Математический анализ

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
О.Е. РОЩЕНКО 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 
АНАЛИЗ 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК  
2020 

УДК 517(075.8) 
Р 815 
 
 
Рецензенты: 
ст. преп. Е.В. Исаева 
преп. И.Н. Прохорова 
 
 
 
 
Рощенко О.Е. 
Р 815  
Математический анализ: учебное пособие / О.Е. Рощенко. – 
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. – 163 с. 

ISBN 978-5-7782-4195-4 

Пособие предназначено для студентов c ограниченными возможностями здоровья. В нем представлены важнейшие темы курса математического анализа. Оно содержит десять разделов, в каждом из которых даны теоретические положения, сопровождающиеся большим 
количеством примеров, и задачи для самостоятельного решения. Пособие может быть рекомендовано для самостоятельной работы студентов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
УДК 517(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-4195-4 
© Рощенко О.Е., 2020 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2020 

 
 
 
 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Настоящее пособие предназначено для студентов с ограниченными 
возможностями здоровья, в первую очередь для глухих и слабослышащих студентов технического направления обучения. 
Все разделы построены по единой схеме: краткие сведения теоретического характера сопровождаются большим количеством примеров. 
Каждый раздел содержит задачи для самостоятельного решения. 
Представленные в пособии разделы являются основными при изучении математического анализа, позволяют студентам систематизировать знания. Пособие представляет собой комплекс теоретического 
материала и разнообразных задач, поэтому работа по нему позволяет 
студентам развивать навыки самостоятельной работы с учебной литературой. 
Изложение материала адаптировано для хорошего восприятия студентами с ограниченными возможностями здоровья. 
 

 
 
 
 
 
 
 
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 
 
  
– следует, влечет за собой 
  
– равносильно, эквивалентно, тогда и только тогда, необходимо 
и достаточно 
  
– существует (квантор существования) 
x  
– существует, найдется хотя бы один  x 
x  – существует единственный  x 
  
– любой, каждый, всякий 
x  
– для любого  x,  для каждого  x 
 :  
– такой, что 
  
– и 
  
– или 
  
– пустое множество 
  
– строго принадлежит, содержится (символ принадлежности 
элемента множеству) 
,  – принадлежит, содержится 
 
– не принадлежит, не содержится 

A
B

 – множество А является подмножеством множества В 
\
A B   – разность множеств 
( )
D f
  
– область определения функции  f 
( )
E f   – множество значений функции  f 
(
; )
R     – множество действительных чисел 
(0; )
R 
  – множество действительных положительных чисел 
 

1. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ  
ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ  

1.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 

 
Пусть D, E – произвольные подмножества действительных чисел 
D
R

, E
R

. 
Определение. Если задано правило  f,  по которому каждому элементу x из множества D поставлен в соответствие единственный элемент y
E

, обозначаемый 
( )
y
f x

, то говорят, что на множестве D 
задана числовая функция 
( )
y
f x

. 
Множество D – область определения функции, множество E – 
множество значений функции: 


:
( ),
E
y
R y
f x x
D




.  
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой говорят, что она является функцией от этого аргумента. Все 
значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. 
Определение. Множество точек 
))
,  
(
(
x
f x
 плоскости Oxy называется графиком функции 
( )
y
f x

. 
Существует несколько способов задания функции: 1) аналитический (с помощью формулы); 2) графический; 3) табличный; 4) описательный. 
При аналитическом задании функция 
( )
y x  может быть задана неявно, когда x и y связаны между собой уравнением вида 
( ; )
0
F x y 
. 
Это уравнение может задавать не одну, а некоторое множество неявно 
заданных функций. Если уравнение можно разрешить относительно y, 
то получим функцию 
( )
y
f x

, заданную явно. 

Пример. 
3
2
3
3
2
2
4
8
0
8
4
8
4
x
y
y
x
y
x









. 

Задачи для самостоятельного решения 

Написать в явном виде функцию 
( )
y
f x

, заданную неявно следующими уравнениями: 

1) 6
3
1
0
x
y

 
;  
2) 5
2
8
0
x
y



;  
3) 
2
2
16
x
y


; 

4) 
3
(5
)sin
2
0
x
y
x



; 
 
5) 
3
7
4
9
0
x
y



. 

