком случае для 
каждых конкретных условий можно указать столь медленные движения, 

при которых с силами, возникающими в жидкости и газе при сдвигах, 
можно не считаться. Разумеется, эти силы не играют роли в задачах о 
равновесии жидкости и газов.
При рассмотрении движений жидкостей и газов мы будем их разбивать, как и твёрдые тела, на отдельные малые элементы (так называемые 
«физически бесконечно малые объёмы»). Эти элементы должны быть 
столь малы, чтобы можно было считать все их точки движущимися одинаково. Но, с другой стороны, каждый такой элемент должен содержать 
много атомов с тем, чтобы можно было не учитывать дискретность строения вещества и считать его сплошной средой. Именно поэтому механику 
жидкости и газа нередко называют механикой сплошных сред.
К отдельным малым элементам мы будем применять общие законы 
механики. Всякий объем жидкости или газа будем рассматривать как 
систему таких элементов; но эти отдельные элементы могут изменять 
взаимное расположение в отличие от твёрдых тел. Однако в том случае, 
когда речь идёт о покоящейся жидкости или газе, или о таких движениях, 
при которых взаимное расположение отдельных элементов рассматриваемого объёма не изменяется, мы можем идти дальше и применять к 
этому объёму положения динамики твёрдого тела. В таких случаях можно 
говорить о центре тяжести объёма как о некоторой фиксированной точке, 
о моменте сил, действующих на объем, перемещать точки приложения 
сил вдоль направления сил, применять условия равновесия твёрдого 
тела и т. д. Этот приём получил название принципа отвердения. Мы 
представляем себе рассматриваемый объем отвердевшим и применяем к 
нему законы механики твёрдого тела. В частности, принцип отвердения 
всегда можно применять к покоящимся жидкостям и газам.

 
Силы в жидкости и газе

Выделим в жидкости некоторый объем V, ограниченный 
замкнутой поверхностью S (рис. 1). Силы, приложенные к выделенному объёму жидкости, можно разбить на два класса. 
К одному классу мы отнесём силы, действующие на 
каждый элемент объёма dV независимо от того, существуют или нет рядом с объёмом dV другие части 
жидкости. Эти силы мы назовём массовыми; иногда 
не вполне правильно они называются объёмными 
силами. Если обозначить через f вектор массовой 
силы, отнесённый к единице массы, то к элементу 
Рис. 1

Силы в жидкости и газе

Гидростатика и аэростатика

объёма dV жидкости, плотность которой , будет приложена массовая 
сила dF = f dV.
К другому классу сил, действующих на выделенный объём V, мы отнесём силы взаимодействия между различными частицами жидкости. В 
силу закона сохранения импульса сумма сил взаимодействия между всеми 
внутренними частицами объёма V, лежащими внутри поверхности равна 
нулю и, значит, могут остаться неуравновешенными только силы взаимодействия, исходящие от частиц, лежащих снаружи поверхности S, и приложенные к поверхностным частицам объёма V; такие силы мы назовём 
поверхностными. Если через рп обозначить вектор поверхностной силы, 
отнесённой к единице площади, то на элементарную площадку dS будет 
действовать сила dF = pndS. Эта сила перпендикулярна площадке dS и 
направлена внутрь поверхности S. Такое направление силы обусловлено 
тем, что в жидкости и газе при сдвиге не возникают силы, поэтому сила, 
действующая со стороны одного элемента жидкости на другой, всегда 
нормальна к площадке, на которую эта сила действует. Эту величину pn 
называют давлением жидкости или газа, или гидростатическим давлением. В жидкости или газе достаточно задать величину давления для 
какой-либо одной площадки в данной точке, чтобы определить давление 
для любой площадки в этой точке. Действительно, рассмотрим условия 
равновесия выделенной в жидкости малой прямоугольной трёхгранной 
призмы (рис. 2) с гранями, площади которых соответственно равны Sl, S2, 
S3 и S0. Очевидно, что если выделенный объем находится в равновесии, 
то силы давления, действующие на две торцовые грани S0 одинаковы по 
абсолютной величине и противоположны по направлению. Пусть нам 
задано давление р1 на грань S1 (см. рис. 2). Нужно найти давления р2 
и р3 на грани S2 и S3. Величины сил, действующих на все три грани 
призмы, соответственно равны

 
F
p S
F
p S
F
p S
1
1
1
2
2
2
3
3
3
=
=
=
,
,
.

Для равновесия необходимо, чтобы сумма этих сил была равна 
нулю
 
F
F
F
1
2
3
0
+
+
= ,

т.е. эти силы образуют замкнутый треугольник (см. рис. 3), который 
подобен треугольнику сечения призмы (так как силы перпендикулярны 

к соответствующим граням призмы). Следовательно, F
l
F
l
F
l

1

1

2

2

3

3
=
=
,  где 

l1, l2, l3 — длины соответственных сторон сечения. Так как площади 
граней Sl, S2, S3 пропорциональны сторонам сечения l1, l2, l3, то

F
S
F
S
F
S

1

1

2

2

3

3
=
=
,

откуда находим, что

 
р1 = р2 = р3.

Рис. 2
Рис. 3

Давления на все три грани равны по величине (но на каждой грани 
силы давления направлены перпендикулярно к этой грани). Этот вывод справедлив и для случая, когда на жидкость или газ действуют ещё 
какие-либо массовые силы, например сила тяжести. Так как массовые 
силы пропорциональны объёму призмы, а силы давления — площади 
призмы (т.е. убывают с уменьшением размеров призмы медленнее), то 
мы всегда можем выбрать призму столь малого сечения, чтобы массовыми силами можно было пренебречь. Из сказанного выше следует, 
что величина давления в данной точке жидкости или газа одинакова 
для всех направлений площадки, к которой давление отнесено. Опыт 
подтверждает этот вывод.

 
Сила давления на произвольную поверхность

Проведём в жидкости поверхность 
(S), опирающуюся на замкнутый плоский контур (). Пусть этот контур ограничивает площадку площадью . Убедимся, что сила давления, 
действующая на поверхность (S), равна P, где 
Р — давление в жидкости. Действительно, поскольку жидкость внутри объёма, находится в 
равновесии, то это означает, что сумма сил давления на поверхность этого объёма равна нулю. 
Рис. 4

Сила давления на произвольную поверхность

Гидростатика и аэростатика

Следовательно, силы давления на поверхность (S) и площадку  равны 
по величине и противоположны по направлению. Но сила давления на 
плоскую площадку  равна P.
Рассмотрим несколько примеров применения полученного результата.

 
Клапан

Клапан в форме шара (рис. 5) перекрывает отверстие радиуса r в плоской стенке, 
разделяющей жидкости, давление которых 3Р и Р. 
С какой силой прижимается шар к отверстию?
Решение. Согласно решению предыдущей задачи, сверху на шар действует сила 3Рr 2, а снизу 
сила Рr 2. Таким образом, шар к отверстию прижимает сила, равная 2Рr 2.

 
Варим сосиску

Почему сосиска в кипятке лопается вдоль, а не поперёк?
Решение. Сосиска имеет цилиндрическую форму. Пусть радиус этого 
цилиндра R, а длина L. При варке сосиски, образующийся внутри неё 
пар растягивает оболочку сосиски. Пусть избыточное давление пара 
равно Р. Тогда силы давления, действующие в продольном направлении 
на правую часть сосиски (рис. 6,а) уравновешиваются силой упругости 
оболочки сосиски:


R2P = Fупр.

Рис. 5

 
а 
б
Рис. 6

Отсюда находим силу упругости, приложенную в продольном направлении к единице длины оболочки:

 

3C!
||
.
2
2
F
PR
f
R

=
=

Если теперь найдём силу давления, действующую на продольное 
сечение сосиски (рис. 6,б), то она также уравновешивается силой упругости оболочки, в поперечном к направлению оси сосиски. Площадь 
поперечного сечения сосиски 2RL, а её периметр равен 2L. Отсюда 
находим силу упругости, приложенную к единице длины оболочки в 
поперечном направлении (рис. 6,б):

 
f
RLP
L
RP
^ =
=
2
2
.

Как видим, эта сила вдвое больше, чем сила, действующая в продольном направлении. Таким образом, для того чтобы удержать оболочку от 
разрыва в продольном направлении, нужна сила вдвое большая той, что 
удерживает оболочку от разрыва в поперечном направлении. Следовательно, оболочка скорее разорвётся вдоль, а не поперёк.
В силу тех же причин, по которым сосиска лопается вдоль, а не поперёк, лопаются водопроводные трубы, если в них создаётся слишком 
высокое давление воды.

 
Удивительный воздушный шарик

В вагоне электрички под потолком находится воздушный 
шарик, наполненный гелием. Электричка начинает двигаться с постоянным ускорением. Куда начнёт двигаться воздушный шарик?
Решение. Воздух в вагоне движется ускоренно вместе с вагоном. Следовательно, на воздух со стороны вагона действует сила в направлении 
движения. Точно также на каждую часть воздуха в вагоне действует сила 
со стороны окружающего его воздуха, направленная в сторону движения. Эти силы есть силы давления. На воздушный шарик точно также 
будут действовать силы давления, и точно так же сумма этих сил будет 
направлена в сторону движения вагона. Но масса шарика меньше массы 
вытесненного им воздуха, поэтому ускорение шарика будет выше, чем 
ускорение воздуха. Следовательно, шарик относительно вагона начнёт 
двигаться в направлении ускорения вагона.

 
Равновесие жидкости, находящейся в поле тяжести

Если жидкость или газ находятся в равновесии, т.е. все 
их точки неподвижны, то сумма сил, приложенных к каждому элементу 
объёма среды (как указывалось выше, жидкости и газы мы называем 
сплошной средой, или просто средой) равна нулю, а также равна нулю 

Равновесие жидкости, находящейся в поле тяжести