Начертательная геометрия

 

 
 
 
 
 
 
 

И. Р. БАКУЛИНА    О. А. МОИСЕЕВА 

 
 
 
 
 

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ  

ГЕОМЕТРИЯ 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Йошкар-Ола 

2020

УДК 514.18(075.8) 
ББК 22.151.3я73 

Б 19 
 

Рецензенты: 

 

кандидат технических наук, доцент Поволжского государственного 

технологического университета Т. А. Полушина; 

 

кандидат педагогических наук, доцент Марийского  

государственного университета Д. А. Крылов 

 

Печатается по решению 

 редакционно-издательского совета ПГТУ 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

Бакулина, И. Р. 
Начертательная геометрия: учебное пособие / И. Р. Бакулина, 

О. А. Моисеева. – Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический университет, 2020. – 78 с. 

ISBN 978-5-8158-2200-9 

      

В учебном пособии приведены теоретические сведения, примеры решения ти
повых задач и графические заготовки условий задач, предлагаемых для закрепления пройденного материала на лабораторных занятиях или для самостоятельного 
решения. 

Для студентов всех направлений подготовки. 

 

УДК 514.18(075.8) 

ББК 22.151.3я73 

 

ISBN 978-5-8158-2200-9 
© Бакулина И. Р., Моисеева О. А., 2020 
© Поволжский государственный 
технологический университет, 2020 

Б 19

ВВЕДЕНИЕ 

 

Начертательная геометрия является составной частью общетехнической учебной 

дисциплины «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика». 

Изучение начертательной геометрии необходимо для приобретения знаний и навы
ков, позволяющих составлять и читать технические чертежи, проектную документацию, а также для развития инженерного пространственного воображения. Работа в современных системах автоматизированного проектирования также основана на знаниях 
начертательной геометрии. 

Основная цель учебного пособия – способствовать освоению курса «Начертатель
ная геометрия» студентами всех направлений подготовки в условиях модели смешанного обучения и приобретению знаний и навыков, позволяющих выполнять графические работы. 

В пособии нашли отражение важные разделы курса: комплексные чертежи точек, 

прямых, плоскостей; теоретические основы и алгоритмы решения позиционных и метрических задач.  

В каждой главе представлена теоретическая часть, рассмотрены примеры решения 

типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения.  

Настоящее учебное пособие может использоваться совместно с другой учебно
методической литературой. В издании приведен список литературы, рекомендуемой 
при подготовке к выполнению заданий. 

Все теоретические знания студенты смогут закрепить, занимаясь на нашем онлайн
курсе «Начертательная геометрия» на портале открытого образования Волгатеха 
(http://mooped.net/). 

 

 

СИМВОЛИКА И ОБОЗНАЧЕНИЯ 

 

Геометрические фигуры: 
Σ, Γ, Φ … (прописная буква греческого алфавита) – геометрическая фигура (плос
кость); 

А, В, С, ... или 1, 2, 3, ... (прописные буквы латинского алфавита или арабские циф
ры) – точки пространства; 

a, b, с, ... (строчные буквы латинского алфавита) – прямые или кривые линии про
странства; 

АВ – прямая, проходящая через точки А и В; 
Г (гамма), Δ (дельта), Λ (ламбда), Σ (сигма), Ψ (пси) и другие прописные буквы 

греческого алфавита – поверхности; 

ABC или , ,  (строчные буквы греческого алфавита) – углы; 
П1 – горизонтальная плоскость проекций; 
П2 – фронтальная плоскость проекций; 
П3 – профильная плоскость проекций; 
П4, П5, ... – остальные плоскости проекций; 
А1, А2, А3 – проекции точки А (горизонтальная, фронтальная, профильная); 
l1, l2, l3 – проекции линии l (горизонтальная, фронтальная, профильная); 
Г1(А1, В1, С1), Г2(А2, В2, С2), Г3(А3, В3, С3) проекции плоскости Г(АВС), проходя
щей через точки А, В и С (горизонтальная, фронтальная, профильная). 

Отношения между геометрическими фигурами: 
║ – параллельность двух геометрических фигур; 
 – перпендикулярность; 
∩ – пересечение геометрических фигур (множеств). Например: b = Δ ∩ Г – прямая 

b есть результат пересечения плоскостей Δ и Г; 

= – равны, совпадают или результат пересечения геометрических фигур; 
≠ – неравны. 
 – принадлежность, например: A  l – точка А принадлежит прямой l; 
 – не принадлежит; 
 или  – включение (являются частью, подмножеством, содержится в..., включа
ет, содержит в себе). Например: а) a  Г – прямая а принадлежит плоскости Г (понимается в смысле: множество точек прямой а есть подмножество множества всех точек 
плоскости Г); б) Г  a – плоскость Г проходит через прямую а или плоскость Г содержит в себе прямую а; 

 – объединение множеств; 
Логические операции: 
 – соответствует союзу «и»; 
 – соответствует союзу «или»; 
 – логическое следование, означает «если ..., то», «следовательно»; 
 – в том и только в том случае, если … . 

1. ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

 

1.1 Виды проецирования 

 

1.1.1 Центральное проецирование 

 
Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения проек
ций геометрических фигур.  

Рассмотрим его сущность на простом примере (рис. 1.1). Пусть даны плоскость β и 

точка S. Возьмем произвольную точку A, не принадлежащую плоскости β. 

Через заданные точки S и A проведем луч SA и отметим точку Aβ, в которой этот 

луч пересекает плоскость β.  

Плоскость β называют плоскостью проекции, точку S – центром проекции, полу
ченную точку Aβ – центральной проекцией точки A на плоскость β, SAβ  проецирующим лучом.  

 

 

 

Рисунок 1.1  

 

Положение плоскости β и центра S определяет аппарат центрального проецирова
ния. Если он задан, то всегда имеется возможность определить положение центральной 
проекции любой точки пространства на плоскость проекции. 

Так как через две различные точки можно провести одну и только одну прямую, то, 

рассматривая рисунок, можно сделать вывод, что при заданном аппарате проецирования  фиксированном положении точки S и плоскости β  каждая точка пространства 
будет иметь одну и только одну центральную проекцию. 

Обратное утверждение – каждой центральной проекции точки однозначно соответ
ствует точка пространства  не имеет смысла. 

Действительно, кроме точки A на проецирующем луче расположено множество то
чек A1, A2, An (рис. 1.2). Поэтому одна центральная проекция точки не дает возможности судить о положении самой точки в пространстве.  

Для того чтобы сделать возможным определение положения точки в пространстве 

по ее центральным проекциям, необходимо иметь две центральные проекции этой точки, полученные из двух различных центров (рис. 1.3). 

 

 

Рисунок 1.2                                                                    Рисунок 1.3 

 

Имея две центральные проекции точки Aβ и Aβ*, полученные из центров S и S*, 

можно определить положение точки A в пространстве.  

На рисунке 1.4 дан пример получения центральной проекции треугольника.  
 

 

 

Рисунок 1.4 

Для получения проекции треугольника достаточно провести три проецирующих 

луча через его вершины.  

Рисунок 1.4 наглядно показывает, что проекция по отношению к оригиналу иска
жена (изменены размеры и форма треугольника).  

 

1.1.2 Параллельное проецирование 

 
Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай централь
ного проецирования. 

Если центр проекций перенести в бесконечность, то проецирующие лучи можно 

считать параллельными. Отсюда аппарат параллельного проецирования состоит из 
плоскости проекций и направления S (рис. 1.5). 

 

 

Рисунок 1.5 

 

Геометрические фигуры проецируются на плоскость проекции в общем случае с 

искажениями. 

Причем характер искажений проекций по сравнению с оригиналом зависит от ап
парата проецирования и положения проецируемой фигуры по отношению к плоскости 
проекции (рис. 1.6).  

Трапеция проецируется на плоскость α, её проекция претерпевает некоторые иска
жения. При изменении положения трапеции по отношению к плоскости проекций α 
проекция изменяется. По отношению к плоскости проекций трапеция может занимать и 
такое положение, при котором она проецируется даже в прямую линию. 

Наряду с этим между оригиналом и его проекцией существует определенная связь, 

заключающаяся в том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Такие свойства принято называть инвариантными. 

 

Рисунок 1.6 

 

1.1.3 Основные инвариантные свойства параллельного проецирования 

 
Любую теорему можно составить и доказать, опираясь на инвариантные свойства 

параллельного проецирования. Они играют в начертательной геометрии такую же важную роль, как аксиомы в геометрии. 

Рассмотрим основные инвариантные свойства параллельного проецирования. 
1. Проекция точки есть точка. 
Это очевидно из самого определения проекции как точки пересечения проецирую
щего луча с плоскостью проекций.  

2. Проекция прямой на плоскость есть прямая (рис. 1.7). 
Действительно, при параллельном проецировании лучи, проходящие через точки 

A,B прямой l, принадлежат одной плоскости, параллельной направлению проецирования S. Эта плоскость пересекает плоскость проекции по прямой lα. 

Исходя из этого справедливо и следующее утверждение. 
Прямая может быть проекцией не только прямой, но и любой кривой линии, если 

эта кривая находится в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций.