Математический анализ. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы уравнений. Сборник индивидуальных заданий

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 

И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 

Утверждено Редакционно-издательским советом университета 

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2019

УДК 517(075.8)

М 34

Рецензенты:

Н.С. Аркашов, канд. физ.-мат. наук, доцент 

С.Н. Веричев, канд. техн. наук, доцент

М 34
Математический 
анализ. 
Обыкновенные 
дифференциальные 

уравнения и системы уравнений. Сборник индивидуальных 
заданий: учебное пособие/ Под ред. Г. В. Недогибченко, О.В. Шеремет. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 150 с.

ISBN 978-5-7782-3997-5

Сборник представляет собой седьмую часть общего банка индивидуальных 

заданий из 5 000 задач, сгруппированных в 200 разделов по 25 вариантов в 
каждом в соответствии с основным содержанием курса математического 
анализа для студентов 1 курса технических специальностей НГТУ. В эту часть 
включены задачи из 33 разделов по теме «Обыкновенные дифференциальные 
уравнения и системы уравнений».

Сборник предназначен для студентов I курса технических специальностей и 

преподавателей, может быть использован на практических занятиях в течение 
семестра в виде тестов в бумажном или компьютерном вариантах наряду с 
обычным методом проведения практических занятий, а также для организации 
самостоятельной работы студентов.

Задания седьмой части составили: Г.В. Недогибченко, В.И. Икрянников, 

Г.А. Кузин, 
О. В. Шеремет,
Б.С. Резников, 
Л.В. Павшок, 
С.А. Зорин, 

Е.А. Лебедева.

УДК 517(075.8)

ISBN 978-5-7782-3997-5
© Коллектив авторов, 2019
© Новосибирский государственный

технический университет, 2019

СТУДЕНТАМ

Решая задачу, доводите решение до конца: часто предложенные 

варианты ответов провоцируют на выбор неправильного.

Анализируя предложенные варианты ответов, просмотрите их все: 

верных ответов может быть несколько.

ОГЛАВЛЕНИЕ

7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И 

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ..................................................................................6 

7.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ...............6 

7.1.1. Выбор решения задачи Коши....................................................................6 
7.1.2. Понятие общего решения уравнения........................................................9 
7.1.3. Выбор уравнений с разделяющимися переменными ............................13 
7.1.4. Выбор однородных уравнений................................................................16 
7.1.5. Выбор уравнений в полных дифференциалах .......................................20 
7.1.6. Выбор линейных уравнений....................................................................23 
7.1.7. Выбор уравнений Бернулли.....................................................................26 
7.1.8. Определение типа уравнения ..................................................................29 
7.1.9. Общий интеграл дифференциального уравнения (в полных 
дифференциалах)................................................................................................30 
7.1.10. Нахождение общего решения................................................................33 
7.1.11. Решение задачи Коши ............................................................................36 
7.1.12. Замена функции в дифференциальном уравнении ..............................40 
7.1.13. Численные методы решения уравнения 
( , )
y
f x y
 =
........................43 

7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ..........50 

7.2.1. Выбор корректных постановок задачи Коши ........................................50 
7.2.2. Понижение порядка уравнения 1 (выбор уравнений) ...........................57 
7.2.3. Понижение порядка уравнения 2 (определение типа) ..........................60 
7.2.4. Понижение порядка 3 (определение типа) .............................................61 
7.2.5. Выбор линейных уравнений....................................................................62 
7.2.6. Системы линейно независимых функций ..............................................67 
7.2.7. Общее и частное решения 1.....................................................................70 
7.2.8. Общее и частные решения 2....................................................................73 

7.2.9. Формула Остроградского-Лиувилля: 

1( )

2
1
2
1

p
x dx
e
y
y
dx

y

−
=

..................76 

7.2.10. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами81 
7.2.11. Структура общего решения линейного уравнения..............................86 
7.2.12. Специальная правая часть .....................................................................95 
7.2.13. Метод вариации постоянных (вид системы)........................................97 
7.2.14. Вид общего решения 1 (комплексные корни, правая часть 
специального вида)...........................................................................................105 
7.2.15. Вид общего решения 2 (кратные корни, правая часть специального 
вида)...................................................................................................................111 
7.2.16. Решение уравнения 1............................................................................117 

7.2.17. Решение уравнения 2............................................................................124 

7.3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.............................129 

7.3.1. Сведение системы к одному уравнению ..............................................129 
7.3.2. Решение системы дифференциальных уравнений ..............................134 
7.3.3. Решение системы по собственным числам и векторам матрицы.......141 

