Вычислительная математика: численные методы решения задач тепломассообмена

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
М.В. ГОРБАЧЕВ, М.С. МАКАРОВ 
 
 
 
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ  
МАТЕМАТИКА 
 
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ  
ТЕПЛОМАССООБМЕНА 
 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

УДК 536.24:519.61(075.8) 
Г 672 
 
Рецензенты: 
канд. техн. наук, доцент И.А. Сажин  
д-р физ.-мат. наук, профессор М.А. Пахомов 
 
Работа подготовлена на кафедре технической теплофизики 
и утверждена Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебно-методического пособия 
 
Горбачев М.В. 
Г 672       Вычислительная математика: численные методы решения задач 
тепломассообмена: учебно-методическое пособие / М.В. Горбачев, 
М.С. Макаров. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 64 с. 

ISBN 978-5-7782-3786-5 
 
УДК 536.24:519.61(075.8) 
 
Горбачев Максим Викторович 
Макаров Максим Сергеевич 
 
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 
 
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОМАССООБМЕНА 
 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
Редактор И.Л. Кескевич 
Выпускающий редактор И.П. Брованова 
Корректор И.Е. Семенова 
Дизайн обложки А.В. Ладыжская 
Компьютерная верстка С.И. Ткачева 

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции 
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП) 

Подписано в печать 25.12.2018. Формат 60  84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 50 экз.  
Уч.-изд. л. 3,72. Печ. л. 4,0. Изд. № 6. Заказ № 153. Цена договорная 

Отпечатано в типографии 
Новосибирского государственного технического университета 
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 
 
ISBN 978-5-7782-3786-5 
© Горбачев М.В., Макаров М.С., 2018 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2018 

 
 
 
 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Вычислительная математика – раздел прикладной математики, в 
котором проводятся разработка, обоснование и реализация (на базе 
вычислительной техники) методов приближенного решения разнообразных задач на уровне математических моделей. 
Основное содержание дисциплины «Вычислительная математика» 
составляют численные методы, представляющие собой упорядоченные 
схемы (итерационные процедуры, расчетные формулы, алгоритмы) 
переработки информации с целью нахождения приближенного решения рассматриваемой задачи в числовой форме. 
В настоящем учебно-методическом пособии представлены лабораторные работы, цель проведения которых – ознакомить студентов с 
численными методами решения практических задач и помочь им выработать навыки, необходимые при решении задач с использованием 
электронных вычислительных машин. 
Методические указания отражают в предельно краткой форме простейшие методы нахождения полей скоростей, основных характеристик течений и теплообмена. Лабораторные работы выполняются на 
ЭВМ и предполагают закрепление знаний по таким дисциплинам, как 
вычислительная математика, информатика и тепломассообмен. Всего 
представлено пять лабораторных работ, для каждой из которых предлагается 10 вариантов заданий, а также задание к расчетно-графической работе. В ходе выполнения лабораторных работ студенты рассматривают основные методы и приемы вычислительной математики, 
знать которые необходимо при разработке алгоритмов решения практических задач. 
 
 

Лабораторная работа № 1 

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ  
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 
МЕТОДОМ ТОМАСА (ПРОГОНКИ) 
 
Метод Томаса (прогонки) предназначен для решения линейных 
систем уравнений с трехдиагональными матрицами. Это важный в 
приложениях случай систем линейных алгебраических уравнений 
(СЛАУ), возникающий, к примеру, при решении многих краевых задач 
для дифференциальных уравнений. По определению, трехдиагональными называются матрицы, все ненулевые элементы которых сосредоточены на трех диагоналях – главной и двух соседних с ней. Иными 
словами, для трехдиагональной матрицы 
(
)
ij
A
a

 неравенство 
0
ij
a 
 
имеет место лишь при i
j

 и 
1
i
j

  [3, 12]. 
Обычно трехдиагональные системы линейных уравнений записывают в некотором каноническом виде, даже без обращения к матричновекторной форме: 

 
1
1
i i
i i
i i
i
a x
b x
c x
d





,  где 
0, ..., 
i
n

, 

причем полагают 
0
0
a 
 и 
0
n
c 
. Подобный вид и обозначения оправдываются тем, что соответствующие СЛАУ получаются действительно 
«локально», как дискретизация дифференциальных уравнений, связывающих значения искомых величин также локально, в окрестности какой-либо рассматриваемой точки. 
Например, при численном решении дифференциального уравнения 
движения конечно-разностная аппроксимация производной второго 
порядка при равномерном шаге имеет вид 

2
1
1
2
2
(
)
2(
)
(
)
x
x i
x i
x i
w
w
w
w

x
h








, 

и поэтому решение конечно-разностными методами краевых задач для 
различных дифференциальных уравнений второго порядка приводит к 
трехдиагональным матрицам и системам с такими матрицами. 
Метод прогонки является одним из эффективных методов решения 
СЛАУ с трехдиагональными матрицами, и это – частный случай метода Гаусса. 
Разберем наиболее простой случай ленточных систем, к которым 
сводится решение дифференциальных уравнений методами конечных 
разностей, конечных элементов и др. Будем искать решение такой системы, каждое уравнение которой связывает три «соседних» неизвестных: 

