Методы оптимальных решений. Задачи управления запасами, очередью и конфликтами

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
К.А. ДЖАФАРОВ, Л.В. РОЕВА 
 
 
 
МЕТОДЫ  
ОПТИМАЛЬНЫХ  
РЕШЕНИЙ 
 
ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ, 
ОЧЕРЕДЬЮ И КОНФЛИКТАМИ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета  
в основе учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018  

 

УДК 519.874(075.8) 
         Д 403 
 
 
 
 

Рецензенты: 

канд. физ.-мат. наук, доцент А.П. Ковалевский 
канд. физ.-мат. наук, ученый секретарь Института  
систем информатики им. А.П. Ершова СО РАН Ф.А. Мурзин 
 
 
 
Джафаров К.А. 
Д 403   
Методы оптимальных решений. Задачи управления запасами, очередью и конфликтами: учебное пособие / К.А. Джафаров, Л.В. Роева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 112 с. 
 
     ISBN 978-5-7782-3747-6 
 
Работа предназначена для студентов экономических специальностей. Здесь затронуты вероятностные методы принятия оптимальных 
решений в различных задачах: управления запасами, в системах массового обслуживания, а также в конфликтных ситуациях. 
 
 
 
 
 
 
 
УДК 519.874(075.8) 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-3747-6  
 
 
 
 
 
© Джафаров К.А., Роева Л.В., 2018 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2018 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ............................................................................................................. 4 
Глава 1. Вероятностные методы оптимальных решений в задачах  
управления запасами ............................................................................................ 7 
   Введение ................................................................................................................ 7 
   § 1.1. Модель с непрерывным  контролем уровня запаса ................................. 8 
   § 1.2. Одноэтапные модели ................................................................................ 12 
   § 1.3. Многоэтапные модели .............................................................................. 16 
Глава 2. Вероятностные методы оптимальных  решений в системах  
массового  обслуживания ................................................................................... 21 
   Введение .............................................................................................................. 21 
   § 2.1. Простейший входной поток клиентов .................................................... 22 
   § 2.2. Основные типы систем массового  обслуживания ................................ 29 
   § 2.3. Системы с групповыми  потоками клиентов .......................................... 40 
   § 2.4. Системы массового обслуживания  с последовательными  
             приборами  обслуживания ....................................................................... 46 
   § 2.5. Подготовка исходных данных  и проверка гипотез ............................... 50 
   § 2.6. Принятие решений с использованием моделей массового 
             обслуживания ............................................................................................ 51 
   § 2.7. Другие системы массового  обслуживания ............................................ 54 
Глава 3. Вероятностные методы  оптимальных решений   
в конфликтных ситуациях ................................................................................. 59 
   Введение .............................................................................................................. 59 
   § 3.1. Матричные игры ....................................................................................... 60 
   § 3.2. Простая А-игра .......................................................................................... 62 
   § 3.3. Расширенная A-игра .................................................................................. 64 
   § 3.4. Доминирующие и полезные стратегии ................................................... 68 
   § 3.5. А-игры порядка 2 × 2,  2 × m,  n × 2 ......................................................... 70 
   § 3.6. Расширенная A-игра и задача  линейного программирования.............. 77 
   § 3.7. Байесовский подход в теории игр ........................................................... 80 
   § 3.8. Некоторые критерии принятия решений  в условиях  
             неопределенности ..................................................................................... 82 
   § 3.9. Статистические игры ................................................................................ 87 
   § 3.10. Принятие решений в условиях риска .................................................... 92 
   § 3.11. Игры с ненулевой суммой ...................................................................... 98 
Библиографический список ................................................................................ 111 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
Вероятностные методы принятия оптимальных решений применяются во многих задачах. Настоящая работа включает вероятностные 
методы принятия оптимальных решений в задачах управления запасами, в задачах исследования систем массового обслуживания, а также в 
задачах поиска оптимальных решений в конфликтных ситуациях. 
Предполагается, что читатель знаком с базовыми математическими 
дисциплинами, читаемыми в вузах для студентов экономических специальностей, включая теорию вероятностей и математической статистики. 
Темы настоящего пособия были освещены в различных изданиях 
К.А. Джафарова [3, 4, 5]. Разумеется, при написании данного курса 
использованы материалы его предыдущих работ. Стоит отметить, что 
многие примеры и задачи, включенные в настоящее учебное пособие, 
заимствованы из тех же изданий, а также из замечательной работы [1]. 
Авторы выражают признательность рецензентам и всем тем, кто 
помог своими добрыми советами и критикой в написании настоящей 
книги. Особую признательность авторы выражают 8-летней Дарье 
Гребенщиковой за иллюстрации к работе. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Г л а в а  1  