 

1.2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ 

Напомним следующие понятия. 
1. Нули функции находятся из решения уравнения 
( )
0
f x 
. 
2. 
( )
f x  – чётная функция  


 



 


:
( )
x
D f
x
D f
f
x
f x
  
 



, 

при этом график функции симметричен относительно оси OY. 
( )
f x  – нечётная функция 
 :
( )
(
)
( )
x
D f
x
D f
f
x
f x
  
 


 
, 
при этом график функции симметричен относительно начала координат. 
3. Периодичность: 
( )
f x  
– 
периодическая 
функция 
  


 





 
0:
:
.
T
x
D f
x
T
D f
f x
T
f x


 





 
4. Монотонность: 
 функция 
( )
f x  возрастает на X    
1
2
1
2
,
:
x x
X x
x



  

1
2
(
)
(
)
f x
f x


; 
 функция 
( )
f x  убывает на 
X  
  
1
2
1
2
,
:
x x
X x
x



  

1
2
(
)
(
)
f x
f x


. 
5. Функцию 
( )
f x  называют ограниченной сверху (снизу) на множестве 


X
D f

, если 
:
( )
,   ( ( )
)
M
R
x
X
f x
M
f x
M


 



. 
Функцию, ограниченную сверху и снизу на множестве  Х,  называют ограниченной на множестве  Х. 
6. Если условия пункта 5 не выполняются, то функция называется 
неограниченной. 

Задачи для самостоятельного решения 

Исследовать следующие функции на чётность: 

6) 
3
4
y
x
x


;  
7) 
2
4
2

7

x
y

x
x


; 
8) 
4
2
5
1
y
x
x


 ; 

9) 
2
y
x
x


; 
10) 
2

3
3
x
x
y



; 
11) 

3

5
2
2
9
log
7

x
x
y
x



. 

 
Определение. Если переменная y является функцией от u,  
т. е. 
( )
y
f u

, переменная u является функцией от x, т. е. 
( )
u
x
 
,  
то  y  является сложной функцией от  x,  т. е. 
( ( ))
y
f
x


, 
y – сложная функция независимого аргумента x; 
u – промежуточный аргумент. 

Пример. Сложную функцию 
2
3
4(
1)
y
x



 можно представить 

в 
виде 
следующей 
цепочки 
элементарных 
функций: 
,
у
z

 

2
3
4
,
z
u


 
1
u
x

 . 

Задачи для самостоятельного решения 

Выразить  у  как функцию  x:  

12) 
tg
y
z

, 
3
z
t

,  
2
t
x


;  13) 
0,2
log
(1
)
y
u


,  
3
v
u
e 

,  
3
v
x

;  

14) 
2
sin(3
)
y
t


,  
4
t
z


,  
2
7
z
x


. 
Представить сложные функции с помощью цепочек элементарных 

функций:  15) 
4
3
log (5
)
y
x


;  16) 
2
5
9
y
x
x



;  17) 
3
cos
y
x

;  

18) 
sin(9
)
2
x
y


;  19) 
3
arccos x
y
e 

;  20) 
5
ln
y
x

. 

1.3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ  
И ИХ ГРАФИКИ 

К основным элементарным функциям относятся степенные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические 
функции (табл. 1). 

Т а б л и ц а  1 

Элементарные функции и их графики 

№ 
п/п Название 
Формула 
D(f), E (f) 
График 

1 
Степенные 

1.1 Линейная 
y
kx
b


 
( )

( )

D f
R

E f
R





 

 

1.2 

Обратная 
пропорциональность 

k
y
x

 

 
( )
\ 0

( )

D f
R

E f
R




 

 

1.3 
Квадратичная 
2
y
ax
bx c



( )
D f
R

 

 

2 
Показательная 
,

0, 
1

x
y
a

a
a





 
( )

( )

D f
R

E f
R




 

 

3 
Логарифмическая 
log
,

0,
1

a
y
x

a
a





 
( )

( )

D f
R

E f
R





 

 

П р о д о л ж е н и е  т а б л . 1 

№ 
п/п Название 
Формула 
D(f), E (f) 
График 

4 
Тригонометрические 

4.1 
Синус 
sin
y
x

 



( )

( )
1; 1

D f
R

E f



 
 

 

4.2 
Косинус 
cos
y
x

 



( )

( )
1; 1

D f
R

E f



 
 

 

4.3 
Тангенс 
tg
y
x

 

( )

2

( )

D f
R

x
k

E f
R





 



 

 

4.4 
Котангенс 
ctg
y
x

 

( )

( )

D f
R

x
k

E f
R



 



 

 

О к о н ч а н и е  т а б л . 1 

№ 
п/п Название 
Формула 
D(f), E (f) 
График 

5 
Обратные тригонометрические 

5.1 Арксинус 
arcsin
y
x



( )
1; 1

( )
; 
2
2

D f

E f

 





 





 

 

5.2 Арккосинус 
arccos  
y
x







( )
1; 1

( )
0; 

D f

E f

 



 

 

5.3 
Арктангенс 
arctg
y
x

 

( )

( )
; 
2
2

D f
R

E f







 





 

 

5.4 
Арккотангенс 
arcctg
y
x




( )

( )
0; 

D f
R

E f




