Введение в компьютерную томографию. Математические аспекты

А.Д. ЮНАКОВСКИЙ 

ВВЕДЕНИЕ  
В КОМПЬЮТЕРНУЮ 
ТОМОГРАФИЮ 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

À.Ä. Þíàêîâñêèé
Ââåäåíèå â êîìïüþòåðíóþ òîìîãðàôèþ. Ìàòåìàòè÷åñêèå
àñïåêòû: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / À.Ä. Þíàêîâñêèé – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2022. – 128 ñ.

ISBN 978-5-91559-292-5

Òåðìèí «Êîìïüþòåðíàÿ òîìîãðàôèÿ» îáúåäèíÿåò êîìïëåêñ
ôèçè÷åñêèõ èäåé, ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ è òåõíè÷åñêèõ ñðåäñòâ,
èñïîëüçóåìûõ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ âíóòðåííåé ñòðóêòóðû ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ áåç íàðóøåíèÿ èõ öåëîñòíîñòè ïðè
ïðîâåäåíèè èçìåðåíèé.
Èçëîæåíèå òðàäèöèîííûõ ìåòîäîâ âû÷èñëèòåëüíîé òîìîãðàôèè â êíèãå ïðîâåäåíî âåñüìà ïîäðîáíî, ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü åå ìàòåðèàë äëÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî îçíàêîìëåíèÿ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì àïïàðàòîì âû÷èñëèòåëüíîé
òîìîãðàôèè.
 Êíèãà áóäåò ïîëåçíà äëÿ äëÿ èíæåíåðîâ-ôèçèêîâ, èíæåíåðîâ-ìàòåìàòèêîâ è êîíñòðóêòîðîâ, çàíèìàþùèõñÿ âîïðîñàìè
ôèçè÷åñêîãî ðàñ÷åòà, ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è ïðîåêòèðîâàíèÿ ðåíòãåíîâñêèõ êîìïüþòåðíûõ òîìîãðàôè÷åñêèõ
êîìïëåêñîâ, à òàêæå äëÿ âñåõ, êòî èíòåðåñóåòñÿ ïðîáëåìàìè
ñîâðåìåííîé òîìîãðàôèè.

© 2021, À.Ä. Þíàêîâñêèé
© 2022, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-292-5

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

2. Виды томографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1. Классическая томография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2. Спиральная томография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3. Многослойная («мультиспиральная») компьютерная томография
24
2.4. Компьютерная томография с двумя источниками излучения .
25

3. Преобразование Радона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.1. Обращение преобразования Радона. . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1.1. Корректность задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.1.2. Обратное преобразование Радона . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.1.3. Метод Кормака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2. Свойства преобразования Радона . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2.1. Связь преобразования Радона и преобразования Фурье
43
3.2.2. Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2.3. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

4. Реконструкция изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.1. Алгоритм обратного проецирования . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.2. Сверточный алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.3. Метод обратной проекции с фильтрацией Фурье и сверткой.
61
4.4. Двумерные схемы дискретизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.5. Алгоритм отфильтрованной обратной проекции . . . . . . . . .
68
4.6. Томография в расходящихся лучах . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.6.1. Веерная схема на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.6.2. Алгоритм реконструкции для эквиспиральных веерных
данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

Оглавление

4.7. Реконструкция по лучам конуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.7.1. Cпиральная веерно-параллельная перекомпоновка . . . .
79
4.7.2. Алгоритм отфильтрованной обратной проекции . . . . .
81
4.8. Методы интерполяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.9. Алгоритм линограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

5. Алгебраические методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.1. Метод Качмажа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
5.2. Метод ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

6. Фантомы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100

7. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
7.1. 100 главных секретов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105

A. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
A.1. Тригонометрическое интерполирование . . . . . . . . . . . . . . .
114
A.2. Chirp-z алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
A.3. Теоремы выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
A.3.1. Ускорение сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
A.3.2. Теорема Агеева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
A.4. БПФ на неэквипространственных сетках . . . . . . . . . . . . .
121
A.5. Преобразование Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125

ПРЕДИСЛОВИЕ

Компьютерная томография — одно из наиболее впечатляющих
научных достижений XX в. Она оказала революционное воздействие на всю современную медицину. За разработку компьютерной
томографии А. Кормак и Г. Хаунсфилд были удостоены Нобелевской премии 1979 г. в области медицины и физиологии.
Успехи современной медицины во многом определяются стремительным развитием новых диагностических технологий. Среди
визуализирующих исследований, с которыми в практической деятельности так или иначе сталкивается каждый врач, важнейшее
место занимает компьютерная томография. К настоящему времени
в этой области накопился значительный багаж знаний и навыков,
которые, безусловно, будут полезны не только специалистам по лучевой диагностике, но и врачам других специальностей, а также
студентам-медикам.
Бурное развитие вычислительной техники привело к тому, что
на столах у медиков и математиков стоят в настоящее время одни и
те же компьютеры. Неудивительно, что медики и математики стали
теперь общаться, сидя рядом за компьютером и решая подчас одну
и ту же проблему. В настоящее время сложились новые, подчас
чрезвычайно неожиданные, но не менее прочные и плодотворные,
чем ранее, связи между математикой и медициной.
В то же время нельзя утверждать, что идея важности применения математических методов в медицине и биологии является
чем-то совсем новым. Например, многие математические понятия
и вычислительные алгоритмы возникли и развивались под влиянием медико-биологических проблем. Среди них можно назвать теорию вероятностей, методы математической статистики, уравнения
Вольтерры, теорию игр, методы оптимального управления, теорию
автоматов и др.

