Математический анализ. Прикладные задачи

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
А.Н. БУРОВ, Н.Г. ВАХРУШЕВА 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ  
АНАЛИЗ 
 
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ  
 
Учебно-методическое пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

 

УДК 517(075.8) 
        Б 916 
 
 

Рецензенты:  

 канд. пед. наук, профессор кафедры геометрии НГПУ А.И. Хасанов 
канд. физ.-мат. наук, доцент Г.Н. Миренкова 
 
 
 
Буров А.Н. 
Б 916   
Математический анализ. Прикладные задачи: учебно-методическое пособие / А.Н. Буров, Н.Г. Вахрушева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 79 с. 

ISBN 978-5-7782-3649-3 

Настоящее пособие подготовлено для студентов 1 курса технических специальностей и направлений всех факультетов. Авторы включили в него задачи технической и прикладной направленности, при 
решении которых используются методы математического анализа от 
самых элементарных до продвинутых методов рядов и интегралов 
Фурье, а также вариационных методов. Все задачи снабжены подробными решениями и комментариями, проясняющими физический и 
содержательный смысл полученных результатов. 
 
 
Работа подготовлена на кафедре высшей математики и утверждена  
Редакционно-издательским советом университета 
 в качестве учебно-методического пособия для студентов 
I курса технических специальностей и направлений высших 
технических учебных заведений 
 
УДК 517(075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-3649-3  
 
 
 
 
 Буров А.Н., Вахрушева Н.Г., 2018 
 Новосибирский государственный 
    технический университет, 2018 

 

ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ 

Часто приходится слышать от студентов: 
– Зачем нам Ваша математика? Где это пригодится? Вот мой товарищ пришел на производство, и там ему ничего не пригодилось. 
По большому счету, можно при ответе на этот вопрос сослаться на 
историю математики, развивавшейся совместно с другими естественными науками и приведшей к тому, что мы имеем; можно вспомнить 
известные выражения про математику – царицу наук и другие не менее 
известные и справедливые высказывания; можно посетовать на развитие того производства, где работает товарищ, хотя сам вопрос предполагает некоторую некомпетентность спрашивающего в том, о чем он 
спрашивает. 
Мы решили в качестве ответа предложить небольшую часть из 
необъятного количества задач, при решении которых (после грамотного создания математической модели) нужны математические знания. 
Задачи эти в большинстве своем несложные, и их нельзя строго разграничить по темам, как и бывает в жизни, но можно на их примере 
увидеть способы применения методов математического анализа в механике, электротехнике, гидродинамике. 
Не претендуя на эксклюзивность, надеемся на понимание. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Приступая к созданию настоящего учебного пособия, авторы ясно 
представляли себе, что взялись за весьма непростую задачу. Приложения математики очень многообразны, часто лежат на стыке различных 
научных дисциплин, что предполагает высокую научную квалификацию пишущих на заданную тему. Тем не менее мы начали эту работу, 
движимые осознанием важности обучать студентов не только чисто 
математическим фактам и теоремам, но и применениям этих фактов и 
теорем в различных смежных дисциплинах, часто имеющих важное 
практическое значение в самом прямом смысле этого слова. 
Следующий момент – отбор тем и задач внутри выбранного раздела. Здесь, несмотря на то что существуют проверенные временем программы обучения, а также традиционный набор задач и методов их 
решения, остается широкое поле для маневра, поскольку множество 
задач, представляющих интерес, поистине необъятно, и на первый 
план выходят личные вкусы и пристрастия авторов. Темы, на которых 
мы остановились, ясны из оглавления, поэтому приведем необходимый минимум пояснений. 
Стиль изложения выбран следующий: формулировка задачи – 
ее решение. Если теоретические сведения, необходимые для решения 
задачи, выходят за рамки стандартного курса, они, как правило, приводятся, прежде чем задача будет сформулирована. Степень детализации 
изложения зависит от того, насколько методы доказательств поучительны и как часто они используются при решении конкретных задач. 
Выкладки, необходимые для решения задач, приведены в достаточной 
степени неровно: там, где это стандартные, хорошо знакомые читателю приемы, изложение не является подробным – часть очевидных расчетов опускается; там же, где главная суть решения состоит в применении красивого, нестандартного приема, замене переменных или других аналитических ухищрений, мы подробнейшим образом приводим 
все расчеты. 

