Математика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом  
университета в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК  
2019 

 

УДК 51(075.8) 
         М 34 
 
 

Авторский коллектив 

С.Н. Веричев, А.В. Гобыш, О.Е. Рощенко, Е.А. Лебедева 
 

Рецензенты: 

д-р физ.-мат. наук, профессор Е.В. Семенко, 
д-р техн. наук, профессор Е.Г. Подружин 
 

Работа подготовлена на кафедре инженерной математики 

 
 
 
М 34   
Математика: учебное пособие / С.Н. Веричев, А.В. Гобыш, О.Е. Рощенко, Е.А. Лебедева. – Новосибирск : Изд-во 
НГТУ, 2019. – 174 с. 

ISBN 978-5-7782-3872-5 

Настоящее учебное пособие содержит годовой объем материала и 
состоит из десяти глав.  
По каждой теме приведены теоретические вопросы, задачи для 
решения как в аудитории, так и для самостоятельной работы. 
Предназначено для студентов нематематических специальностей. 
Может быть полезно преподавателям по математике для обучения 
студентов нематематических специальностей, а также студентам для 
самостоятельного изучения предмета «Математика». 
 
 
 
 
УДК 51(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3872-5  
 
 
 
 
 
 
© Авторский коллектив, 2019 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2019 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие .................................................................................................................. 8 

Глава 1. Элементы векторной алгебры ................................................................. 9 

   1.1. Определители второго и третьего порядка ...................................................... 9 

       1.1.1. Понятие матрицы ......................................................................................... 9 

      1.1.2. Определители второго порядка. ................................................................ 10 

      1.1.3. Определители третьего порядка. ............................................................... 10 

   1.2. Векторы. Линейные операции. Линейная зависимость ............................... 11 

      1.2.1. Понятие вектора, операции над векторами ............................................. 11 

      1.2.2. Условие линейной зависимости и линейной независимости  
      векторов на плоскости и в пространстве ............................................................ 15 

      1.2.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в базисе. 
      Декартова система координат.  Проекция вектора на ось ............................... 16 

   1.3. Геометрический смысл коэффициентов  разложения вектора  
   по декартовому базису. Направляющие косинусы. Радиус-вектор точки ........ 20 

   1.4.Скалярное произведение векторов .................................................................. 22 

      1.4.1. Геометрические свойства скалярного произведения ............................. 22 

      1.4.2. Алгебраические свойства скалярного произведения ............................. 22 

      1.4.3. Выражение скалярного произведения  в декартовых координатах ..... 23 

   1.5. Векторное и смешанное произведение .......................................................... 23 

      1.5.1. Векторное произведение векторов ........................................................... 23 

      1.5.2. Выражение векторного произведения  в декартовых координатах ..... 24 

1.5.3. Смешанное произведение векторов ......................................................... 25 

      1.5.4. Выражение смешанного произведения  в декартовых координатах .... 25 

Глава 2. Элементы аналитической  геометрии .................................................. 30 

   2.1. Уравнение линии на плоскости ....................................................................... 30 

   2.2. Уравнение поверхности и линии  в пространстве.  
   Уравнение прямой линии  на плоскости и в пространстве ................................. 32 

      2.2.1. Уравнение поверхности в пространстве .................................................. 32 

      2.2.2. Уравнение линии в пространстве ............................................................. 33 

      2.2.3. Прямая линия на плоскости ....................................................................... 33 

      2.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки ................................... 34 

   2.3. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности 
   и параллельности двух прямых .............................................................................. 37 

   2.4. Плоскость и прямые линии в пространстве ................................................... 37 

      2.4.1. Плоскость в пространстве .......................................................................... 37 

      2.4.2. Прямая линия в пространстве ................................................................... 39 

      2.4.3. Угол между прямой и плоскостью............................................................ 40 

      2.4.4. Пересечение прямой и плоскости ............................................................. 41 

   2.5. Кривые второго порядка, их свойства ............................................................ 43 

