Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Геометрическая сейсмика 1. Лучевой метод

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 778832.01.01
Излагается введение в теорию лучевого метода, который используется для описания распространения сейсмических волн. Рассматривается теория характеристик для гиперболических уравнений в частных производных. Выводится уравнение эйконала, система уравнений луча, транспортные уравнения для описания амплитуды волны вдоль луча. Обсуждается понятие лучевой трубки, вопрос преломления-отражения лучей на границе раздела сред, распространение волн в анизотропных средах. Предназначено для студентов старших курсов, специализирующихся по геофизике и геофизическим методам разведки полезных ископаемых.
Дучков, А. А. Геометрическая сейсмика 1. Лучевой метод : учебное пособие / А. А. Дучков. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2019. - 63 с. - ISBN 978-5-7782-3842-8. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1869267 (дата обращения: 22.05.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
А.А. ДУЧКОВ 
 
 
 
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ  
СЕЙСМИКА 1 
 
ЛУЧЕВОЙ МЕТОД 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 550.344(075.8) 
Д 859 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, профессор Г.М. Митрофанов 
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. ИНГГ СО РАН С.В. Яскевич 
 
 
Работа подготовлена на кафедре геофизических систем для студентов  
IV курса ФТФ, направление 16.03.01 – Техническая физика 
 
 
 
Дучков А.А. 
Д 859  
Геометрическая сейсмика 1. Лучевой метод: учебное пособие / А.А. Дучков. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 63 с. 

ISBN 978-5-7782-3842-8 

Излагается введение в теорию лучевого метода, который используется для описания распространения сейсмических волн. 
Рассматривается теория характеристик для гиперболических уравнений в частных производных. Выводится уравнение эйконала, система уравнений луча, транспортные уравнения для описания амплитуды волны вдоль луча. Обсуждается понятие лучевой трубки, вопрос 
преломления-отражения лучей на границе раздела сред, распространение волн в анизотропных средах. 
Предназначено для студентов старших курсов, специализирующихся по геофизике и геофизическим методам разведки полезных ископаемых. 
 
 
 
 
 
 
УДК 550.344(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3842-8 
© Дучков А.А., 2019 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2019 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Лучевой метод является мощным методом анализа гиперболических 
уравнений в частных производных и приближенного описания их решений. В сейсмике первые работы по лучевому методу появились еще в 
середине 50-х годов прошлого века, но его использование продолжается 
до сих пор. Во-первых, во многих ситуациях он дает хорошее приближенное описание волновых полей. Во-вторых, лучевой метод выступает 
в качестве метода анализа результатов волновой картины, т. е. речь идет 
о его «объяснительной» роли. Достаточно упомянуть, что такие фундаментальные понятия, как «каустика», «критический угол» и другие появились именно в результате геометрического анализа волн. 
Распространение волн в нашем случае отождествляется с распространением разрывов решений уравнения. Обсуждается как скалярное 
волновое уравнение, так и система уравнений эластодинамики. Кинематика волн описывается уравнением эйконала, которое является характеристическим уравнением для изначального гиперболического 
уравнения. 
Сначала выводится уравнение эйконала как характеристическое 
уравнение для уравнения в частных производных (обычно уравнение 
эйконала выводится в рамках лучевого метода). Такой вывод подчеркивает факт, что уравнение эйконала характеризует уравнение в частных производных, а не существует только в рамках высокочастотного 
приближения. 
Далее обсуждается использование гамильтонова формализма для 
решения уравнения эйконала. В рамках этого подхода распространение 
волн идет вдоль лучей (бихарактеристик), которые можно строить решением системы уравнений луча. 
Затем рассматривается анизотропный случай, уравнение Кристоффеля, поверхность медленности, фазовая и групповая скорость и т. д. 
В заключение обсуждается понятие лучевой трубки (параксиального описания пучка близких лучей) и вопрос преломления-отражения 
лучей через границу. 