 
1
1
j
j
j
j
j
j
j
A x
B x
C x
D





, 
(1.1) 

где 
0, 1, ..., 
j
n

. Такие уравнения называют трехточечными разностными уравнениями второго порядка. Система (1.1) имеет трехдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного 
(1.1), векторно-матричного представления: 

 

0
0
0
0

1
1
1
1
1

2
2
2
2
2

1
1
1
1
1

0
0
...
0
0
0
0
...
0
0
0
0
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
0
0
...
0
0
0
0
...
0

n
n
n
n
n

n
n
n
n

B
C
x
D
A
B
C
x
D
A
B
C
x
D

A
B
C
x
D
A
B
x
D








 




 




 




 






 




 




 




 




 




. (1.2) 

Ставя цель избавиться от ненулевых элементов в поддиагональной 
части матрицы системы (1.2), предположим, что существуют такие 
наборы чисел 
j
  и 
j
  (
0, 1, ..., 
j
n

), при которых имеет место равенство 

 
1
j
j
j
j
x
x 
 
 , 
(1.3) 

означающее, что трехточечные уравнения второго порядка (1.1) преобразуются в двухточечное уравнение первого порядка (1.3). Коэффициенты 
j
  и 
j
  – прогоночные коэффициенты, подлежащие определению. 

Уменьшим в (1.3) индекс на единицу и полученное при этом выражение 
1
1
1
j
j
j
j
x
x



 
 
 подставим в уравнение (1.1): 

 
1
1
1
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
A x
A
B x
C x
D








, 

откуда будем иметь 

 
1
1
1
1

j
j
j
j
j
j

j
j
j
j
j
j

C
D
A
x
x
A
B
A
B







 





. 
(1.4) 

Сравнивая (1.4) и (1.3), получаем 

 

1

j
j

j
j
j

C

A
B

   

,    
1

1

j
j
j
j

j
j
j

D
A

A
B






  

. 
(1.5) 

Легко видеть, что в силу условия 
0
0
A 
 процесс вычисления 
j
 , 
j
  
может быть начат со значений 

 
0
0
0

C
B
  
,    
0
0
0

D
B
 
 

и продолжен далее по формулам (1.5) последовательно при 
1, 2, ..., 
j
n

, причем при j
n

, в силу 
0
n
C 
, получим 
0
n
 
. Следовательно, полагая в (1.3) j
n

, будем иметь 

 
1

1

n
n
n
n
n
n
n
n

D
A
x
A
B





   

, 

где 
1
n

, 
1
n

 – уже известные из расчета на предыдущем шаге числа. 
Далее по формулам (1.3) последовательно находим значения 
1
n
x  , 

2
n
x  , …, 0
x  при 
1, 
2, ..., 0
j
n
n



 соответственно. 
Таким образом, решение уравнений вида (1.1) выведенным выше 
методом прогонки сводится к вычислениям по трем простым формулам. Сначала, полагая 
0, 1, ..., 
j
n

, делают цикл вычислений так 
называемых прогоночных коэффициентов 
j
 , 
j
  по формулам (1.5) 
(прямая прогонка), а затем по формуле (1.3) при 
1, 
2, ..., 0
j
n
n



 
вычисляют значения неизвестных 
j
x  (обратная прогонка) [11]. 

Для устойчивости метода прогонки достаточно выполнить следующие условия: матрица коэффициентов должна обладать свойством 
диагонального преобладания 

j
j
j
B
A
C


,  
0, ..., 
j
n

  и  
0
j
A 
,  
0
j
C 
,  
1, ..., 
1
j
n

 , 

причем строгое неравенство имеет место хотя бы при одном j . 

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ СЛАУ  
МЕТОДОМ ТОМАСА 

1. Определяются 
значения 
коэффициентов 
0
0
0
/
C
B
  
, 

0
0
0
/
D
B
 
. 
2. Прямой ход: при 
1, ..., 
1
j
n

  рассчитываются 
j
  и 
j
  по 
(1.5). 
3. Рассчитываются 
n
  и n
n
x   . 
4. Обратный ход: при 
1, ..., 0
j
n


 рассчитываются 
j
x  по (1.3). 
Замечание. Одним из факторов, определяющих выбор того или 
иного метода при решении конкретной задачи, является вычислительная эффективность метода. Особенность прямых методов в том, что 
здесь можно точно подсчитать требуемое количество арифметических 
операций. Необходимые операции и их число наглядно видны из 
табл. 1.1 (где вычитания отождествляются со сложением). 

