Гидрогазодинамика. Простые и ударные волны в идеальном газе

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
М.А. ЕСИКОВ 
 
 
 
 
 
ГИДРОГАЗОДИНАМИКА 
 
 
ПРОСТЫЕ И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ  
В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

 

УДК 532.5:533.6(075.8) 
         Е 831 
 
 
 

Рецензенты: 

д-р техн. наук А.В. Гуськов 
канд. физ.-мат. наук В.И. Мали 
 
 
 
Есиков М.А. 
Е 831   
Гидрогазодинамика. Простые и ударные волны в идеальном 
газе: учебное пособие / М.А. Есиков. – Новосибирск: Изд-во 
НГТУ, 2020. – 94 с. 
 
ISBN 978-5-7782-4120-6 
 
Рассмотрены базовые теоретические вопросы гидрогазодинамики. 
Приведены основные уравнения газовой динамики. Описаны аналитические решения для течений с простыми и ударными волнами, возникающими при движении поршня в трубе с идеальным газом, и для задачи о распаде разрыва. 
Адресовано студентам НГТУ, изучающим соответствующие дисциплины в рамках образовательной программы по специальности 
020301 «Техносферная безопасность» и 170501 «Боеприпасы и взрыватели». 
 
 
 
 
УДК 532.5:533.6(075.8) 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-4120-6  
 
 
 
 
 
© Есиков М.А., 2020 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2020 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Гидрогазодинамика – раздел механики сплошной среды, изучающий 
процессы течения жидкости и газа, а также твердых тел при высоких 
давлениях. Такие движения изучают с помощью не только механики, но 
и других разделов физики, таких как термодинамика и молекулярная 
динамика. 
Газ есть совокупность большого числа частиц (молекул, атомов, 
ионов), находящихся в непрерывном движении. Для того чтобы охарактеризовать состояние газа в конкретный момент времени, надо задать 
положение и скорость каждой частицы газа. Задача учета взаимодействий и движения каждой частицы газа чрезвычайно трудна. На таком 
способе описания течений основан, например, численный расчет течений методом молекулярной динамики, но он применим только для описания движения на микро- и наномасштабе, поскольку чтобы просто задать начальные положения атомов и молекул вещества хотя бы в объеме 
одного кубического сантиметра, а это соответствует количеству частиц 

порядка 
20
10
, прописав для каждого значения три координаты, нужны 
объемы компьютерной памяти, технически не реализованные на сегодняшний день. 
Для макроскопических течений при описании состояния газа 
обычно применяют статистический подход. При статистическом описании состояния газа считают, что составляющие его частицы непрерывно 
заполняют занятый ими объем. При этом, естественно, рассматривают 
лишь объемы, размеры которых достаточно велики по сравнению с расстояниями между частицами газа. 
Поэтому применяемые в дальнейшем выражения «малый объем», 
«бесконечно малый объем», «частица газа» следует понимать как достаточно большие в указанном выше смысле. 

Если в области пространства, в которой происходит течение среды, 
параметры состояния неизменны, то говорят об установившемся, или 
стационарном течении. В ином случае, когда параметры движения изменяются, такое течение называют неустановившимся, или нестационарным. 
Далее мы рассмотрим вывод основных уравнений гидрогазодинамики. Необходимо отметить, что теоретические основы, приведенные 
здесь, являются классическими и многократно уже описаны в различной 
литературе по газовой динамике, например в [1, 4–6]. В данном пособии 
в части вывода основных уравнений автор опирается на способы описания из работ [1–5]. Здесь не повторяются полные выводы уравнений для 
общего случая пространственных течений, с которыми можно ознакомиться самостоятельно, и рассмотрен вывод одномерных уравнений газодинамики, необходимых для решения простейших задач о движении 
поршня в трубе с газом и распаде разрыва, которые также здесь рассмотрены. Данные основы необходимы, в частности, для понимания и изучения процессов воздействия ударно-волновых нагрузок на объекты 
при детонации взрывчатых материалов [1, 6, 8]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ  
ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ 

Математически течение жидкости описывается функциями, определяющими значение скорости и двух термодинамических величин в каждый момент в каждой точке пространства. 
Скорость частицы жидкости, находящейся в момент t в точке пространства c координатами x, y, z, определяется как 
( , , , )
u
u x y z t

. 
За термодинамические величины обычно принимают показатели 
давления P и плотности ρ в частице, оказавшейся в данной точке пространства в данный момент, запишем соответственно: 
( , , , )
p
p x y z t

