Теоретические основы электротехники. Электрические цепи с распределенными параметрами

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
Ю.В. ПЕТРЕНКО 
 
 
 
 
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ 
ОСНОВЫ  
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ 
 
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ 
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ  
ПАРАМЕТРАМИ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

 

УДК 621.3.01(075.8) 
         П 303 
 
 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, профессор В.Ю. Нейман 
канд. техн. наук, доцент В.И. Богданов 
 
Работа подготовлена на кафедре теоритических основ электротехники 
 для студентов электротехнических направлений подготовки  
всех форм обучения 
 
Петренко Ю.В. 
П 303   
Теоретические основы электротехники. Электрические цепи 
с распределенными параметрами: учебное пособие / Ю.В. Петренко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 64 с. 

ISBN 978-5-7782-3876-3 

Рассмотрены методы расчета установившихся и переходных режимов в электрических цепях с распределенными параметрами 
(длинных линиях). Для лучшего усвоения предложенного материала в 
пособии приводится решение задач с различными режимами работы 
длинных линий. 
Структура и содержание пособия соответствуют программе курса 
«Теоретические основы электротехники» для студентов электротехнических специальностей. 
Предназначено для самостоятельной работы студентов энергетических специальностей всех форм обучения. 
 
 
УДК 621.3.01(075.8) 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-3876-3  
 
 
 
 
 
© Петренко Ю.В., 2019 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2019 
 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Настоящее пособие является продолжением курса «Теоретические 
основы электротехники», в котором изложены методы расчета электрических цепей с распределенными параметрами на примере длинных 
линий электропередач. 
Структура и содержание пособия соответствуют требованиям 
ФГОС ВО по направлению Электроэнергетика. 
Пособие состоит из нескольких разделов. В каждом из разделов, 
подробно рассматриваются темы, соответствующие программе курса, 
приводится графический материал, который поможет наиболее полно 
освоить нужные темы. 
Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов 
энергетических направлений всех форм обучения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

1. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ  
В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ 

До настоящего времени рассматривались электрические цепи, в которых не учитывалось падение напряжения вдоль линии электропередачи, т. е. напряжение на источнике и нагрузке считалось одинаковым. 
Кроме того, не учитывались некоторые электромагнитные процессы, 
возникающие в линиях электропередачи и элементах электрической 
цепи, при больших напряжениях и высоких частотах. В частности, не 
принимались во внимание токи смещения, обусловленные емкостью 
между проводами, между линией и землей, а также токи утечки через 
гирлянды изоляторов, обусловленные несовершенной изоляцией и коронным электрическим разрядом вблизи проводов. 
Токи, текущие в проводах, вызывают падение напряжения в активном сопротивлении проводов и создают переменное магнитное поле, 
которое вызывает ЭДС самоиндукции вдоль всей линии. Поэтому и 
напряжение между проводами линии по ее длине также не остается 
постоянным. 
Чтобы учесть всю совокупность электромагнитных процессов в 
линии, необходимо полагать, что каждый бесконечно малый элемент 
линии обладает активным, индуктивным и емкостным сопротивлением, т. е. линия – это цепь с распределенными параметрами. Такую линию принято называть «длинной». Если параметры линии равномерно 
распределены по ее длине, то ее называют однородной линией. Длинной считается такая линия, длина которой соизмерима с длиной волны, 
т. е. линию даже в один сантиметр при достаточно высоких частотах 
тоже можно считать длинной. 
Длинная линия характеризуется продольными (сопротивление и 
индуктивность) и поперечными (емкость и проводимость) параметрами. Параметры линии рассчитываются на единицу ее длины и обозначаются (
0
0
0
0
,
,
,
g
c
r
L ). 

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛИННОЙ ЛИНИИ 

Для вывода уравнений длинной линии представим ее как совокупность бесконечно малых участков длиной ∆х (рис. 1). 

 
Рис. 1. Элементы длинной линии 

Каждый элементарный участок представим в виде четырехполюсника (рис. 2).Таким образом, длинная линия будет представлять цепочку из n четырехполюсников, соединенных последовательно. 

 

Рис. 2. Эквивалентная схема замещения длинной линии 

Рассмотрим элемент однородной линии длиной ∆х (рис. 3). Запишем для этого элемента систему уравнений по законам Кирхгофа. 
Уравнение по первому закону Кирхгофа запишем для узла 1: 

 
0
0
(
)
(
)
(
)
0.
i
i
i
U
U g
x
U
U C
x

  
 
 
 
 
 
 (1) 

Раскрыв в уравнении (1) скобки, получим 

 
0
0
0
0
0.
i
i
i Ug
x
Ug
x UC
x
UC
x
   
  
 
  
 
  
(2) 

Преобразовав уравнение (2), получим уравнение для тока i: 

 
0
0
0
0.
i
Ug
Ug
U C
U C
x



 


 


 
 (3) 

Рис. 3. Элемент схемы замещения, рис. 2 

Уравнение по второму закону Кирхгофа запишем для левого контура схемы (см. рис. 3). 