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ 
РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 

ВВЕДЕНИЕ 

Задача управления запасами возникает в тех случаях, когда необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления для удовлетворения спроса на заданном интервале времени. Любая модель управления запасами должна дать ответ на два вопроса: 
какое количество продукции заказывать и когда это делать? Ответ на 
первый вопрос выражается через размер заказа, определяющего оптимальное количество ресурсов, которое необходимо доставлять каждый 
раз, когда происходит размещение заказа. Ответ на второй вопрос зависит от системы управления запасами. 
В общем виде решение задачи управления запасами определяется 
так: 
 в случае периодического контроля состояния запаса следует 
обеспечить поставку нового количества ресурсов в объеме размера заказа через равные интервалы времени; 
 в случае непрерывного контроля состояния запаса необходимо 
размещать новый заказ, когда уровень запаса достигает точки возобновления заказа. Размер и точка возобновления заказа определяются из 
условий минимизации суммарных затрат (затраты на приобретение, 
затраты на оформление заказа, затраты на хранение и потери от дефицита). 
Модели управления запасами бывают детерминированными и вероятностными. В настоящей работе мы будем рассматривать только 
вероятностные методы в задачах управления запасами. 

Вероятностный спрос на товар может быть стационарным, когда 
распределение вероятностей спроса неизменно во времени, и нестационарным, когда распределение изменяется во времени. Здесь основным 
критерием принятия решений будет минимум ожидаемых затрат или 
максимум ожидаемой прибыли. Рассмотрим несколько моделей. 

§ 1.1. МОДЕЛЬ С НЕПРЕРЫВНЫМ 
 КОНТРОЛЕМ УРОВНЯ ЗАПАСА 

Это модель, в которой уровень запаса контролируется непрерывно, 
заказ размером y размещается тогда, когда этот уровень достигает некоторой точки возобновления заказа R. Здесь требуется найти оптимальные значения y и R, минимизирующие суммарные удельные (на 
единицу продукции за единицу времени) ожидаемые затраты. Такая 
модель предусматривает следующие допущения: 
 срок выполнения заказа носит случайный характер; 
 неудовлетворенный в течение срока выполнения заказа спрос 
накопляется; 
 распределение вероятностей спроса не зависит от момента его 
возникновения; 
 в любой момент имеется не более одного невыполненного заказа. 
Введем обозначения: 
( )
p
t

 – плотность распределения вероятностей спроса ξ в течение 
срока выполнения заказа; 
  – ожидаемое значение спроса в единицу времени; 
h – удельные затраты на хранение; 
p – удельные потери от дефицита; 
K – затраты на оформление заказа. 
Суммарные годовые затраты включают средние затраты на оформление заказа, ожидаемые затраты на хранение и ожидаемые потери от 

дефицита. Так как y
  – среднее число заказов в год, то K
y
  – годовые 

затраты на оформление заказа. 

Обозначим через 
,
,

0, если

R
R
H
R

 




 уровень запаса. Поскольку 

ожидаемые затраты на хранение зависят от уровня запаса на начало и 

на конец цикла, 
(
)
E R    – ожидаемый уровень запаса в конце цикла и 
(
)
y
E R

   – ожидаемый уровень запаса в начале цикла. Тогда средний уровень запаса определяется так: 

(
)
,
2
y
EH
E R

  
 

где 
0
(
)
(
)
( )
R

E R
R
t p
t dt

  


. 