      2.5.1. Эллипс .......................................................................................................... 43 

      2.5.2. Гипербола ..................................................................................................... 44 

      2.5.3. Парабола ....................................................................................................... 45 

Глава 3. Предел и непрерывность функций ....................................................... 55 

   3.1. Предел функции. Основные понятия ............................................................. 55 

   3.2. Предел дробно-рациональной функции.  Иррациональные выражения ... 56 

   3.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел ................... 59 

   3.4. Второй замечательный предел ........................................................................ 61 

   3.5. Непрерывность функции .................................................................................. 63 

Глава 4. Дифференциальное исчисление  функции одной переменной ....... 67 

   4.1. Производная. Дифференциал.  Производная сложной функции ................ 67 

   4.2. Производная обратной функции, функций, заданных неявно  
   и параметрически ..................................................................................................... 71 

   4.3. Производные высших порядков ...................................................................... 72 

   4.4. Геометрический и механический  смысл производной ............................... 74 

   4.5. Дифференциал функции................................................................................... 76 

   4.6. Теоремы о дифференцируемых функциях .................................................... 79 

   4.7. Правило Лопиталя–Бернулли .......................................................................... 79 

   4.8. Формула Тейлора .............................................................................................. 82 

Глава 5. Неопределенный интеграл ..................................................................... 88 

   5.1. Первообразная и неопределенный интеграл ................................................. 88 

   5.2. Основные свойства неопределенного  интеграла ......................................... 88 

  5.3. Таблица основных  неопределенных интегралов .......................................... 89 

   5.4. Основные методы интегрирования ................................................................. 89 

   5.5. Интегрирование простейших функций, содержащих 
   квадратный трехчлен ............................................................................................... 94 

   5.6. Рациональные дроби ......................................................................................... 96 

   5.7. Интегрирование простейших  рациональных дробей .................................. 96 

   5.8. Интегрирование некоторых  тригонометрических функций ...................... 98 

   5.9. Интегрирование некоторых  иррациональных функций ............................. 99 

Глава 6. Определенный интеграл ....................................................................... 104 

   6.1. Интегральная сумма.  Понятие определенного интеграла.  
   Геометрический и физический  смысл определенного интеграла. .................. 104 

   6.2. Основные свойства  определенного интеграла ........................................... 107 

   6.3. Вычисление определенного интеграла.  
   Формула Ньютона–Лейбница ............................................................................... 110 

6.4. Основные методы вычисления  определенного интеграла ....................... 110 

   6.5. Несобственные интегралы ............................................................................. 113 

      6.5.1. Несобственный интеграл первого рода  (по бесконечному  
      промежутку)   ....................................................................................................... 113 

      6.5.2. Несобственные интегралы второго рода   
      (от неограниченных функций) .......................................................................... 116 

Глава 7. Дифференциальное исчисление функции двух переменных ....... 119 

   7.1. Область определения функции  двух переменных ..................................... 119 

   7.2. Производная и дифференциал  функции двух переменных ...................... 120 

      7.2.1. Частные производные первого порядка ................................................. 120 

      7.2.2. Дифференцируемость и полный дифференциал функции .................. 121 

      7.2.3. Частные производные  и дифференциалы высших порядков ............. 123 

   7.3. Касательная плоскость  и нормаль к поверхности ..................................... 125 

   7.4. Экстремум функции двух переменных ........................................................ 127 

   7.5. Наибольшее и наименьшее значение  функции двух переменных 
   в замкнутой области .............................................................................................. 128 

Глава 8. Двойные интегралы ............................................................................... 133 

   8.1. Двойной интеграл  в прямоугольных координатах .................................... 133 

   8.2. Вычисление двойных интегралов  в полярных координатах .................... 137 

   8.3. Применение двойных интегралов ................................................................. 139 

Глава 9. Обыкновенные  дифференциальные уравнения ............................. 145 

   9.1. Дифференциальные уравнения  первого порядка ....................................... 145 