Далее дается собственно описание лучевого метода. Для этого 
ищем решение уравнения эластодинамики для изотропного случая в 
виде анзаца, заданного в форме лучевого ряда. Подставляя лучевой ряд 
в уравнение, получаем рекуррентные соотношения, уравнение эйконала и транспортное уравнение; рассматриваем поляризацию поперечной 
и продольной волны. 
Рекомендации по учебной литературе. В качестве введения в 
геометрическую сейсмику можно рекомендовать учебники В. Червени, 
И.А. Молоткова и И. Пшенчика [8] и учебник М.М. Попова [10] (есть 
электронная версия). Учебник С.В. Гольдина [6] может оказаться труден при первом прочтении, но будет чрезвычайно полезен для студентов, специализирующихся по сейсмике, для более углубленного изучения предмета. Книга В. Червени [13] является, скорее, справочником, 
чем учебником, и может быть рекомендована специалистам, хорошо 
ориентирующимся в предмете. 
Теоретические основы лучевого трассирования в анизотропных средах хорошо изложены в учебнике Дж. Брокесовой [7] и в курсе В. Гречки 
по использованию анизотропии при решения разведочных задач [9]. 
Среди удачных книг по лучевому методу следует отметить работу 
Ю.А. Кравцова и Ю.И. Орлова [4]. Более строгое изложение математических основ и многих сложных явлений, возникающих в рамках теории распространения волн, можно найти в книге В.М. Бабича и 
В.С. Булдырева [2]. 
Обозначения. Используется правило суммирования по повторяющимся индексам. Жирными буквами обозначаются векторстолбцы; верхний индекс «т» обозначает транспонирование, так что 
т
1
2
3
(
,
)
,
v v
v

v
. Для частных производных по пространственным координатам и по времени вводим следующие обозначения: 

,
,
.
i
i j
j

v
u
v
u
x
t








 

Преобразование Фурье обозначаем символом «шапочки»: 



ˆ( )
( ) ,
t
f
f t
  
 

где 
t
  – оператор преобразования Фурье. 

Вводятся также следующие обозначения: 
,
div
;
i
i i
i
i

v
v
x

  




v
v
 

grad
;
u
u
 
 
, .
ii
u
u


 

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ СЕЙСМИКИ 
 
Уравнения анизотропной упругости. Распространение сейсмических волн в твердых телах описывается уравнениями эластодинамики 
(или системой уравнений упругости): 

 
 


 


,
,
,
,
0 ,
ijkl
k l
i
j
c
u
t
u
t


 



x
x
x
x

 
(1) 

где 
k
u  – компоненты вектора смещений; 
ijkl
c
 – тензор упругих модулей;  – плотность. 
В частотной области оно имеет эквивалентную форму: 

 
 


 


2
,
,
,
0,
ˆ
,
ˆ
ijkl
k l
i
j
c
u
u



 

 


x
x
x
x
 
 (2) 

где знак шапочки обозначает результат преобразования Фурье по времени. 
Уравнения изотропной упругости. Уравнения эластодинамики (1) для изотропной среды принимают вид (часто их называют уравнениями Ламе) 

 
 


 






 


,
,
,
,
,
,
,
,
,
0,
i i
i k
k i
k
k
i
u
t
u
t
u
t
u
t

 

 









x
x
x
x
x
x
x

 (3) 

их также можно записать в другой форме: 

 




div
div
0 ,
k
k
k
u
x




   
  
  
 
  









u
u
u
u
e
u
  (4) 

где 







 т
1
2
3
,
(
,
, 
,
, 
,
)
t
u
t
u
t
u
t

u x
x
x
x
 – вектор смещений; 
k
e  – обозначает k-й орт декартовой системы координат; 
 
 x , 
 
 x  – модули 
упругости в изотропной среде (параметры Ламе);  
 x  – плотность. 

