Геометрическая сейсмика 1. Лучевой метод

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
А.А. ДУЧКОВ 
 
 
 
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ  
СЕЙСМИКА 1 
 
ЛУЧЕВОЙ МЕТОД 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 550.344(075.8) 
Д 859 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, профессор Г.М. Митрофанов 
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. ИНГГ СО РАН С.В. Яскевич 
 
 
Работа подготовлена на кафедре геофизических систем для студентов  
IV курса ФТФ, направление 16.03.01 – Техническая физика 
 
 
 
Дучков А.А. 
Д 859  
Геометрическая сейсмика 1. Лучевой метод: учебное пособие / А.А. Дучков. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 63 с. 

ISBN 978-5-7782-3842-8 

Излагается введение в теорию лучевого метода, который используется для описания распространения сейсмических волн. 
Рассматривается теория характеристик для гиперболических уравнений в частных производных. Выводится уравнение эйконала, система уравнений луча, транспортные уравнения для описания амплитуды волны вдоль луча. Обсуждается понятие лучевой трубки, вопрос 
преломления-отражения лучей на границе раздела сред, распространение волн в анизотропных средах. 
Предназначено для студентов старших курсов, специализирующихся по геофизике и геофизическим методам разведки полезных ископаемых. 
 
 
 
 
 
 
УДК 550.344(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3842-8 
© Дучков А.А., 2019 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2019 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Лучевой метод является мощным методом анализа гиперболических 
уравнений в частных производных и приближенного описания их решений. В сейсмике первые работы по лучевому методу появились еще в 
середине 50-х годов прошлого века, но его использование продолжается 
до сих пор. Во-первых, во многих ситуациях он дает хорошее приближенное описание волновых полей. Во-вторых, лучевой метод выступает 
в качестве метода анализа результатов волновой картины, т. е. речь идет 
о его «объяснительной» роли. Достаточно упомянуть, что такие фундаментальные понятия, как «каустика», «критический угол» и другие появились именно в результате геометрического анализа волн. 
Распространение волн в нашем случае отождествляется с распространением разрывов решений уравнения. Обсуждается как скалярное 
волновое уравнение, так и система уравнений эластодинамики. Кинематика волн описывается уравнением эйконала, которое является характеристическим уравнением для изначального гиперболического 
уравнения. 
Сначала выводится уравнение эйконала как характеристическое 
уравнение для уравнения в частных производных (обычно уравнение 
эйконала выводится в рамках лучевого метода). Такой вывод подчеркивает факт, что уравнение эйконала характеризует уравнение в частных производных, а не существует только в рамках высокочастотного 
приближения. 
Далее обсуждается использование гамильтонова формализма для 
решения уравнения эйконала. В рамках этого подхода распространение 
волн идет вдоль лучей (бихарактеристик), которые можно строить решением системы уравнений луча. 
Затем рассматривается анизотропный случай, уравнение Кристоффеля, поверхность медленности, фазовая и групповая скорость и т. д. 
В заключение обсуждается понятие лучевой трубки (параксиального описания пучка близких лучей) и вопрос преломления-отражения 
лучей через границу. 

Далее дается собственно описание лучевого метода. Для этого 
ищем решение уравнения эластодинамики для изотропного случая в 
виде анзаца, заданного в форме лучевого ряда. Подставляя лучевой ряд 
в уравнение, получаем рекуррентные соотношения, уравнение эйконала и транспортное уравнение; рассматриваем поляризацию поперечной 
и продольной волны. 
Рекомендации по учебной литературе. В качестве введения в 
геометрическую сейсмику можно рекомендовать учебники В. Червени, 
И.А. Молоткова и И. Пшенчика [8] и учебник М.М. Попова [10] (есть 
электронная версия). Учебник С.В. Гольдина [6] может оказаться труден при первом прочтении, но будет чрезвычайно полезен для студентов, специализирующихся по сейсмике, для более углубленного изучения предмета. Книга В. Червени [13] является, скорее, справочником, 
чем учебником, и может быть рекомендована специалистам, хорошо 
ориентирующимся в предмете. 
Теоретические основы лучевого трассирования в анизотропных средах хорошо изложены в учебнике Дж. Брокесовой [7] и в курсе В. Гречки 
по использованию анизотропии при решения разведочных задач [9]. 
Среди удачных книг по лучевому методу следует отметить работу 
Ю.А. Кравцова и Ю.И. Орлова [4]. Более строгое изложение математических основ и многих сложных явлений, возникающих в рамках теории распространения волн, можно найти в книге В.М. Бабича и 
В.С. Булдырева [2]. 
Обозначения. Используется правило суммирования по повторяющимся индексам. Жирными буквами обозначаются векторстолбцы; верхний индекс «т» обозначает транспонирование, так что 
т
1
2
3
(
,
)
,
v v
v

v
. Для частных производных по пространственным координатам и по времени вводим следующие обозначения: 

,
,
.
i
i j
j

v
u
v
u
x
t








 

Преобразование Фурье обозначаем символом «шапочки»: 



ˆ( )
( ) ,
t
f
f t
  
 

где 
t
  – оператор преобразования Фурье. 