      9.1.1. Дифференциальные уравнения  с разделяющимися переменными ... 146 

      9.1.2. Однородные дифференциальные  уравнения первого порядка .......... 148 

      9.1.3. Линейные дифференциальные  уравнения первого порядка.  
      Уравнения Бернулли ........................................................................................... 149 

   9.2. Линейные однородные  дифференциальные уравнения второго   
   порядка с постоянными коэффициентами .......................................................... 153 

Глава 10. Ряды ......................................................................................................... 157 

   10.1. Числовые ряды .............................................................................................. 157 

      10.1.1. Знакоположительные ряды .................................................................... 158 

      10.1.2. Знакочередующиеся ряды ...................................................................... 162 

   10.2. Функциональные и степенные ряды .......................................................... 164 

   10.3. Разложение функций в степенные ряды .................................................... 166 

Библиографический список ..................................................................................... 173 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Основой математической подготовки инженера является курс высшей математики. Опыт показывает, что помимо работы с учебниками и 
конспектами лекций необходимо использовать методические материалы, отражающие объем и структуру изучаемого предмета. 
Настоящее пособие состоит из десяти глав. В главах 1 и 2 отражены элементы векторного анализа, основы линейной алгебры и аналитической геометрии по курсу векторной алгебры и аналитической геометрии. В главе 3 изложены пределы и непрерывность функции одной 
переменной. В главе 4 – дифференциальное исчисление функции одной переменной. 
В последующих главах (5 и 6) рассмотрены основы интегрального 
исчисления функции одной переменной и приложения к интегральному исчислению. В главе 7 рассмотрены материалы по дифференциальному и интегральному исчислению функций многих переменных. 
В главе 8 представлены понятия двойных интегралов и их применение. 
Кроме того, представлены простейшие типы дифференциальных уравнений, методы их решения, основы теории числовых и степенных рядов и методы их исследования на сходимость. 
По каждой из рассматриваемых тем читателю предложены: в краткой форме теоретический материал по тематике лекций, практические 
задачи, часть из них – для решения в аудитории, другая часть – для 
самостоятельного решения студентов. Все задачи снабжены ответами, 
которые располагаются в конце каждой главы. 
Такое построение пособия предоставляет широкие возможности 
как для организации аудиторной работы в группе, так и для активной 
самостоятельной работы студентов. 
Настоящее пособие разрабатывалось для студентов нематематических специальностей. 
 

 

Г Л А В А  1  

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 

1.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 

Этот раздел играет вспомогательную роль и посвящается определению понятий, определителей и рассмотрению некоторых их свойств. 
 

1.1.1. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ 

1. Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из 
чисел. Если матрица содержит m строк и n столбцов, то будем говорить, что матрица имеет размерность m × n. Если число строк матрицы 
равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной. В этом 
случае вместо термина «матрица размера n × n», как правило, употребляется термин квадратная матрица порядка n. Числа, из которых 
составлена матрица, называются элементами матрицы. Ниже приведён пример матрицы размерности 2 × 3: 

2   
5   2

0   0,5    
А





 




. 

Отметим, что в записи матрицы мы не проводим линии, отделяющие одну строку от другой и один столбец от другого. Слева и справа 
матрица ограничивается круглыми скобками. В приведенном примере 
элементы матрицы А – это числа 2, –5, 
2 , 0, 0,5,  . 
Для обозначения элементов матриц применяется двойная индексация. Так, произвольная матрица размера 2 × 3 обозначается следую

щим образом: 
11
12
13

21
22
23

   
   
 

   
   

a
a
a
А
a
a
a



 





. Первый индекс элемента означает 

номер строки (они считаются сверху вниз), а второй индекс – номер 
столбца (считаются слева направо). Заметим, что запись 
ij
a  означает, 
что этот элемент в матрице расположен на пересечении i-й строки и 
j-го столбца матрицы A. 
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую 
размерность, и элементы, стоящие на соответствующих местах, совпадают. 

