Математический анализ. Практикум по подготовке к контрольным работам во втором семестре

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 

Е.А. Лебедева, О.В. Шеремет 

 
 
 
 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 

 

ПРАКТИКУМ ПО ПОДГОТОВКЕ  

К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ  

ВО ВТОРОМ СЕМЕСТРЕ 

 
 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

НОВОСИБИРСК 

2020 
 

 

УДК 517(075.8) 
          Л33 

 
 

Рецензенты: 

Н.И. Лыгина, канд. пед. наук, доцент 

Л.В. Павшок, канд. физ.-мат. наук, доцент  

 

Утверждено Редакционно-издательским советом университета  

в качестве учебно-методического пособия  

 
 

Лебедева Е.А. 

Л33             Математический анализ. Практикум по подготовке к контрольным 

работам во втором семестре: учебно-методическое пособие/ Е.А. Лебедева, О.В. Шеремет. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. – 144 с. 

 

ISBN 978-5-7782-4093-3 

 

Практикум является составной частью комплекта учебно-методических 

пособий по курсу математического анализа, предназначенных для подготовки 
и проведения контрольных и проверочных работ по темам: «Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих переменных», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Числовые и функциональные ряды. Ряды 
Фурье». Содержит указания и примеры решения задач по основным темам второго семестра, а также примерные варианты контрольных работ для самопроверки. 

Пособие рекомендовано студентам I курса очного и заочного отделений 

технических направлений и специальностей для самостоятельной подготовки к 
контрольным работам, и так же будет полезно преподавателям в качестве дидактического материала при проведении практических занятий для студентов. 

 
 
 
 

УДК 517(075.8) 

 

ISBN 978-5-7782-4093-3                                           © Лебедева Е.А., Шеремет О.В., 2020 

       © Новосибирский государственный 

технический университет;  2020 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Данное пособие предназначено для подготовки к контрольным ра
ботам по следующим темам курса «Математический анализ»: 

 
дифференциальное исчисление функций многих переменных; 

 
интегральное исчисление функций многих переменных; 

 
обыкновенные дифференциальные уравнения; 

 
числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. 

В пособии приведены краткие теоретические сведения, необходи
мые для решения типовых задач, рассмотрены примеры их решения. 
Каждый раздел содержит образцы контрольных работ, соответствующие сборнику авторов «Математический анализ. Сборник задач для контрольных работ во втором семестре». 

Пособие рекомендовано, в первую очередь, студентам для самосто
ятельной подготовки к контрольным работам, а также преподавателям 
для проведения семинарских занятий. 

 
 

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 

 

Для выполнения контрольной работы по теме «Дифференциальное 

исчисление функции многих переменных» студенту необходимо  

ЗНАТЬ: 

 
способы задания функции многих переменных, геометрическое 
представление множества значений функции двух переменных; 

 
определение частной производной функции нескольких переменных 
по каждой из независимых переменных, понятия производных высших порядков, смешанных производных, теорему о смешанных производных; 

 
определение и формулу полного дифференциала первого порядка и 
формулы дифференциалов высших порядков функции двух переменных; 

 
теорему существования неявно заданной функции двух переменных, 
правило дифференцирования функции, заданной неявно; 

 
понятие касательной плоскости и нормали к поверхности, уравнения 
касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной явно и 
неявно; 

 
понятие экстремума функции двух переменных, формулировку необходимого и достаточного условий экстремума функции двух переменных; 

 
понятия скалярного поля, линий и поверхностей уровня, производной скалярного поля по заданному направлению; 

 
понятие 
градиента, 
его 
свойства 
и 
физический 
смысл. 

 

 
 

УМЕТЬ: 

 
находить частные производные функции нескольких переменных по 
каждой из независимых переменных, находить производные высших порядков, смешанные производные; 

 
находить частные производные первого порядка функции, заданной 
неявно; 

 
записывать полный дифференциал первого порядка для функции 
двух переменных и применять его для приближенных вычислений;  

 
записывать формулы дифференциалов высших порядков функции 
двух переменных; 

 
записывать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной явно и неявно; 

 
определять точки экстремума функции двух переменных, заданной 
явно, и исследовать их характер. 