 и 
( , , , ).
x y z t
  
 
Значения функций скорости v, давления P и плотности ρ во всех точках пространства (x, y, z) и в каждый момент t полностью определяют 
течение жидкости. Уравнения, содержащие перечисленные функции и 
переменные, составляют систему основных уравнений газодинамики. 
Основные дифференциальные уравнения газодинамики формулируют из фундаментальных законов сохранения массы, импульса и 
энергии. 
Выведем уравнения для скорости u, давления p и плотности ρ, описывающие непрерывное течение газа в пространстве. Для этого введем 
неподвижную декартову систему координат, в пространстве которой 
происходит течение газа. В некоторой точке этого пространства определим, как изменяются масса, импульс и энергия при прохождении потока 
через бесконечно малый элементарный объем dxdydz в окрестности этой 
точки. 
В общем случае для трехмерного течения поток газа не будет 
направлен строго перпендикулярно или параллельно осям координат, поэтому, чтобы рассмотреть такое течение, нужно рассматривать  

векторную сумму течений вдоль каждой оси координат и составлять соответствующие системы уравнений для каждого закона сохранения. 
Для наглядности и простоты будем рассматривать вывод уравнений 
сохранения прежде всего для одномерного течения газа вдоль оси X, когда вдоль других осей в каждом поперечном сечении параметры газа 
постоянны, а силы давления и скорости отсутствуют. 

 
Рис. 1. Схема одномерного течения газа  
через элементарный объем dxdydz 

Положим, что газ протекает вдоль оси X, втекая в грань dydz с координатой x и вытекая через грань c координатой x + dx, и рассмотрим 
изменение массы, импульса и энергии в этом объеме (рис. 1). 

1.1. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ 

Рассмотрим поток массы через выделенный элементарный объем. 
Изменение массы m в элементарном объеме dxdydz  за единицу времени t  

/
(
/
)
dm dt
d
dt dxdydz


 

определяется разностью скоростей втекания и вытекания массы через 
этот объем. Через грань dydz с координатой x в объем втекает в единицу 
времени масса (
)
x x
u
dydz

. Через противоположную грань с координатой x + dx вытекает масса  (
)
x x dx
u
dydz


. Их разность определяет изменение массы в объеме: 

(
)
(
)
 
x
x x
x x dx
u
u
dydz
u
dydz
dxdydz
x



 
  
 

и при одномерном течении даст полное изменение массы в объеме в 
единицу времени: 

.
x
u
dxdydz
dxdydz
t
y


 


 

Сократив общие множители, получим уравнение неразрывности 
для одномерного течения газа: 

 
0.
u
t
x






 
(1) 

Уравнение неразрывности выражает закон сохранения массы в механике сплошной среды и показывает, что изменение количества массы 
газа в сумме с плотностью потока массы равно нулю, если нет посторонних источников газа. При наличии источников массы в правой части 
уравнения вместо нуля будет плотность потока этих источников. 
В общем случае уравнение неразрывности имеет вид 

 
div 
0.
u
t
 
 


 
(2) 

1.2. УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА 

Сделаем аналогичный вывод для потока импульса через наш элементарный объем. Импульс называют также количеством движения. 
Импульс u
  будет изменяться вместе с потоком массы и под действием 
внешней силы. 
x-компонент импульса 
x
u dxdydz

 изменяется в единицу времени 
при протекании его вместе с массой вдоль каждой из осей: 

 
(
)
(
)
(
)
; 
x x
x x x
x x x dx
u u
u u
dydz
u u
dydz
dxdydz
x

 

 
 

 
(3) 

 
(
)
(
)
(
)
;
x
x
x
x
x dx
y
y
y
u u
u u
xdz
u u
dxdz
dxdydz
y
d

 

 
 

 
(4) 

 
(
)
(
)
(
)
. 
z
z x
dx
z
x
x
x
x
u u
u u
dxdy
u u
dxdy
dxdydz
z

 

 
 

 
(5) 

При одномерном течении поток массы вдоль проекции на оси y и x 
отсутствует и уравнения (3) и (4) обнуляются. 
x-составляющая силы, действующей на кубик со стороны окружающей среды, равняется 

 
( )
( )
.
x
x dx
p
p
dydz
p
dydz
dxdydz
x



  
 
(6) 

Приравнивая выражения (3) и (6), составим уравнение сохранения 
x-й составляющей количества движения при одномерном течении: 

 
(
)
   
(
)
.
x
x
x
u u
p
u
dxdydz
dxdydz
t
x
x
 





 








 
(7) 

