Математическое моделирование физических процессов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
С.В. СТАНКЕВИЧ 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  
МОДЕЛИРОВАНИЕ 
 ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

 

УДК 53 : 51 (075.8) 
         С 764 
 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, профессор Г.А. Швецов 
д-р техн. наук, доцент А.В. Гуськов 

 
 
 
 
Станкевич С.В.  
С 764   
Математическое моделирование физических процессов: 
учебное пособие / С. В. Станкевич. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 
2020. – 120 с. 
 
ISBN 978-5-7782-4233-3 
 
В первой части пособия рассматриваются физические задачи, математические модели которых могут быть представлены в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. 
Во второй части на основе метода конечных разностей рассматриваются методы численного решения нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. 
 
 
 
 
 
 
 
УДК 53 : 51 (075.8) 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-4233-3  
 
 
 
 
 
 
© Станкевич С.В., 2020 
© Новосибирский государственный 
технический университет, 2020     

 

ВВЕДЕНИЕ 

Большое количество физических, технических и инженерных задач 
формулируется в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и 
уравнений с частными производными. 
Так, например, обыкновенными дифференциальными уравнениями 
можно описать задачи химической кинетики, расчета электрических цепей, движение систем взаимодействующих материальных точек и другие задачи физики, химии, техники. 
К дифференциальным уравнениям в частных производных приводятся задачи математической физики, гидродинамики, акустики, электродинамики, теплотехники и других областей знаний. 
К сожалению, получить решение многих из этих уравнений в аналитическом виде чаще всего не удается. Это связано со сложностью исследуемых проблем. Например, в задачах аэродинамики при сверхзвуковых скоростях полета летательных аппаратов (ЛА) возникают сопутствующие задачи газовой динамики, теплопереноса, теплозащиты ЛА 
при высоких температурах и т. п. 
Экспериментальное исследование в натурных условиях также представляет большие трудности. 
В первой части этого курса будут рассматриваться методы решения задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). Эти уравнения содержат только одну независимую переменную, в качестве которой могут выступать время или пространственная координата. Иначе говоря, в таких уравнениях все функции 
зависят только от одной переменной, и их производные по этой переменной являются полными. 
Уравнения в частных производных содержат более одной независимой переменной. Этими переменными могут быть, например, одновременно пространственные координаты и время или только пространственные координаты для статических задач. 

В таких уравнениях производные от функций по любой из независимых переменных являются частными. Кроме того, уравнение может 
содержать смешанные производные. Подобного рода задачи и методы 
их решения будут рассматриваться во второй части курса. 
Все методы решения дифференциальных уравнений можно условно 
разбить на две группы: аналитические и численные. В свою очередь, 
аналитические методы подразделяются на точные и приближенные. 
Точные методы позволяют выразить решение дифференциальных 
уравнений через элементарные функции (в аналитическом виде). 
Приближенными называются методы, в которых решение получается как предел некоторой последовательности, члены которой выражаются через элементарные функции. 
Численные методы не позволяют найти точное решение дифференциальных уравнений в аналитической форме. С их помощью получается 
таблица приближенных (иногда точных) значений искомого решения в 
некоторых точках рассматриваемой области решения, именуемых сеткой. В силу этого численные методы называют иначе: разностными 
методами или методами сеток. Численные методы применимы к широким классам дифференциальных уравнений и всем типам краевых задач для них. 
Во второй части этого курса будут рассмотрены, конечно, разностные методы решения нестационарных уравнений параболического типа. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ЧАСТЬ I 

 
 
 

Р а з д е л  1 

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ  
ЗАДАЧИ НА ЭВМ 

1. Физическая постановка задачи. Создание физической модели 
Необходимо в исследуемой системе выделить и идеализировать физические тела, поля, условия движения; ввести физические величины, 
характеризующие свойства объекта; сформулировать физические законы, описывающие взаимодействия между полями и материальными 
объектами. 
2. Создание математической модели, описывающей физическую 
модель. 
На этом этапе строится или выбирается математическая модель, 
описывающая соответствующую физическую задачу. Модель должна 
адекватно описывать основные законы физического процесса. 
3. Исследование математической модели – выбор численного 
метода решения. 
Под численным методом понимается такая интерпретация математической модели, которая доступна для реализации на ЭВМ. 
4. Разработка алгоритма решения задачи. 
Алгоритм решения записывается как последовательность логических и арифметических операций. Его можно представить в виде блоксхемы. 
5. Составление программы. 
Программа, реализующая алгоритм решения задачи, записывается 
на одном из языков высокого уровня. 

6. Отладка программы. 
Состоит из 2 этапов: тестирования и исправления ошибок. 
7. Счет по отлаженной программе. 
На этом этапе готовятся исходные данные для рассчитываемых вариантов и осуществляются расчеты. 
8. Проведение вычислений и анализ результатов. 
Уточнение модели, метода решения, программы. 
Исследование процессов или объектов при помощи физических и 
математических моделей с применением вычислительной техники часто называют вычислительным экспериментом. 

Погрешности в вычислительном эксперименте 

Необходимо подчеркнуть, что процесс исследования исходного объекта описанным выше методом неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся те или иные погрешности. 
1. Погрешности физической модели. 
Связаны с неполным физическим описанием реального явления или 
процесса. 
2. Погрешности математической модели. 
Связаны с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнений и других входных данных. Это неустранимые погрешности. 
3. Погрешности численного метода. 
Связаны с тем, что любой численный метод воспроизводит математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями 
метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления. 
4. Погрешности округления при использовании компьютера. 
Реальные числа в ЭВМ записываются с некоторой погрешностью. 
В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретной задачи. 
 
 

Требования к вычислительным методам 

Одной и той же математической задаче можно поставить в соответствие множество различных дискретных моделей, однако далеко не все 
из них пригодны для практической реализации. Вычислительные алгоритмы, предназначенные для ЭВМ, должны удовлетворять ряду требований. Можно выделить две группы требований. 
Первая группа связана с адекватностью дискретной модели исходной математической задаче, вторая – с реализуемостью численного метода на ЭВМ. К этой группе относятся такие требования, как сходимость численного метода, выполнение дискретных аналогов законов 
сохранения, качественно правильное поведение решения исходной задачи. Поясним сказанное. Предположим, что дискретной моделью задачи является разностная схема, и при замене дифференциальных выражений конечными разностями получается большое число алгебраических уравнений. Чем точнее мы хотим получить решение, тем меньше 
нужно брать шаг сетки, или параметр дискретизации (t), и тем большее число уравнений приходится решать. Говорят, что численный метод сходится, если при неограниченном увеличении числа уравнений 
(t  0) решение дискретной задачи стремится к точному решению исходной задачи. Далее, известно, что дифференциальные уравнения математической физики являются следствиями законов сохранения. Поэтому естественно требовать, чтобы для разностной схемы выполнялись 
аналоги таких законов сохранения. Разностные схемы, удовлетворяющие этому методу, называются консервативными. 
Вторая группа требований к численным методам связана с объемом 
оперативной памяти ЭВМ, с возможностью получить решение соответствующей системы уравнений за приемлемое время, с устойчивостью 
алгоритма. Алгоритм называется устойчивым, если в процессе решения рост вычислительных погрешностей ограничен сверху, и неустойчивым, если погрешности возрастают неограниченно. Существуют 
также алгоритмы, которые устойчивы при выполнении определенных 
условий для параметров дискретной модели. Такие алгоритмы называются условно устойчивыми. Ясно, что использовать следует устойчивые или условно устойчивые алгоритмы. 
 
 
 

Р а з д е л  2 

ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 
НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ 

Простая математическая модель для задачи 
об остывании тела 

Пусть тело, равномерно нагретое до температуры 
0,
T
 помещено в 
среду, имеющую более низкую температуру 
ср
Т
. Из опыта ясно, что 
тело будет остывать до тех пор, пока его температура не сравняется с 
температурой cреды, но как будет происходить процесс остывания со 
временем? Для простоты рассмотрения предположим, что тело обладает 
высокой теплопроводностью, так что температура быстро выравнивается по всему объему, т. е. считаем, что равномерно нагретое тело будет 
так же равномерно остывать, и задачу распределения температуры в 
объеме мы не рассматриваем. Это существенное упрощение модели явления, так как в этом случае температура является функцией лишь одной переменной – времени t. 
Выберем некоторый момент времени t, в который температура достигла значения 
ср
Т
Т

, и посмотрим, что произойдет за бесконечно 
малый промежуток времени dt. За это время тело отдаст в среду количество тепла, пропорциональное разности температур тела и среды (закон 
Ньютона–Рихмана) и величине промежутка dt: 