Примеры решения задач 

Пример 1.1. Для функции 
arctg y
z
x

 найти частные производные пер
вого и второго порядков. 

Если 


,
z
z x y

 – явно заданная функция двух независимых перемен
ных x  и y , то для определения частной производной функции z  по пе
ременной x  вторая переменная y  рассматривается как величина посто
янная. Частная производная функции 


,
z
z x y

 по переменой x  обо
значается 


,
x
x

z
z
f
x y
x






. 

Аналогично для определения частной производной функции z  по переменной 
y  вторая переменная x  рассматривается как величина 

постоянная. Частная производная функции 


,
z
z x y

 по переменой y  

обозначается 


,
y
y

z
z
f
x y
y






. 

Частные производные находят по формулам и правилам дифференцирования функций одной переменной. Этот принцип сохраняется и при повторном дифференцировании. Если рассматривать частные производ
ные z

x

  и z

y

  как функции от переменных x  и y , то эти функции могут 

иметь частные производные, их называют частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом: 




2

2
,
xx
xx

z
z
z
f
x y
x
x
x



















 

 – частная производная второго порядка по переменной x ,  




2

2
,
yy
yy

z
z
z
f
x y
y
y
y



















 

 – частная производная второго порядка по переменной y , 




2

,
xy
xy

z
z
z
f
x y
x y
y
x













 





, 



2

,
yx
yx

z
z
z
f
x y
y x
x
y













 





 

 – смешанные производные второго порядка. 

Решение. Найдём частные производные первого порядка: 

2

2
2
2
2
2
2

2

1
arctg

1
x
x

z
y
y
x
y
y

x
x
x
y
x
y
x
x
y

x














 

















, 

2

2
2
2
2
2

2

1
1
arctg

1
y
y

z
y
y
x
x

y
x
x
x
y
x
y
x
y

x


























. 

Частные производные второго порядка: 






2

2
2
2
2
2
2
2
2
2

1
2
2

x

z
z
y
xy
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
y














 
 


























, 






2

2
2
2
2
2
2
2
2
2

1
2
2

 
y

z
z
x
xy
x
y
y
y
y
x
y
x
y
x
y











































. 

Смешанные производные второго порядка: 









2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2

1
2

.

y

x
y
y
y
z
z
y
y
x

x y
y
x
x
y
x
y
x
y















 
 







 










 

(Производную второго порядка 

2z
y x

   найдите самостоятельно и убеди
тесь, что 

2
2
z
z

x y
y x




 
  ). 

Пример 1.2. Составить формулу полного дифференциала для функции 

2

sin x
z
y

. 

Если функция двух переменных


,
z
f x y

 имеет непрерывные частные 

производные 
xz  и 
y
z  в точке 


,
M x y , то она дифференцируема в этой 

точке и ее полный дифференциал выражается формулой: 





,
,
x
y
dz
f
x y dx
f
x y dy




, 

где dx
x
   и dy
y
   – дифференциалы независимых переменных. 

 

Решение. Найдем частные производные первого порядка: 

2
2
2
2
2
sin
cos
cos
x

x
x

z
x
x
x
x
x
f
x
y
y
y
y
y








 

















, 

2
2
2
2
2

2
sin
cos
cos
y

y
y

z
x
x
x
x
x
f
y
y
y
y
y
y








 


 














. 

Запишем полный дифференциал заданной функции  

2
2
2

2

2 cos
cos
x
x
x
x
dz
dx
dy
y
y
y
y



. 

Пример 1.3. Вычислить приближённое значение выражения

3,01
1,03
. 

Полный дифференциал dz  функции двух переменных есть главная 
часть её приращения 
z
 , линейная относительно x
  и y
 . При малых 

приращениях независимых переменных 
z
dz
 
, и вычисление прира
щения функции заменяют вычислением её дифференциала.  