7.1. Дифференциальные уравнения I 
порядка

7.1.1. Выбор решения задачи Коши

6

7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И 
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

7.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

7.1.1. Выбор решения задачи Коши
Составители: Т. И. Ерзина, Г. В. Недогибченко

Укажите решение поставленной задачи Коши:

№
Условие задачи
Варианты ответов

1
( )
2
1,
1
5
2
1

y
y
y
x

−
 =
=
+

1) 
3
2
2
y
x
=
+
2) 
2
3
3
y
x
=
+

3) 
2
3
y
x
=
+
4) 
3
2
y
x
=
+

2
(
)
(
)

2
2
1 ,
1
y
x y
y
 =
+
 =

1) 
2
cos2
y
x
=
2) 

2
x
y
e
=

3) 

2

tg 4

x
y =
4) 

2

tg 6

x
y =

3
( )
sin ,
y
y
x
y
e
 =
 =
1) 
sin x
y
e
=
2) 
cos x
y
e−
=

3) 
1 sin x
y
e +
=
4) 
1 tg x
y
e +
=

4
( )
2
3
,
1
y
x y
y
e
 =
=
1) 
x
y
e
=
2) 

3
x
y
e
=

3) 
3
2
x
y
e
−
=
4) 
2
x
y
e −
=

5
( )
,
1
y
y
e
y e
−
 =
=

1) 
2
ln
y
x
=
−
2) 
ln
1
y
x
=
−

3) 
ln
y
x
=
4) 
3ln
1
y
x
=
−

6
( )
2 ,
4
4
3

y
y
y
x

−
 =
=
−

1) 
8
y
x
=
−
2) 
2
4
y
x
=
−

3) 
3
6
y
x
=
−
4) 
2
2
y
x
=
−

7
( )
cos
,
0
2

y
y
x e
y
−

 =

=
1) 
sin x
y
e
=
2) 
(
)
ln 2
sin
y
x
=
−

3) 
ln cos
y
x
=
4) 
lnsin
y
x
=

8
(
)
,
5
2
x
y
y
y
 = −
= −

1) 
2
2cos
y
x
=

2) 
2
2sin
y
x
=


3) 
2
9
y
x
= −
−
4) 

2

1

9

y

x

= −

−

9
( )
cos ,
2
y
y
x
y
e

 =
=

1) 
cos x
y
e
=
2) 
1 cos x
y
e +
=

3) 
sin x
y
e
=
4) 

2
sin
x
y
e
=

7.1. Дифференциальные уравнения I 
порядка

7.1.1. Выбор решения задачи Коши

7

Укажите решение поставленной задачи Коши:

10
( )
3
,
1
ln3
y
y
e
y
−
 =
=

1) 
(
)
ln 6
3
y
x
=
−
2) 
(
)

2
ln 3
1
y
x
=
+

3) 
(
)

3
ln
3
y
x
=
+
4) 
(
)
ln 3
y
x
=

11
3
2 ,
3
1

y
y
x

+
 =
−
( )
1
0
y
=

1) 
1
y
x
=
−
2) 
1
y
x
= −

3) 
1
y
x
=
+
4) 
1

3

x
y
−
=

12
2
1
,
2
y
y
 = +
( )
0
0
y
=

1) 
tg 2

x
y =
2) 
(
)
cos 2
y
x
=

3) 
(
)
tg 2
y
x
=
4) y =
2x
e

13
2
,
y
xy
 =
( )
1
y
e
= −
1) 

2
x
y
e
=
2) 
2
1
x
y
e
−
= −

3) y =
x
e−
4) 