При ξ > R возникает дефицит, обозначим через S размер дефицита 
за единицу времени, тогда 

,
,

0, если
.

R
R
S
R

 





 

Так как в течение года размещается y
  заказов, то ожидаемый раз
мер дефицита определяется как 

ES
y

, 

где 
(
)
( )
.
R

ES
t
R p
t dt






 

Исходя из сказанного суммарные годовые затраты равны 

TCU( , )
(
)
2
y
y R
K
h
E R
p
ES
y
y













. 

Дифференцируем эту функцию по y и R, приравниваем к нулю, решаем систему и получаем: 

2
2
2 (
)
0
,
2
TCU ( ) 0

TCU ( ) 0
( )
.
( )
0
R
R

K
h
K
pES
p
ES
y
y
y
h
y

R
hy
p
p
t dt
h
p
t dt
p
y



















































 

Рассмотрим алгоритм нахождения решения, предложенный Хедли 
и Уайтином. Прежде проверяем, существует ли допустимое решение. 

При R = 0 записываем последние два уравнения: 
2 (
)
K
pE
y
h




, 

p
y
h



. Если y
y


, тогда существуют единственные оптимальные 

значения для y и R. Легко видеть, что наименьшим значением y явля
ется 
2K
h
 , которое достигается при ES = 0. 

Приведем этапы алгоритма. 
Находим 1
R , подставляя 1y  в уравнение: 

1

1
2
,
( )
1
R

hy
K
y
p
t dt
h
p









. 

Далее, подставляя 1
R , получаем 
2
y : 

1
1
(
)
( )
R

ES
t
R
p
t dt






, 
2
2 (
)
K
pES
y
h



. 

Подставляя 
2
y
 в уравнение

2

2
( )
R

hy
p
t dt
p







, находим
2
R . 

Процедура продолжается до тех пор, пока два последовательных 
значения R не станут приблизительно равными. Последние найденные 
y и R будут оптимальными значениями. 

Пример Фирма по ремонту автомобилей использует моторные 
масла в количестве 1000 л в месяц. Размещение заказа на новую поставку масла обходится фирме в 100 долл. Стоимость хранения одного 
литра масла на протяжении одного месяца равна 2 долл., а удельные 
потери от ее дефицита – 10 долл. за один литр. Статистические данные 
свидетельствуют о том, что спрос в период поставки – случайная величина, равномерно распределенная от 0 до 100 л. Определим оптимальную политику управления запасами для фирмы. 

Из условий задачи получается, что   = 1000 л в месяц, K =  
= 100 долл. за размещение заказа, h = 2 долл. за один литр в месяц, p =  
= 10 долл. за один литр, 
( )
p
t

 = 0,01, если 
100
0

 t
, Eξ = 50 л.  
Проверим, существует ли допустимое решение задачи. Найдем: 

2 (
)
K
pE
y
h




 = 774,6 л и 
p
y
h



 = 5000 л. Так как y
y


, значит, 

существует единственное решение для y и R. Записываем выражение 

для ES: 
(
)0,01
R

ES
t
R
dt




 = 

2
50
200
R
R


. Далее находим  

2 1000(100 10
)
2
i

ES
y



 = 
100 000 10 000 ES


 л, 
2
0,01
10 100
i

i

R

y
dx




. 

Отсюда 
100
50
i

yi
R 

. 

Теперь последовательно получаем: 

Шаг 1. 1
2 1000 100
2
316,23
2
K
y
h






л; 

1
1
100
50
y
R 

 = 93,68 л. 

Шаг 2. ES =

2
1
1
50
200
R
R


 = 0,1997 л, 
2
y  = 319,37 л. Находим 

2
2
100
50
y
R


 = 93,6126 л. 

Шаг 3. ES =

2
2
2
50
200
R
R


 = 0,203 99 л, 
3
y  = 319,44 л. 

Определим 
3
3
100
50
y
R


 = 93,611 л. Поскольку значения 
2
R  и 
3
R  

примерно одинаковы, приближенное оптимальное решение определя
ется так: R   93,61 л, y   319,4 л.