Формула для вычисления приближённого значения функции имеет вид: 











0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
z
z
z x y
z x
x y
y
z x
y
x
y
x
x
y
y
x
y




 
 


  



. 

Это приближенное равенство тем более точно, чем меньше величины 

x
  и y
 . 

Решение. Рассмотрим функцию 

 , 
y
z x y
x

. 

По условию задачи 
1,03 , 
3,01
x
y


. 

Подберем 
0x  и 
0
y , близкие к x  и y : 

0
1
x  , 
0
3
y 
, 

тогда 

0
1,03 1
0,03
x
x
x
 


 
, 
0
3,01
3
0,01
y
y
y
 




, 





3

0
0
,
1;3
1
1
z x
y
z


 ; 




1
y
y

x

z
x
yx
x







, 


ln
y
y

y

z
x
x
x
y





, 





2

0
0
,
1,3
3 1
3
z
z
x
y
x
x




 



, 




3

0
0
,
1,3
1
ln1
0
x
z
x
y
y
y









. 

Значит, 

3,01
1,03
1
3 0,03
0 0,01 1,09
  
 

. 

Пример 1.4. Записать формулу дифференциала второго порядка 
2
d z  

для функции 


ln
z
x
y


. 

Пусть функция 


,
z
f x y

 имеет непрерывные частные производные 

второго порядка, дифференциал от дифференциала первого порядка 



2
d z
d dz

 называется дифференциалом второго порядка. При усло
вии, что dx  и dy  постоянны, дифференциал второго порядка определя
ется по формуле: 







2
2
2
,
2
,
,
xx
xy
yy
d z
f
x y dx
f
x y dxdy
f
x y dy






 

(здесь приняты обозначения 


2
2
dx
dx

, 


2
2
dy
dy

). 

Аналогично дифференциал от дифференциала второго порядка 




2
3
d d z
d z

 называется дифференциалом третьего порядка и опреде
ляется по формуле: 

3
3
3
3

3
3
2
2
3

3
2
2
3
3
3
z
z
z
z
d z
dx
dx dy
dxdy
dy

x
x
y
x y
y













 


. 

Решение. Найдем предварительно частные производные первого и 
второго порядка данной функции: 

1

xz
x
y

 

, 
1

y
z
x
y

  

, 



2

1

xx
z

x
y

  



, 



2

1

xy
z

x
y

 



, 



2

1

yy
z

x
y

  



, 

тогда  








2
2
2

2
2
2

1
2
1
d z
dx
dxdy
dy

x
y
x
y
x
y

 







. 

Полученный результат можно преобразовать к виду: 


 







2

2
2
2

2
2

1
2
dx
dy
d z
dx
dxdy
dy

x
y
x
y


 


 




. 

Пример 1.5. Найти частные производные первого порядка 
,
z
z

x
y





  функ
ции 
2
x
z
y
z


. 

Функция 


,
z
z x y

 называется неявной, если она задается уравнением 



, ,
0
F x y z 
, неразрешенным относительно z . Если функция F  диф
ференцируема в некоторой точке 


0
0
0
,
,
P x
y
z
 и 


0
0
0
,
,
0
z
F
x
y
z


, то 

функция z  дифференцируема в точке 


0
0
,
M x
y
, и ее частные произ
водные в этой точке определяются по формулам: 









0
0
0

0
0

0
0
0

,
,
,
,
,

x

z

F
x
y
z
z x
y
x
F
x
y
z



 


, 








0
0
0

0
0

0
0
0

,
,

,
,
,

y

z

F
x
y
z
z x
y
y
F
x
y
z



 


. 

Если уравнение 


1
2
,
,...,
,
0
n
F x x
x u 
 задает неявную функцию 



1
2
,
,
n
u
u x x
x


, тогда частные производные функции u  находят по 

аналогичным формулам: 

1

1

x

u

F
u
x
F



 


, … ,
nx

n
u

F
u
x
F



 


.