ср
(
)
.
dQ
T
T
dt
 

 

С другой стороны, за это время тело понизит свою температуру на 
величину dT, и если массовая теплоемкость тела равна с, а масса тела 
равна m, то количество тепла dQ, отданное телом, равно –mcdT. Тогда 
можем записать 

ср
(
)
,
mcdT
T
T
dt

 

 

отсюда имеем 

 
cp
/
(
),
dT dt
r T
T
 

 
(2.1) 

где коэффициент 
/
(град/с)
r
mc
 
 назовем коэффициентом остывания. 
Если коэффициент остывания r – константа, а начальная температура 
тела равна 
0
Т , то аналитическое решение этого уравнения есть 

 
0
cp
cp
(
)
.
rt
T
T
T
e
T




  
(2.2) 

Выравнивание температур при теплообмене 

Рассмотрим два равномерно нагретых тела, имеющих начальные 
температуры 
1T  и 
2
T . Не ограничивая общности постановки, полагаем 1
2
T
T

. При непосредственном контакте этих тел тело с большей 
температурой будет остывать, отдавая тепло, второе тело, наоборот, будет нагреваться. Ясно, что этот процесс будет продолжаться до тех пор, 
пока температуры тел не сравняются. 
Как и в предыдущем примере, считаем, что тела обладают достаточной высокой теплопроводностью, и их температуры зависят только от 
времени t. 
Предположим, что количество тепла 
1
2,
dQ 
 отданное за малый промежуток времени dt от первого тела ко второму, пропорционально разности температур тел (закон Ньютона–Рихмана) 

 


1
2
1
2
( )
( )
,
dQ
T t
T t
dt
  

 
(2.3) 

где 
(Дж / (с К)


 или Вт/К) – тепловое сопротивление; 
1
2
( ),
( )
T t
T t  – 
температуры соприкасающихся тел в некоторый момент времени. Количество тепла считается положительным, если тело получает его в процессе теплообмена, и отрицательным, если отдает. Следовательно, количество тепла, полученное вторым телом от первого, 
2
1
dQ   из закона 
сохранения энергии есть 

 
2
1
1
2
( ( )
( ))
.
dQ
T t
T t
dt
  

 
(2.4) 

Полагая, что изменение количества тепловой энергии тел в рассматриваемом диапазоне изменения температур зависит только от изменения температуры тел 

 
,
dQ
mcdT

 
 

где с (Дж/(кг ⋅ К)), m (кг) – удельная теплоемкость и масса тела, запишем 
изменения температуры тел 

 
1 1
1
2 2
2
dQ
m c dT
m c dT


, 
(2.5) 

где 
1
1
,
с
m  – удельная теплоемкость и масса первого тела; 
2
2
,
с
m  – 
удельная теплоемкость и масса второго тела; 
1
2
,
dT
dT  – изменение температур тел в процессе теплообмена. 
Таким образом, определив переданное количество теплоты по формуле (2.5), можно определить скорости изменения температуры каждого из тел, используя уравнения (2.1) и (2.2). 

 
1
2
1 1
1
2
2 2
1
2
(
),
(
).
dT
dT
m c
T
T
m c
T
T
dt
dt
 

 

 
 

Используя обозначения 
1
1 1
2
2 2
/ (
),
/ (
),
r
m c
r
m c
 
 
 эту систему 
уравнений можно записать так 

 
1
2
1
1
2
2
1
2
(
),
(
).
dT
dT
r T
T
r T
T
dt
dt
 



 
(2.6) 

Для получения решения этой системы необходимо задать начальные 
значения температур 
 
1
10
2
20
0
0
,
t
t
T
T
T
T




. 
 

При постоянных значениях коэффициентов 1
2
,
r r  система ОДУ (2.6) 
имеет аналитическое решение. Вычитая из первого уравнения второе, 
получим 

 
1
2
1
1
2
2
1
2
(
)
(
)
dT
dT
r T
T
dt
r T
T
dt
dt
dt

 



. 
(2.7) 

Введем новую функцию 
12
1
2
–
Т
Т
Т

, тогда (2.7) примет вид 

 
12
1
2
12
(
)
.
dT
r
r T
dt
 

 
(2.8) 

Решение уравнения (2.8) с начальным условием 
12
10
20
(0)
Т
Т
Т


 
имеет вид 

 


12
1
2
10
20
1
2
(
)exp
(
) .
T
T
T
T
T
r
r t