В общем случае перпендикулярные к оси x, y и z-составляющие силы 
давления x-компоненты количества движения не меняют. 
Преобразуем (7) в следующий вид: 

 
1
 0.
u
u
р
u
t
dx
dx








 
(8) 

Полученное уравнение движения для одномерного течения невязкого газа выражает закон сохранения импульса. 
Уравнение движения в общем случае течения можно вывести из второго закона Ньютона применительно к массе жидкости, находящейся в 
элементарном объеме: 

.
du
p
p
p
dxdydz
dxdydz
dxdydz
dxdydz
dt
x
y
z




 







 

Здесь правая часть уравнения представляет собой сумму составляющих силы, действующей на элементарный объем. Сокращая на dxdydz и 

применяя оператор набла 
i
j
k
x
y
z



 









, получаем 

du
p
p
p
p
dt
x
y
z




 


 





. 

Последнее выражение говорит о том, что сила, действующая на еди
ницу объема жидкости, определяется градиентом давления и направлена в сторону падения давления. 

Раскрывая субстанциональную производную du/dt и преобразуя слагаемые, получаем уравнение движения невязкой жидкости/газа: 

 
1
(
)
.
u
u
u
p
t



 







  
(9) 

Полученное равенство (9) называется уравнением Эйлера, а уравнение (8) является его выражением в одномерном случае. 

1.3. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 

Определим, как меняется энергия в выбранном объеме газа. Сумма 

кинетической энергии 
2
(
/ 2)
u
dxdydz

 и внутренней энергии 
dxdydz

 

даст полную энергию в объеме: 
2
(  
/ 2)
u
dxdydz
  
, которая меняется 

вместе с потоком массы и вследствие работы сил давления. 

Изменение энергии вместе с потоком массы вдоль оси x определя
ется как 

2
.
2

x
u
u
dxdydz
x





 







 

Работа, произведенная в единицу времени над массой газа в объеме, 

со стороны грани dydz с координатой x равняется (
)
x x
pu
dydz . Через про
тивоположную грань с координатой x + dx жидкость вытекает, т. е. она 
сама выполняет работу (
)
x x dx
pu
dydz

 над окружающей средой. Следо
вательно, над газом в объеме производится работа 
(
)
.
x x dx
pu
dydz


 Та
ким образом, результирующая работа сил над жидкостью в объеме при 
одномерном течении равняется 

(
)
(
)
.
x
x
x x
x x dx
pu
u
p
pu
dydz
pu
dydz
dxdydz
dxdydz
x
x




 
 



 

Получаем изменение полной энергии: 

2
2
.
2
2

x
x
u
u
u
u
p
dxdydz
dxdydz
dxdydz
t
x
x







  
 
 

















 

Перенесем слагаемые в левую часть уравнения, введем удельную эн
тальпию вещества 
 
/
w
p
  
  и получим уравнение энергии для одно
мерного течения: 

 

2
2
0.
2
2
u
u
u w
t
x







  


















 
(10) 

Если присутствует посторонний источник энергии, то его мощность 

из расчета на единицу объема следует подставить вместо нуля в правую 
часть (10). 

Величина 
2
(
/ 2)
u w
u


 представляет собой плотность потока энер
гии. Она включает помимо внутренней ε и кинетической 
2 / 2
u
 энергии 

еще и составляющую, связанную с работой сил давления. Эта составляющая p/ρ = pV, где V = 1/ρ – удельный объем, также участвует в обратимых (адиабатических) превращениях энергии из внутренней в кинетическую и обратно. Именно по этой причине в термодинамике наряду с 
внутренней энергией ε введено понятие энтальпии w. Раньше ее называли теплосодержанием, чтобы отразить отмеченное участие в превращениях энергии. В кинетическую энергию массовой частицы бывает 
возможным превратить не только свою, внутреннюю ε, но и «теплосодержание»: ε + p/ρ. 
 

1.4. УСЛОВИЕ АДИАБАТИЧНОСТИ 

Здесь и далее мы будем рассматривать адиабатическое течение иде
альной жидкости/газа. Напомним, что адиабатическим считается течение, при котором отсутствует теплообмен с окружающей средой, и первый закон термодинамики в этом случае выглядит как 

 
0;     
1/ .
dQ
d
pdV
V

 


   
(11) 

Полученное выражение говорит о том, что в адиабатическом про
цессе изменение внутренней энергии происходит в результате совершения работы самим газом или над газом либо приводит к совершению 
этой работы. Из этого уравнения путем преобразований можно получить (10).