Уравнение линейной акустики. Распространение акустических 
волн в неоднородных средах описывается системой уравнений первого 
порядка (уравнение неразрывности и движения соответственно): 

 



 
 








 



2
,
div
,
0,

,
1
,
0,  

p
t
V
t
t

t
p
t
t


 










x
x
x
v x

v x
x
x

 
(5) 

где 


,
p
t
x
 – давление: 


,t
v x
 – скорость смещения частиц; 
 
 x  – 
плотность; 
 
V x  – скорость акустических волн. 
Эту систему уравнений можно привести к дифференциальному 
уравнению второго порядка для давления: 

 
 
 
 




2
2
2
,
1
div
,
0.
p
t
V
р
t
t















x
x
x
x
x
 
(6) 

Скалярное волновое уравнение. Распространение волн также  
часто описывают скалярным волновым уравнением, которое соответствует уравнению акустики для случая постоянной плотности 
(
const)
 
: 

 




2
2
2
,
,
( )
0 ,
u
t
u
t
V
t

 





x
x
x
 
(7) 

где V  – скорость распространения волн. 
 
 
2. УРАВНЕНИЕ ЭЙКОНАЛА 
 
Уравнением эйконала в сейсмике принято называть уравнение, 
описывающее траектории и время распространения волн, т. е. их кинематику. Существует несколько способов вывода уравнения эйконала: 
1) из принципа Ферма; 
2) из принципа Гюйгенса; 
3) из принципа локальности; 
4) как характеристическое уравнение. 

Первых два способа традиционно используются в сейсмической 
литературе при рассмотрении лучевого метода. Принцип локальности 
был предложен С.В. Гольдиным в качестве обобщения принципа Гюйгенса и Ферма. Предлагалось определить процесс распространения чего-либо в эксперименте, если этот процесс задается полем времен: 

 
 ,
t   x
 
 (8) 

где  
 x  – дифференцируемая в некоторой области функция. 
Градиент   задает направление и скорость распространения процесса. Принцип локальности состоит в том, что   в каждой точке x 
не зависит от проводимого эксперимента и определяется только свойствами среды в окрестности этой точки. Тогда распространение описывается уравнением эйконала 
1/V
 
, так как скорость 
 
V x   
(в изотропном случае) зависит только от точки x. 
Остановимся подробнее на последнем подходе к выводу уравнения 
эйконала, который вытекает из структуры рассматриваемых уравнений 
и не опирается на какой-либо из упомянутых выше принципов. 

2.1. Характеристическое уравнение  
в скалярном случае 

Волновые явления описываются уравнениями в частных производных (1) – (7), которые относятся к гиперболическому типу (см. приложение 1). Распространяющиеся волны ассоциируются с разрывами 
(высокочастотными составляющими) решений этих уравнений, кото-
рые лежат на так называемой характеристической поверхности. Форма  
характеристической поверхности описывается характеристическим 
уравнением [5], которое в сейсмике принято называть уравнением эйконала. 
Рассмотрим уравнение в частных производных в n-мерном пространстве: 

 
 
 
 
 
2

,
...
...
0,
ik
ik
ik
i
k

u
a
u
a
x x





 
x
x
x
x
 
 (9) 

где 
 
 
ik
ki
a
a

x
x  – коэффициенты уравнения;  
u x  – решение уравнения в пространстве с координатами 


1,..., n
x
x

x
, символ  в 

уравнении обозначает члены с производными меньше второго порядка. 
Пусть решение 
 
u x  имеет разрыв второй производной на поверхности, заданной 
уравнением 
 
0


x
 (схематически показано на рис. 1). Введем новые криволинейные 
координаты 
 
 
 


1
,...,
n
 

ξ x
x
x
, такие 
что 
 
 
1

 
x
x , т. е. поверхность разрыва в 
новых координатах описывается уравнением 

1
0
 
. Тогда предположение о разрыве второй производной решения вдоль этой поверхности эквивалентно выполнению 

 
 
 

1 1
1 1
1
1
,
,
0
0 .
u
u


 
 
 
 

 

(10) 