Т а б л и ц а  1.1 

Подсчет арифметической сложности метода прогонки 

Расчетные формулы 
Количество 

умножений делений
сложений 

0
0
0
/
C
B
  
, 
0
0
0
/
D
B
 
 
– 
2 
– 

1
/ (
)
j
j
j
j
j
C
A
B


 


, 
1, ..., 
1
j
n

  
1
n   
1
n   
1
n   

1
1
(
) / (
)
j
j
j
j
j
j
j
D
A
A
B


 



, 

1, ..., 
1
j
n

  
1
n   
1
n   
1
n   

1
1
(
) / (
)
n
n
n
n
n
n
n
D
A
A
B


 



 
2 
1 
2 

1
j
j
j
j
x
x 
 
 , 
, ..., 0
j
n

 
n  
– 
n  

Итого арифметических действий 
6(
1)
2
7
8
1
n
n
n




  

Таким образом, общее число арифметических операций в методе 
прогонки есть 8
1
n   (примерно 8n) и пропорционально, таким образом, числу уравнений n. Такие методы решения СЛАУ называют экономичными. Для сравнения число операций в методе Гаусса составляет 

примерно 
3
2
3 n  [3, 4, 6]. 

Пример. Методом Томаса (прогонки) решить СЛАУ  

1
2

1
2
3

2
3

2
4,
3
2,
2
3.

x
x
x
x
x
x
x













 

В матричной форме исходная система уравнений примет вид 

0

1

2

2
1
0
4
1
3
1
2
0
1
2
3

x
x
x


 

 

 

 


 

 


 

 

 

 

 или 
0
1
1
A

 
 
  

 
 

, 
2
3
2
B




 








, 
1
1
0
C

 
 
  

 
 

 и 
4
2
3
D

 
 
  

 
 

. 

Воспользуемся указанным выше алгоритмом решения: 

1. 
0
1
0,5
2
  
 
, 
0
4
2
2
 

. 

2. Цикл 
1, ..., 
1
j
n

 , где 
2
n 
: 

1
1
0,4
0,5 1
3
  
 

 
,    1
2
2 1
0
0,5 1
3



 


 
. 

3. 


2
3
0 1
1,25
0,4 1
2


 
 

  
 и 2
2
1,25
x    
. 

4. Цикл 
1, ..., 0
j
n


: 

1
0,4( 1,25)
0
0,5
x  



; 

0
0,5 0,5
2
1,75
x  



. 

Таким образом, 
1,75
0,5
1,25
x






 







. 

Реализация алгоритма решения системы линейных уравнений в системе MathCAD показана на рис. 1.1. 
 

 
Рис. 1.1. Решение СЛАУ методом Томаса в системе MathCAD 

ЗАДАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 

Решить СЛАУ с трехдиагональной матрицей, содержащей четыре 
неизвестные методом Томаса. Варианты исходных данных приведены 
в табл. 1.2. 
Пояснения. В ходе выполнения этого задания необходимо: 
1) составить программу в системе MathCAD для нахождения корней СЛАУ методом Томаса (прогонки); 

2) решить СЛАУ, используя процедуру системы MathCAD – lsolve; 
3) решить СЛАУ аналитическим методом прогонки.  

Т а б л и ц а  1.2 

Варианты исходных данных 

Номер  
варианта 

Коэффициенты 
при неизвестных 
Номер 
варианта 

Коэффициенты 
при неизвестных 

0
x  
1x  
2
x
3
x  
ib  
0
x  
1x  
2
x  
3
x  
ib  

1 

1 
–10 
0 
0 

4 
–10
–6 
0 

0 
7 
–5 
7 

0 
0 
3 
1 

–11
–13
54 
–64

6 

1 
–9 
0 
0 

–5 
6 
–5 
0 

0 
–9 
8 
4 

0 
0 
–3 
1 

–27 
–27 
14 
12 

2 

1 
–7 
0 
0 

1 
–4 
–6 
0 

0 
–1 
6 
8 

0 
0 
–5 
1 

2 
–34
15 
49 

7 

1 
5 
0 
0 

–6 
4 
–6 
0 

0 
1 
3 
–2 

0 
0 
1 
1 

63 
24 
40 
–11 

3 

1 
–9 
0 
0 

–9 
5 
7 
0 

0 
–1 
0 
–3 

0 
0 
1 
1 

86 
–18
–61
–3 

8 

1 
5 
0 
0 

–1 
4 
–8 
0 

0 
–7 
8 
–7 

0 
0 
5 
1 

8 
58 
–22 
65 

4 

1 
–1 
0 
0 

9 
–2 
–9 
0 

0 
–8 
0 
–8 

0 
0 
3 
1 

33 
–76
–42
–69

9 

1 
9 
0 
0 

3 
–7 
–7 
0 

0 
–10
–10
3 

0 
0 
–3 
1 

–12 
–74 
10 
–1 

5 

1 
–5 
0 
0 

10 
–5 
–1 
0 

0 
4 
9 
6 

0 
0 
–7 
1 

–33
13 
32 
47 

10 

1 
–4 
0 
0 

9 
–3 
–5 
0 

0 
0 
–7 
–4 

0 
0 
–5 
1 

41 
1 
–51 
–11