Вводятся также следующие обозначения: 
,
div
;
i
i i
i
i

v
v
x

  




v
v
 

grad
;
u
u
 
 
, .
ii
u
u


 

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ СЕЙСМИКИ 
 
Уравнения анизотропной упругости. Распространение сейсмических волн в твердых телах описывается уравнениями эластодинамики 
(или системой уравнений упругости): 

 
 


 


,
,
,
,
0 ,
ijkl
k l
i
j
c
u
t
u
t


 



x
x
x
x

 
(1) 

где 
k
u  – компоненты вектора смещений; 
ijkl
c
 – тензор упругих модулей;  – плотность. 
В частотной области оно имеет эквивалентную форму: 

 
 


 


2
,
,
,
0,
ˆ
,
ˆ
ijkl
k l
i
j
c
u
u



 

 


x
x
x
x
 
 (2) 

где знак шапочки обозначает результат преобразования Фурье по времени. 
Уравнения изотропной упругости. Уравнения эластодинамики (1) для изотропной среды принимают вид (часто их называют уравнениями Ламе) 

 
 


 






 


,
,
,
,
,
,
,
,
,
0,
i i
i k
k i
k
k
i
u
t
u
t
u
t
u
t

 

 









x
x
x
x
x
x
x

 (3) 

их также можно записать в другой форме: 

 




div
div
0 ,
k
k
k
u
x




   
  
  
 
  









u
u
u
u
e
u
  (4) 

где 







 т
1
2
3
,
(
,
, 
,
, 
,
)
t
u
t
u
t
u
t

u x
x
x
x
 – вектор смещений; 
k
e  – обозначает k-й орт декартовой системы координат; 
 
 x , 
 
 x  – модули 
упругости в изотропной среде (параметры Ламе);  
 x  – плотность. 

Уравнение линейной акустики. Распространение акустических 
волн в неоднородных средах описывается системой уравнений первого 
порядка (уравнение неразрывности и движения соответственно): 

 



 
 








 



2
,
div
,
0,

,
1
,
0,  

p
t
V
t
t

t
p
t
t


 










x
x
x
v x

v x
x
x

 
(5) 

где 


,
p
t
x
 – давление: 


,t
v x
 – скорость смещения частиц; 
 
 x  – 
плотность; 
 
V x  – скорость акустических волн. 
Эту систему уравнений можно привести к дифференциальному 
уравнению второго порядка для давления: 

 
 
 
 




2
2
2
,
1
div
,
0.
p
t
V
р
t
t















x
x
x
x
x
 
(6) 

Скалярное волновое уравнение. Распространение волн также  
часто описывают скалярным волновым уравнением, которое соответствует уравнению акустики для случая постоянной плотности 
(
const)
 
: 

 




2
2
2
,
,
( )
0 ,
u
t
u
t
V
t

 





x
x
x
 
(7) 

где V  – скорость распространения волн. 
 
 
2. УРАВНЕНИЕ ЭЙКОНАЛА 
 
Уравнением эйконала в сейсмике принято называть уравнение, 
описывающее траектории и время распространения волн, т. е. их кинематику. Существует несколько способов вывода уравнения эйконала: 
1) из принципа Ферма; 
2) из принципа Гюйгенса; 
3) из принципа локальности; 
4) как характеристическое уравнение. 

Первых два способа традиционно используются в сейсмической 
литературе при рассмотрении лучевого метода. Принцип локальности 
был предложен С.В. Гольдиным в качестве обобщения принципа Гюйгенса и Ферма. Предлагалось определить процесс распространения чего-либо в эксперименте, если этот процесс задается полем времен: 

 
 ,
t   x
 
 (8) 

где  
 x  – дифференцируемая в некоторой области функция. 
Градиент   задает направление и скорость распространения процесса. Принцип локальности состоит в том, что   в каждой точке x 
не зависит от проводимого эксперимента и определяется только свойствами среды в окрестности этой точки. Тогда распространение описывается уравнением эйконала 
1/V
 
, так как скорость 
 
V x   
(в изотропном случае) зависит только от точки x. 
Остановимся подробнее на последнем подходе к выводу уравнения 
эйконала, который вытекает из структуры рассматриваемых уравнений 
и не опирается на какой-либо из упомянутых выше принципов. 

2.1. Характеристическое уравнение  
в скалярном случае 

Волновые явления описываются уравнениями в частных производных (1) – (7), которые относятся к гиперболическому типу (см. приложение 1). Распространяющиеся волны ассоциируются с разрывами 
(высокочастотными составляющими) решений этих уравнений, кото-
рые лежат на так называемой характеристической поверхности. Форма  
характеристической поверхности описывается характеристическим 
уравнением [5], которое в сейсмике принято называть уравнением эйконала. 
Рассмотрим уравнение в частных производных в n-мерном пространстве: 

 
 
 
 
 
2

,
...
...
0,
ik
ik
ik
i
k

u
a
u
a
x x





 
x
x
x
x
 
 (9) 

где 
 
 
ik
ki
a
a

x
x  – коэффициенты уравнения;  
u x  – решение уравнения в пространстве с координатами 


1,..., n
x
x

x
, символ  в