Заметим, что функции u , 
, i
u  , 
, i
j
u    и 
1
,
j
u    являются непрерыв
ными в окрестности 
0
 
 при ,
1
i j  . Выпишем выражения для производных сложной функции: 

 
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
i
j
i j
k n
k
x
j i
x x
k i
n j
k ij
u
u
u
u
u

 








 
 (11) 

Подставим выражения (11) в уравнение (9) и перегруппируем члены: 

 


1 1
1,
1,
,
...
0,
ik
i
k
a
u  




 
(12) 

где символ ...  обозначает члены, сохраняющие непрерывность при пересечении поверхности 
0
 
. 
Из уравнения (12) следует, что функция 
1 1
,u    может иметь разрыв 

в окрестности 
0
 
, только если коэффициент при этой функции равен нулю, так как в противном случае из уравнения следует ее непрерывность. Это требование записывается в форме характеристического 
уравнения: 

 
0.
ik
i
k
a
x
x

  


 
(13) 

 
Рис. 1. Поверхность  
разрыва решения 

Заметим, что для заданных коэффициентов 
ik
a
 формула (13) оказывается уравнением, которому должна удовлетворять функция 
 
 x . 
Иными словами, решение  
u x  может иметь разрыв второй производной только на характеристической поверхности 
 
0


x
, удовлетворяющей уравнению (13). 
Замечание. Члены уравнения с производными первого порядка не 
влияют на форму характеристического уравнения. 

Пример 1. Скалярное волновое уравнение 

Напомним вид скалярного волнового уравнения (см. уравнение (7)): 

 




2
2
2
,
,
( )
0.
u
t
u
t
V
t

 





x
x
x
 
(14) 

Рассмотрим характеристическую поверхность в форме 

 


 
,
0.
t
t

   

x
x
 
 (15) 

Тогда характеристическое уравнение (13) переписывается в виде 
стандартного уравнения эйконала:  

 
 

 

2
2
1
0 ,
V




x
x
 
(16) 

где 
2
,
,
k
k
x
x

 

. 

Пример 2. Анизотропное скалярное волновое уравнение 

Рассмотрим гиперболическое (см. приложение 1 уравнение в частных производных вида 





2
2

2
члены 1-го порядка

,
,
...
0.
ij
i
j

u
t
u
t
a
b
x x
t






 


x
x


 

Матрица коэффициентов 

 

/
ij
ij
a
a
b


A

 – положительно определенная матрица. Тогда это уравнение принимает вид 

 




2
2

2
члены 1-го порядка

,
,
...
0,
ij
i
j

u
t
u
t
a
x x
t






 


x
x

 
(17) 

а соответствующее ему характеристическое уравнение: 

 

2
0.
ij
i
j
a
x
x
t
 












 
(18) 

Взяв описание характеристической поверхности в форме (15), получаем уравнение эйконала: 

 
т
1.

 
A
 
 (19) 

Замечание. В случае скалярного волнового уравнения возможен 
только эллиптический тип анизотропии. 

2.2. Способы решения уравнения эйконала 

В (n + 1)-мерном пространстве времени характеристическая поверхность задается уравнением 


,
0
t


x
 и является n-мерной гиперповерхностью. При ее задании в форме (15) (для гиперболических 
уравнений второго порядка) характеристическая поверхность задается 
функцией  
 x , а ее изолинии определяют гиперповерхности в n-мерном физическом пространстве, фронты, которые являются носителями 
разрыва решения в последовательные моменты времени t . Таким образом, характеристическую поверхность можно рассматривать как 
объединение фронтов, распространяющихся во времени (рис. 2). 
Вспомним (см. формулу (15)), что 

,t
 x
 можно представить в виде 



 
,
.
t
t

   
x
x
 

Отсюда видно, что одну и ту же характеристическую поверхность 


,
0
t


x
 можно «заметать» в двух разных направлениях (например, 
расходящиеся и сходящиеся фронты). Это соответствует симметрии