1.1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу второго порядка: 

11
12

21
22

   

   
  

a
a
А
a
a



 





. Определителем этой матрицы называется число, рав
ное значению 

11
12
11
22
12
21
21
22

a
     a
det
a
    a

А
a
a
a
a





. Например, det А 

3     
2
3 1 ( 2)4
3 8
11
4      1



   



. 

Элементы 
11
22
a
a

 – образуют главную диагональ квадратной матрицы второго порядка, а элементы 
12
21
a
a

 – ее второстепенную диагональ. Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение 
элементов, стоящих на второстепенной диагонали. 

1.1.3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА. 

Определение. Определителем матрицы третьего порядка называется число, равное значению: 

11 22 33
12 23 31
13 21 32
13 22 31

12 21 33
11 23 32

a a a
a a a
a a a
a a a

a a a
a a a








 

либо 

11
12
13

21
22
23

31
32
33

    
     

det
    
     
.

    
     

a
a
a

А
a
a
a
A

a
a
a



 Например, 

  2   1     3

det
3     1     4

  5     2   
2

А



 




 

4
20 18 15
6 16
67
  


 
 
. 
Формул для вычисления определителя третьего порядка несколько. 
Одна из них – правило треугольника, которое заключается в следующем: со знаком «плюс» берется произведение элементов, образующих 
главную диагональ, и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком «минус» – произведение элементов, образующих второстепенную диагональ, и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными 
второстепенной диагонали. Другой способ, например, способ разложения определителя по одной из строк либо столбцов: 

11
12
13

21
22
23

31
32
33

    
     

det
    
     

    
     

a
a
a

А
a
a
a

a
a
a


  

22
23
21
23
21
22
11
12
13
31
32
32
33
31
33

   
   
   
.
   
   
   

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a






 

Это равенство соответствует разложению определителя по первой 
строке. При этом знак перед каждым из слагаемых совпадает со знаком 
числа ( 1)i
j


, где i  – номер строки, j  – номер столбца (например: 

1 2
3
( 1)
( 1)
( 1)
1
i
j



 
 
  . 

1.2. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ.  
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 

1.2.1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА, ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 

Наряду со скалярными величинами (длина отрезка, величина угла, 
площадь, объем и т. д.) существуют такие величины, как перемещение, 
скорость, ускорение, материальные точки, момент силы, для которых 
необходимо задать не только величину, но и направление. 

 Вектор – направленный отрезок. 
Обозначения: 
, ,
,...
S f AB
 и т. д.  

                            В                                     В 

  А                                                                  А 
 
А (.) A – начало вектора; 
(.) В – конец вектора. 
 Длиной вектора AB  называется расстояние от начала (.) А до 

конечной (.)В: 
2
2
2
(
)
(
)
(
) .
B
A
B
A
B
A
АВ
x
x
y
y
z
z






 

 Векторы называются коллинеарными, если они расположены на 
параллельных прямых или на одной прямой. 
Коллинеарные векторы могут иметь или одинаковые направления, 
или противоположные. 
 

Обозначение: a b  

Два вектора называются равными, если они удовлетворяют условиям: 
1) векторы имеют одинаковую длину a
b

; 

2) коллинеарные a b ; 

3) имеют одинаковое направление и обозначаются a
b

. 
Векторы, зависящие от точки приложения (точки начала вектора), 
называются связанными. 
 Векторы, не зависящие от точки приложения, называются свободными. 
В дальнейшем рассматриваем только свободные векторы. 
Линейные операции: сложение, вычитание, умножение вектора на 
действительное число. 
Суммой векторов а  и b  называют вектор с , идущий из начала 
вектора а  в конец вектора b . 

а) правило треугольника; б) правило параллелограмма 

 

с

с

а
а  

b
b

 
в) правило многоугольника 
 

 

 

 

1
a  

2
a
 
3
a
 

4
a

5
a
 
1
2
3
4
5
c
a
a
a
a
a





 

с  
 
Если начало вектора совпадает с точкой его конца, то такой вектор 
называется нулевым. 
В частности 
0
AB
BA
AB
BA



 
. 