Предисловие

За последнее время в математике появились принципиально
новые подходы, которые порождены именно медико-биологической
наукой, но затем успешно применялись в других областях науки
и техники, например в теории хаоса, качественной теории дифференциальных уравнений, теории распознавания образов, теории
цифровой обработки сигналов и многих других.
В книге рассматриваются базовые понятия компьютерной томографии, без знания которых трудно правильно оценить результаты томографического исследования и разобраться в возможностях
метода.
Основную задачу компьютерной томографии можно рассматривать как восстановление некоторой функции в трехмерном пространстве по известным значениям ее интегралов вдоль определенных прямых линий или плоскостей. С чисто математической
точки зрения в проблеме восстановления функции можно выделить
три аспекта. Во-первых, необходимо определить, в какой мере исследуемый объект описывается имеющимися данными. Во-вторых,
желательно знать, насколько процесс восстановления устойчив относительно погрешностей в исходных данных. И, наконец, ннужно
разработать сам алгоритм восстановления.
Компьютерная томография отличается от обычной рентгенографии созданием послойных изображений, устраняя их наложение
друг на друга, что происходит на рентгеновских снимках из-за
необходимости изображения трехмерных объектов в двумерной системе координат.
Математическая задача восстановления функции по значениям
ее интегралов вдоль определенных прямых была решена Иоганном
Радоном в 1917 г., и ее решение было выражено через сингулярные
или гиперсингулярные интегралы. Вычисление таких интегралов
требует достаточно много машинных ресурсов, а самое главное —
времени. Результаты же томографии чаще всего нужны немедленно, т. е. в интерактивном режиме.
Математические модели в медицине являются моделями нового
типа. Создание их представляет собой большое искусство. Такие
модели помогают не только решить с помощью современной компьютерной техники сложные многопараметрические задачи диагностики, но и выбрать оптимальные пути лечения.
Предлагаемая вниманию читателей книга посвящена именно методам вычислительной томографии, причем под методами понимается, прежде всего, используемый математический аппарат. Поэтому
совершенно опущены не только технические детали и особенности
измерений и обработки данных в многочисленных направлениях

Предисловие
7

вычислительной томографии, но и сами эти направления в целом,
несмотря на их важность и законченность.
В книге рассмотрены методы уже в некотором смысле завершенные и называемые поэтому традиционными, а также некоторые
новые методы, находящиеся в процессе развития, но отличающиеся
тем, что они привлекают новые математические средства.
Автор выражает надежду, что данная книга поможет студентам,
изучающим информационные технологии, получить базовые знания в изучении основ метода компьютерной томографии и, возможно, даст понимание необходимости дальнейшего развития и совершенствования этого эффективного метода, так нужного и врачам,
и пациентам.
Автор признателен професору В. Е. Турлапову, взявшему на себя труд просмотреть рукопись и высказать ценные замечания и
предложения.
Согласно народной поговорке, как нет зерна без соломы, так
нет книги без ошибок. Автор будет благодарен читателям, которые
сообщат об ошибках, опечатках и/или захотят поделиться любыми
другими соображениями.

ВВЕДЕНИЕ

Компьютер многократно увеличивает
некомпетентность пользователя.

«Численный» вариант принципа
некомпетентности Питера

Томография — одно из бурно развивающихся направлений в области получения и обработки информации. Томография
позволяет заглянуть внутрь наблюдаемого объекта (от греч. tomos —
слой, срез). Основная проблема томографии — как по получаемым
в томографическом эксперименте проекционным данным (например, по рентгеновским снимкам) «увидеть» внутреннюю структуру
анализируемого объекта. Область математики, в которой разрабатываются методы решения подобных задач, известна как «интегральная геометрия».
Компьютерная томография — это особый вид рентгенологического исследования, которое проводится посредством непрямого измерения ослабления или затухания рентгеновских лучей из различных положений, определяемых вокруг обследуемого пациента.
Компьютерная томография, реконструктивная томография, вычислительная томография — это компьютерное моделирование скрытой внутренней структуры физических объектов, использующее косвенные данные поверхностных и дистанционных измерений.
Области применения РКТ. Основная область применения рентгеновской компьютерной томографии (РКТ) — медицина, а именно,
исследование мозга, брюшной полости, грудной клетки, рук и т. д.
с целью выявления травм, предраковых опухолей на ранней стадии
их развития (размером порядка 1 мм), исследование крови в кро