2
x
y
e
= −

14
2
,
y
y
e
 = −
( )
1
2
e
y
= −

1) 
(
)
ln 2
2
y
x
=
−
2) 
(
)
ln 2
y
x
= −

3) 
ln 2

x
y = −
4) 
(
)
2
ln 2
y
x
=
−

15
3

2
,

y
e
y

x

 =
( )
1
0
y
=
1) 
2ln
y
x
= −
2) 
2
ln
y
x
=

3) 
ln
y
x
=
4) 
(
)
ln 2
1
y
x
=
−

16
4 ,
x
y
y
 = −
( )
1
2
y
=
1) 
2
2
y
x
=
−
2) 
2
2
y
x
=
−

3) 
2
2
2
y
x
=
−
4) 
2
2 2
y
x
=
−

17
2
sin ,
y
y
x
 = −

( )
1
2
y  =
1) 
2sin x
y
e
=
2) 
1 sin x
y
e −
=

3) y =
2cos x
e
4) 
cos x
y
e
=

18
3
cos ,
y
y
x
 = −

( )
1
y  =
1) 
sin x
y
e−
=
2) 
3sin x
y
e−
=

3) y =
3cos x
e
4) 
cos x
y
e−
=

19
3
5 ,
3
1

y
y
x

−
 =
−
( )
1
3
y
=
1) y = 2
1
x +
2) y =
2
x +

3) y = 2
1
x −
4) y =
2
x −

20
3
4
,
y
x y
 =
( )
1
y
e
=

1) 
4
ln
y
x
=
2) 
4 3x
y
e −
=

3) y =

4
x
e−
4) 

4
x
y
e
=

7.1. Дифференциальные уравнения I 
порядка

7.1.1. Выбор решения задачи Коши

8

Укажите решение поставленной задачи Коши:

21
sin ,
y
y
e
x
−
 = −

( )
0
0
y
=

1) 
lnsin
y
x
=
2) 
(
)
ln 2
cos
y
x
=
−

3) 
ln cos
y
x
=
4) 
ln cos
y
x
= −

22
1
,
2

y
y
e−
 =

( )
2
0
y
=

1) 
(
)
ln 2
3
y
x
=
−
2) 
ln 2

x
y =

3) 
2
ln
y
x
=
4) 
(
)
ln 2
y
x
=

23
(
)

2
2
1 ,
1
2
y
x y
y


 =
+
=





1) 
2
tg
y
x
=
2) 
2
tg(2
)
y
x
=

3) 
2
ctg
y
x
=
4) 
2
tg
y
x
= −

24
,
x
y
y
 = −
( )
0
1
y
= −

1) 
2
1
y
x
=
−
2) 

2

1

1

y

x

=

−

3) 
2
1
y
x
= −
−
4) 

2

1

1

y

x

= −

−

25
2 ,
3

y
y
x

+
 =
−
( )
1
0
y
=
1) y =
1
x −
2) y =
1
x
− −

3) y = 2
2
x −
4) y =
1
x
− +

7.1. Дифференциальные I порядка 
7.1.2. Выбор общего решения 

уравнения

9

7.1.2. Понятие общего решения уравнения
Составители: Т. И. Ерзина, Г. В. Недогибченко

Укажите дифференциальное уравнение, для которого изображенные кривые 
являются интегральными кривыми

№
Условие задачи
Варианты ответов

1

1) 
2
3
y
x
 =
2) 
3
xy
y
 =

3) 
3
xy
y
 = −
4) 
3
xy =

2

1) 
y
y
e−
 =
2) 
ln
y
y
x
x
 =

3) xy
y
 = −
4) 
1
xy =

3

1) 
y
y
x
 =
2) 
2
xy
y
x
 +
=

3) xy
y
 = −
4) 
1
xy =

4

1) xy
y
 = −
2) 
1
xy =

3) 
y
y
e−
 =
4) 
ln
y x
x
y

=

5

1) 
ctg
y
y
x
 =
2) 
2
1
y
y
 =
−

3) 
2
1
xy
y
 =
−
4) 
2
1
y
y
 = −
−

7.1. Дифференциальные I порядка 
7.1.2. Выбор общего решения 

уравнения

10

Укажите дифференциальное уравнение, для которого изображенные кривые 
являются интегральными кривыми

№
Условие задачи
Варианты ответов

6

1) 
2
y
x
 =
2) 
2
y
y
 =

3) 
2
xy
y
 =
4) 
2
xy =

7

1) 
2
xy
y
x
 =
−
2) 
2
1
y
y
 =
−

3) xy
y
 =
4) 
1
xy =

8

1) 
2
y
xy
 =
2) 
2
y
y
 =

3) 
2
y
x
 =
4) 
2
xy
y
 =

9

1) 
(
)
2
1
xy
y
 =
+
2) 
2
y
x
 =

3) 
2
(
1)
y
y x
 =
−
4) 
2
(
1)
2
x
y
xy

−
=

10

1) 
y
y
e−
 =
2) 
ln
y
y
x
x
 =

3) xy
y
 = −
4) 
1
xy =

11
1) 
2
y
y
 =
2) 
2 /
y
y x
 =

3) 
/ 8
y
x
 =
4) 2y
y
 =