Свойства операции сложения 

 
 
 

1) a
b
b
a



 (коммутативность); 
2) (
)
(
)
а
b
с
а
b
с





 (ассоциативность). 
Разностью а
b

 двух векторов а  и b  называют такой вектор с , 
который в сумме с вектором (вычитаемым) b  дает вектор (уменьшаемый) а . 
Произведением 
а

 вектора а  на действительное число   называется вектор, коллинеарный вектору а  и имеющий длину, равную 
произведению 
а


, и направление или совпадающее с направлением 
вектора a  (если 
0
 
), или ему противоположное (если 
0
 
). 
 Если 
0,
 
1
  , то вектор 
а

 есть вектор а , растянутый в 
  раз. 

 Если 
0,
1
 
  , то 
а

 – вектор а  сжатый в   раз и имеющий то же направление, что исходный вектор. 
 Если 
0,
1
 


, то вектор 
a

 – вектор a , растянутый в   
раз и обратно направленный. 

 Если 
0,
1
 


, то 
а

 – вектор а , сжатый в 1


 раз и обрат
но направленный. 
Свойства операций 
a

: 
1) (
)
а
b
а
b


  
 – дистрибутивность относительно суммы 
векторов; 
2) (
)а
а
а

  
 – дистрибутивность относительно суммы 
чисел; 
3) (
)
(
)
а
а
 
 
 – ассоциативность числовых сомножителей. 

Условие коллинеарности двух векторов. Орт вектора 

Теорема. Векторы a  и b  коллинеарны  , когда существует такое число  , что имеет место равенство a
b
  . 
 Если вектор имеет при выбранном масштабе длину, равную еди
нице, то он называется единичным вектором или ортом, т. е. 
0
а
a
а

 

или: 
0
а
a
а


. 

Пример. Каким условиям должны удовлетворять векторы a  и b , 
чтобы вектор (
)
а
b

 делил угол между ними пополам? 

(
)
а
b

 – это диагональ параллелограмма, построенного на а  и b . 
Но диагональ делит угол пополам лишь в случае, если параллелограмм 
есть ромб. Откуда следует, что а
b

. 

Линейной комбинацией векторов 1
2
3
,
,
,
,
n
a a
a
a

называется сумма: 

1
1
2
2
3
3
n
n
a
a
a
a
 
 
 

 

, 

где 
i
  – любые действительные числа. 

Векторы 
1
2
3
,
,
,
,
n
a a
a
a

 называются линейно зависимыми, если 
существуют такие вещественные числа 
1
2
3
,
,
,
,
n





, одновремен
но не равные нулю: 
2
2
2
2
1
2
3
0
n
     
  

, такие что 
1
1a
 


2
2
3
3
0
n
n
a
a
a
 
 

 


.  
Если векторы не являются линейно зависимыми, то они линейно 
независимы. 

Свойства линейно зависимой совокупности векторов 

Свойство 1. Если среди векторов 
1
2
3
,
,
,
,
n
a a
a
a

 есть нулевой 
вектор, то эта совокупность линейно зависима. 

Следствие 1. Линейно независимая совокупность векторов не может содержать нулевого вектора. 

Свойство 2. Если к линейно зависимой совокупности векторов 
присоединить несколько векторов, то расширенная совокупность векторов также линейно зависима. 

Следствие 2. Любая часть линейно независимой совокупности 
векторов будет линейно независимой. 

1.2.2. УСЛОВИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ И ЛИНЕЙНОЙ  
НЕЗАВИСИМОСТИ ВЕКТОРОВ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 

ТЕОРЕМА. Два вектора на плоскости линейно зависимы    они 
коллинеарны. 

ТЕОРЕМА. Три вектора в пространстве линейно зависимы   они 
компланарны. 

ТЕОРЕМА. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы. 

Следствие. Каковы бы ни были три некомпланарных вектора 

, ,
а b с , для любого вектора d  существуют d
а
  
b
с

  .