Тема «Элементарные методы математического анализа» представляется нам необходимой, поскольку это мостик, перекинутый от 
школьных элементарных методов к методам высшей математики. Задачи мы брали в основном из материалов современного единого государственного экзамена (ЕГЭ). Наиболее интересные из этих задач 
весьма поучительны. 
Разделы «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление» являются стандартными, представляющими саму суть применения методов математического анализа к прикладным задачам, а вот 
главы о дифференциальных уравнениях, рядах и рядах Фурье, вариационных методах отличаются более высоким уровнем как постановки 
задач, так и методов их решения. Нередко изложенное здесь выходит 
за пределы стандартного курса математического анализа и специальных глав математического анализа, тем более интересны и поучительны, с нашей точки зрения, рассмотренные факты. 
Везде, где это  уместно, мы приводим исторические сведения. 
Завершая это короткое введение, следует сказать, что пособие 
предназначено как для студентов, желающих повысить свой математический и общий уровень, так и для преподавателей, которые могут 
найти в нем много того, что можно включить в свою обычную работу. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ 
 МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 

Начнем с минимума специфических средств математического анализа. Задачи элементарные, похожие вы встречали в вариантах ЕГЭ. 
Однако во многих из них встречаются «изюминки», «подводные камни», потому эти задачи интересны и поучительны. 

1.1. Зависимость температуры в градусах Кельвина от времени в 
минутах для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задается формулой 
2
0
( )
,
T t
T
at
bt



 где 
0
900 К,
T 
 
31К / мин,
a 
 

2
0,2 К / мин .
b  
 Известно, что при температуре свыше 1550 К  прибор может испортиться.  
Найдите, через какое максимальное время после начала работы 
прибор следует отключить. 

Р е ш е н и е . На первый взгляд задача сводится к решению квад
ратного уравнения 
2
900 31
0,2
1550.
t
t



 Его корни 1
25,
t 
 2
130.
t 
 
Недостаточно глубокое проникновение в смысл задачи, а надо найти 
максимальное время, провоцирует на неверный ответ 
130 мин.
t 
 
Дело в том, что у квадратичной функции (парабола ветвями вниз) при 

1
2
77,5мин
2
t
t
t



 будет максимальное значение, равное 2101,5 К 

1550 К,

 а это означает, что до достижения времени 
130 мин
t 
 
прибор сгорит. Полученные результаты показывают, что на промежутке 


0,25
t
 температура равномерно поднимается от 900 до 1550 К, и 
правильным ответом будет 25 мин.  

1.2. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки 
в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным 
расстоянием 
40 см.
f 
 Расстояние 
1
d  от линзы до лампочки может 
изменяться в пределах от 30 до 60 см,  а расстояние 
2
d  от линзы до 
экрана – в пределах от 180 до 200 см. Изображение на экране будет 

четким, если выполнено соотношение 

1
2

1
1
1 .
d
d
f


 Укажите, на каком 

наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы 
ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах. 

Р е ш е н и е .  Так как 

1
2

1
1
const,
d
d


 то увеличение 
2
d  влечет за 

собой уменьшение 
1,
d  значит, искать минимальное значение 
1
d  надо 

при наибольшем 
2.
d
 Получим 

1

1
1
1 ,
200
40
d 

 

1

1
1
1
1 ,
40
200
50
d 


 



1
50
30,60 .
d 

  

Ответ: 50 см.  
Заметим, что без последней проверки решение не будет корректным. 

1.3. При вращении ведра с водой на веревке в вертикальной плоскости вода не выливается из него, если сила ее давления на дно неотрицательна во всех точках траектории. В верхней точке сила давления 

воды на дно минимальна и равна 


2
,
v
P
m
g
H
L











 где m  – масса 

воды, кг; v  – скорость движения ведра, м;
с  L – длина веревки, м; 

2
м
10
с
g 
 – ускорение свободного падения. С какой минимальной ско
ростью v  надо вращать ведро, чтобы вода не выливалась из него, если 

длина веревки равна 48,4 см?  Ответ дайте в м .
с  

Р е ш е н и е  задачи задается неравенством 

2
0.
v
P
m
g
L












 Дли
на 
48,4 см
0,484 м,
L 

 откуда 2
0,484 10
4,84.
v
Lg




  

Ответ: 
м
4,84
2,2
.
с
v 

 

Здесь «подводный камень» в неправильном использовании системы измерения единиц – можно получить неверный ответ: 22. 

1.4. На рельсах стоит платформа. Скейтбордист прыгает на нее со 

скоростью 
м
3 с
v 
 под острым углом   к рельсам. От толчка плат
форма начинает двигаться со скоростью 
м
cos
,
с
m
u
v
m
M








 где 

80 кг
m 
 – масса скейтбордиста со скейтом, а 
400 кг
M 
 – масса 
платформы. Под каким максимальным углом   (в градусах) нужно 

прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 
м
0,25
?
с
 

Р е ш е н и е .  Должно быть выполнено неравенство 
m
u
m
M



 

cos
0,25
v

 
. Подставив наши данные, получим 
80
1
3cos
,
80
400
4
 

 

что дает 
1
cos
.
2
 
 Значит, 
60 .
 
   

Ответ: 60 .  
Заметим, что здесь надо учесть убывание косинуса в первой четверти, иначе можно получить абсурдный ответ: 90 ,  т. е. прыгать на 
платформу надо перпендикулярно движению. Из правильного решения 
следует, что максимальная скорость будет при 
0 ,
    т. е. прыгать 
надо вдогонку. 

1.5. Количество вещества в реакторе в каждый момент времени t 
определяется по формуле 
0
,
kt
M
m e

 где t – время, измеряемое в сут

ках. Через 30 суток количество вещества уменьшилось в 10 раз. Через 
сколько суток после начала процесса количество вещества станет не 
более 1 % от первоначального? 

Р е ш е н и е . Подставим 
30
t 
 в формулу для зависимости M  от .t  

Получим 
30
0
0
,
10

k
m
m e

 
откуда 
1
30
ln
ln10.
10
k


 
 
Значит, 

ln10.
30
k 
 Для нахождения искомого времени 
,
T  при котором 

0 ,
100
m
M 
 составим уравнение 
0
0
.
100

kT
m
m e

 Решив его, получим  

2
ln100
30ln10
30 2 ln10
60.
ln10
ln10
T
k
 




 

Ответ: 
60 суток.
T 
 

1.6. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический 
сигнал, изменяющийся со временем по закону 
0 cos(
),
U
U
t

    

где t  – время в секундах, амплитуда 
0
2 ,
U
B

 
240 с
 
  – частота, 

120
  
  – фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нем 
не ниже, чем 1 В,  загорается лампочка. Какую часть времени  
(в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы 
лампочка будет гореть? 

Р е ш е н и е . Переведем градусы в радианы, так как считать будет 

легче, а доля угла (проценты) от единиц измерения не зависит: 
4 ,
3

 
 

2 ,
3

  
 
4
2
2
2
,
3
3
3
3
t






 

 




 при 


0,1 .
t 
 Задача сводится к 

решению неравенства 
2cos
1
   или 
1
cos
2
 
 на промежутке 

2
2
,
.
3
3









 Решением будет отрезок 
,
.
3 3
 







 Его длина равна 

2 ,
3
3
3





 





 что в два раза меньше длины отрезка 
2
2
,
.
3
3









  

Ответ: 50 %. 

1.7. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 
1
90 Ом.
R 
 Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите 
наименьшее возможное сопротивление 
2
R  этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями 
1
R  и 
2
R  их общее сопротивление дается 

формулой 
1 2

1
2
,
R R
R
R
R


 а для нормального функционирования элек
тросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. 
Р е ш е н и е .  Формулу для нахождения R  можно переписать в виде 

1
2

1
1
1 .
R
R
R


 Тогда 

2

1
1
1 ,
9
90
R


 

2

1
1
1
1 ,
9
90
10
R 


 
2
10 Ом.
R 
 

1.9. Гражданин Иванов располагает суммой 1 099 000 руб., которую планирует потратить на приобретение акций двух компаний. Акции первой компании стоят 21 000 руб. и дают доход 2000 руб. в год, 
акции второй компании стоят 49 000 и приносят доход 4500 руб. в год. 
На какую наибольшую сумму в год может рассчитывать Иванов? 

Р е ш е н и е .  Обозначив через x и y  количества акций, получим 

уравнение 21
49
1099.
x
y


 Отсюда 
157
3 .
7

x
y


 Годовой доход 

 
157
3
500
706 500
200
4500
2000
4500
.
7
7
x
x
f x
x
y
x







 

Функция линейная возрастающая, значит, принимает наибольшее 
значение при наибольшем возможном значении .x  Поскольку x и y – 
натуральные числа, интересующее нас решение 
50,
x 
 
1,
y 
 что лег