Математический анализ. Сборник задач для контрольных работ во втором семестре

 
 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
Е.А. Лебедева, О.В. Шеремет 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 

ВО ВТОРОМ СЕМЕСТРЕ 

 

 

 

Учебно-методическое пособие 

 

 

 

 

 

 

НОВОСИБИРСК 
2019 
 

УДК 517(075.8) 
          Л 33 
Рецензенты: 
Н.И. Лыгина, канд. пед. наук, доцент 
Л.В. Павшок, канд. физ.-мат. наук, доцент  

 
             Лебедева Е.А. 
Л 33           Математический анализ. Сборник задач для контрольных работ во 
втором семестре: учебно-методическое пособие / Е.А. Лебедева, 
О.В. Шеремет. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 72 с. 
ISBN 978-5-7782-3795-7 
Сборник является составной частью комплекта учебно-методических 
пособий по курсу математического анализа, предназначенных для подготовки и 
проведения контрольных и проверочных работ по темам: «Дифференциальное и 
интегральное исчисление функций многих переменных», «Обыкновенные 
дифференциальные уравнения», «Числовые и функциональные ряды. Ряды 
Фурье». Содержит наборы задач по 6 вариантов для контролирующих 
мероприятий по указанным темам и 16 вариантов итоговой контрольной работы 
по всем темам 2 семестра. 
Пособие утверждено Редакционно-издательским советом университета в 
качестве учебно-методического и рекомендовано преподавателям в качестве 
дидактического материала при проведении практических занятий для студентов 
I курса очного отделения технических направлений и специальностей. При 
составлении были использованы частичные методические разработки, ранее 
изданные кафедрой инженерной математики НГТУ. 
УДК 517(075.8) 

Лебедева Елена Анатольевна, Шеремет Оксана Владиславовна 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 
СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ВО ВТОРОМ СЕМЕСТРЕ 

 Учебно-методическое пособие 

Выпускающий редактор И.П. Брованова 
Дизайн обложки А.В. Ладыжская  

 
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции 
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП) 
___________________________________________________________________________________ 
Подписано в печать  21.01.2019. Формат 60 × 84  1/16. Бумага офсетная. Тираж  150  экз. 
Уч.-изд. л.  4,41.  Печ. л.  4,5.    Изд. №  352/18.  Заказ №  221.   Цена договорная 
___________________________________________________________________________________ 
Отпечатано в типографии 
Новосибирского государственного технического университета 
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 

 
ISBN 978-5-7782-3795-7                                            © Лебедева Е.А., Шеремет О.В., 2019 
                                                                                              © Новосибирский государственный 
                                                                                   технический университет; 2019 

ВВЕДЕНИЕ

Данный сборник предназначен для проведения контрольных 

работ по следующим темам курса «Математический анализ»:

• дифференциальное 
исчисление 
функций 
многих 

переменных;
• интегральное исчисление функций многих переменных;
• обыкновенные дифференциальные уравнения;
• числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье.

Содержание контрольных работ соответствуют учебным 

программам технических направлений подготовки НГТУ. Каждая 
контрольная работа содержит 6 вариантов. Все варианты 
идентичны по содержанию и уровню сложности. 

Указанное в таблицах количество баллов за правильное 

решение задач определяет уровень сложности заданий и является 
рекомендованным. Набор задач в каждой контрольной работе и 
значение итогового балла могут быть изменены на усмотрение 
преподавателя.

Вместе с данным сборником рекомендуется использовать 

учебное пособие авторов «Математический анализ. Практикум 
для подготовки к контрольным работам во втором семестре».

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

4 

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Для 
выполнения 
контрольной 
работы 
по 
теме 

«Дифференциальное исчисление функций многих переменных» 
студенту необходимо

ЗНАТЬ:

• Понятие функции двух переменных, область определения, 

область значений, геометрическое изображение.

• Определение частной производной функции нескольких 

переменных по каждой из независимых переменных. 
Понятия производных высших порядков, смешанных 
производных. Теорему о смешанных производных.

• Определение и формулу полного дифференциала первого 

порядка и формулы дифференциалов высших порядков 
функции двух переменных.

• Теорему существования неявно заданной функции двух 

переменных. 
Правило 
дифференцирования 
функции, 

заданной неявно.

• Понятие касательной плоскости и нормали к поверхности. 

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, 
заданной явно и неявно.

• Понятие 
экстремума 
функции 
двух 
переменных. 

Формулировку необходимого и достаточного условий 
экстремума функции двух переменных.

• Понятия скалярного поля, линий и поверхностей уровня, 

производной скалярного поля по заданному направлению.

• Понятие градиента, его свойства и физический смысл.

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

5

 

УМЕТЬ:

• Находить частные производные функции нескольких 

переменных по каждой из независимых переменных, 
находить производные высших порядков, смешанные 
производные.

• Находить частные производные первого порядка функции, 

заданной неявно.

• Записывать полный дифференциал первого порядка для 

функции 
двух 
переменных 
и 
применять 
его 
для 

приближенных вычислений. 

• Записывать формулы дифференциалов высших порядков 

функции двух переменных.

• Записывать уравнения касательной плоскости и нормали к 

поверхности, заданной явно и неявно.

• Определять точки экстремума функции двух переменных, 

заданной явно, и исследовать их характер.

Таблица баллов

задача
1
2

3

4
5
всего

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

балл
1
1
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
1
1
5,5

 

 

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

6 

 

Вариант 1

1. Найдите частные производные первого порядка для функций: 

а) 
3

3
x
z
y x

y

=
+
;
б) 
3
3
xyz
z
=
−

2. Найдите частные производные второго порядка 

2
2
2

2
2
;
;
z
z
z

x y
x
y




 



функции 
(
)
cos
sin
y
z
e
x
y
x
=
+
.

3. Известно, что функция 
(
)
,
z
f
x y
=
непрерывно 

дифференцируема в некоторой области D , содержащей точки 

(
)
(
)
(
)
1;2 ,
1;3 ,
0,98; 2,14
M
N
K
−
−
, при этом: 

(
)
(
)
4;
3;
f M
f N
=
= −

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

2
2
2

2
2

2;
3;

1;
12;
5.

f
f
M
M
x
y

f
f
f
M
M
M
x y
x
y



= −
=






= −
=
=
 



Запишите:

3.1. выражение полного дифференциала функции 
(
)
,
z
f
x y
=

в точке M ;

3.2. выражение дифференциала второго порядка функции 

(
)
,
z
f
x y
=
в точке M ;

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

7

 

3.3. уравнение касательной плоскости к поверхности 

(
)
,
z
f x y
=
в точке, соответствующей точке M ;

3.4. градиент функции 
(
)
,
z
f
x y
=
в точке M .

Вычислите:

3.5. значение производной по направлению от точки M к 

точке 
;
N

3.6. приближенное значение функции в точке K .

4. Найдите уравнение касательной плоскости к поверхности, 

заданной уравнением (
)

2
2
5
5
z
x
xyz
y
−
−
=
в точке 
(
)
0 1;1;2
M
.

5. Проверьте, являются ли точки 
(
)
1 4;4
M
и 
(
)
2 1;1
M
точками 

экстремума функции 
2
6
3
z
x
y
x
y
x
=
−
−
+
+
. Если являются, 

укажите их характер (максимума или минимума).

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

8 

 

Вариант 2

1. Найдите частные производные первого порядка для функций: 

а) 
(
)
2
arctg
z
x
y
=
−
б) 
2
2
2
xyz
x y
y
z
=
+
−

2. Найдите частные производные второго порядка 

2
2
2

2
2
;
;
z
z
z

x y
x
y




 



функции
(
)

2
ln
z
xy
x
y
=
+
+
.

3. Известно, что функция 
(
)
,
z
f x y
=
непрерывно 

дифференцируема в некоторой области D , содержащей точки 

(
)
(
)
(
)
2;3 ,
1;4 ,
2,2; 2,84
M
N
K
−
−
−
, при этом:

(
)
(
)

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

2
2
2

2
2

0;
11;

5;
1;

2;
4;
3

f M
f N

f
f
M
M
x
y

f
f
f
M
M
M
x y
x
y

=
=



= −
=






=
= −
=
 



Запишите:

3.1. выражение полного дифференциала функции 
(
)
,
z
f x y
=

в точке M ;

3.2. выражение дифференциала второго порядка функции 

(
)
,
z
f x y
=
в точке M ;

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

9

 

3.3. уравнение касательной плоскости к поверхности 

(
)
,
z
f x y
=
в точке, соответствующей точке M ;

3.4. градиент функции 
(
)
,
z
f
x y
=
в точке M .

Вычислите:

3.5. значение производной по направлению от точки M к 

точке N ;

3.6. приближенное значение функции в точке K . 

4. Найдите производную функции 
2
2
2
u
x y
xz
=
+
−
в точке 

(
)
1;1; 1
M
−
по направлению MN , если 
(
)
2; 1;3
N
−
.

5. Проверьте, являются ли точки 
(
)
1 1; 6
M
и 
2

1 ;1
2
M 







точками 

экстремума функции 
3
2
2
2
z
x
xy
y
=
−
+
. Если являются,

укажите их характер (минимума или максимума).

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

10 

 

Вариант 3

1. Найдите частные производные первого порядка для функций: 

а) 
1
ln
z
y
x
=
б) 
2
2 2
3
2
2
x yz
y z
y
−
+
=

2. Найдите частные производные второго порядка

2
2
2

2
2
;
;
z
z
z

x y
x
y




 



функции
ln y
z
x
=
.

3. Известно, что функция 
(
)
,
z
f
x y
=
непрерывно 

дифференцируема в некоторой области D , содержащей точки 

(
)
(
)
(
)
1;2 ,
1; 3 ,
0,98;1,8
M
N
K
−
−
−
, при этом:

(
)
(
)

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

2
2
2

2
2

1;
8;

10;
2;

4;
0;
1.

f M
f N

f
f
M
M
x
y

f
f
f
M
M
M
x y
x
y

=
=



=
=






=
=
= −
 



Запишите:

3.1. выражение полного дифференциала функции 
(
)
,
z
f x y
=

в точке M ;

3.2. выражение дифференциала второго порядка функции 

(
)
,
z
f x y
=
в точке M ;