1. Введение
9

веносных сосудах, деталей анатомического строения сердца, получение динамической картины работы сердца, печени и кровотока с
кинематографической регистрацией (в томографах 5-го поколения)
и др. Другие области применения РКТ: определение трехмерной
внутренней структуры технических детапей сложной формы, биологических объектов, плазмы, алмазных выработок, древесины без
ее распиловки, контроль узлов реактивных двигателей, просмотр
содержимого багажа без его вскрытия на таможне, просвечивание
коры Земли (геофизика), оценка распределения плотности электронов вокруг Солнца с использованием естественного томографа
Солнце–Земля (астрофизика) и т. д.
Задача восстановления функции двух переменных, заданных на
плоскости по значениям ее интегралов вдоль прямых была поставлена и решена И. Радоном в 1917 г. Интенсивное развитие томографии и ее применение в медицине и технике, например в неразрушающем контроле качества изделий, началось полвека спустя.
Желание заглянуть внутрь непрозрачного объекта, не разрушив
его, существовало на протяжении многих веков. Первым шагом в
решении этой проблемы было открытие В. К. Рентгеном незадолго до конца 1895 г. X-лучей, проникающих через плотные вещества. Это величайшее открытие произвело ошеломляющее впечатление не только на ученых того времени, но и на всех образованных людей. Ведь X-лучи, которые впоследствии в России были
названы рентгеновскими, позволяли заглянуть внутрь непрозрачных тел и видеть сквозь них. Естественно, что самый большой
интерес к практическому применению рентгеновских лучей проявила медицина. Рентгеновские лучи позволяли получать изображения внутренних органов человека, обнаруживать посторонние
предметы внутри его тела, переломы и т. п. В основе формирования
рентгеновских изображений лежит использование эффекта неодинаковой рентгеновской плотности веществ. Одни вещества пропускают лучи лучше, другие хуже. Пройдя через тело и попав на чувствительную пленку, лучи засвечивают участки пленки тем сильнее, чем меньше плотность вещества. Однако возможность оценки взаимного расположения различных органов тела, их точной
геометрической формы при таком методе исследования существенно ограничена. Основной причиной является то, что мы получаем
плоское (двумерное) теневое изображение объемного (трехмерного) объекта. Теневое рентгеновское изображение представляет собой сумму изображений слоев тела, которые находятся на различных расстояниях от пленки. Внутренние органы тела на рентгеновском изображении наслаиваются друг на друга, и важные особен

1. Введение

ности их пространственного расположения значительно искажаются или полностью утрачиваются. Задачи получения изображения
каждого изолированного слоя объекта, не искаженного никакими
наложениями, и восстановления его внутренней структуры решает
современная компьютерная томография.
Изображения, полученные методом рентгеновской компьютерной томографии, имеют свои аналоги в истории изучения анатомии. В частности, великий русский хирург Николай Иванович Пирогов разработал новый метод изучения взаиморасположения органов оперирующими хирургами, получивший название «топографической анатомии». Сутью метода было изучение замороженных
трупов, послойно разрезанных в различных анатомических плоскостях («анатомическая томография»). Пироговым был издан атлас под названием «Топографическая анатомия, иллюстрированная
разрезами, проведенными через замороженное тело человека в трех
направлениях». Фактически, изображения в атласе предвосхищали
появление подобных изображений, полученных лучевыми томографическими методами исследования.
Компьютерная томография стала второй революцией в медицинской диагностике. Первая революция — открытие рентгеновского
излучения — была настолько значительной, что стала диагностической основой в медицине более чем на столетие. Мало какие
технологии 1895 г. могли претендовать на это. Компьютерная томография (КТ) дала возможность получить послойное изображение,
она позволила нам «почувствовать» третье измерение, сделав изображение более понятным и намного более информативным. Сейчас
лучевая диагностика является основой огромного числа диагностических подходов именно благодаря КТ и пространственному представлению о строении тела.
Математические основы компьютерной томографии были заложены задолго до появления первых рентгеновских компьютерных
томографов. Еще в 1917 г. математик И. Радон предложил метод
решения обратной задачи интегральной геометрии, состоящий в
восстановлении (реконструкции) многомерных функций по их интегральным характеристикам. Однако этот метод не находил практического применения до тех пор, пока не появились рентгеновские установки, позволяющие получать большое число высококачественных снимков, необходимых для восстановления внутренней
структуры реальных объектов, и быстродействующие ЭВМ, способные эти снимки обрабатывать. Первый в мире рентгеновский
компьютерный томограф был продемонстрирован Т. Хаунсфилдом
в 1972 г.