 
0
0
,
U
i L
x
iR
x U
U
 
 
 
 
  
(4) 

или после несложных преобразований 

 
0
0.
U
i L
iR
x


 


 
(5) 

В результате получим систему уравнений 

 

0
0

0
0
0
0

,

.

U
i L
iR
x

i
Ug
Ug
U
C
U
C
x



 







 


 

 


 
(6) 

Если в системе (6) перейти к пределам и пренебречь величинами 
второго порядка малости, получим систему уравнений в частных производных: 

 

0
0

0
0

,

.

i
U
Ug
C
x
t

U
i
iR
L
x
t






 

 









 
(7) 

В системе (7) ток и напряжение являются функцией двух координат: времени и пространственной координаты х, характеризующей 

длину линии. Следует отметить, что уравнения системы (7) дают возможность определить токи и напряжение в зависимости от расстояния 
от начала линии, и они справедливы при любых изменениях как тока, 
так и напряжения от времени. Поэтому уравнения системы (7) часто 
называют основными уравнениями длинной линии. 
 
 

3. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ  
ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛИННОЙ ЛИНИИ 

Рассмотрим длинную линию, питаемую синусоидальным: 
напряжением  

 
0
( )
sin
;
j
j t
j t
m
m
u t
U
t
U e
e
Ue



 

 
(8) 

и током 

 
( )
sin(
)
.
i
j
j t
j t
m
i
m
i t
I
t
I e
e
Ie




  


 
(9) 

Подставив выражения (8) и (9) в систему (6), получим 

 

0
0

0
0

,

.

I
Ug
j C U
x

U
IR
j L I
x




 


 


 




 
(10) 

Преобразовав систему (10), получим 

 

0
0

0
0

(
) ,

(
) .

I
g
j C U
x

U
R
j L
I
x




 


 


 




 
(11) 

После введения новых обозначений 

0
0
0
0
0
0
,
Y
g
j C
Z
R
j L

 

 
 

будем иметь систему 

 

0

0

,

.

I
UY
x

U
IZ
x




 
 






 
(12) 

В системе (12) 
0
0
0
Y
g
j C

 
 носит название полной поперечной 

проводимости длинной линии, а 
0
0
0
Z
R
j L

 
 – полного продольного сопротивления длинной линии. 
 
 

4. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТОКА  
И НАПРЯЖЕНИЯ В ДЛИННОЙ ЛИНИИ 

Эти уравнения получают в результате решения системы дифференциальных уравнений (12). Продифференцируем по х уравнения системы (12). Получим систему 

 

2

0
2

2

0
2

,

.

I
U
Y
x
x

U
I
Z
x
x

 







 








 
(13) 

Подставив в систему (13) значение первой производной тока и 
напряжения из системы (12), будем иметь 

 

2

0
0
2

2

0
0
2

,

.

I
Y Z I
x

U
Y Z U
x








 


 
(14) 

Решим второе уравнение системы (14): 

 

2

0
0
2
0.
U
Y Z U
x





 
(15) 

Запишем характеристическое уравнение для уравнения (15): 

 
2
0
0
0,
Z Y
 

 
(16) 

где   – корень характеристического уравнения. 
Из уравнении (16) следует, что 

 
0
0.
Z Y
  
 
(17) 

Корень характеристического уравнения, полученный из выражения (17), называют коэффициентом распространения. Таким образом, решение уравнения (15) с учетом (17) можно записать в виде 

 
1
2
,
x
x
U
A e
A e




 
(18) 

где 
1
2
,  
А
А  – неизвестные постоянные интегрирования, которые в общем случае могут быть комплексными. 
Ток в линии найдем из второго уравнения системы (12): 

 
1
2
0
0

1
(
)
x
x
U
I
A e
A e
Z
x
Z





 
 


. 
(19) 

Таким образом, решение системы уравнений (13) для длинной линии будет иметь вид 

 

1
2

1
2
0

,

(
).

x
x

x
x

U
A e
A e

I
A e
A e
Z












 




 
(20) 

Введем новое обозначение. Пусть 

 

2
0
0
0

0
0
0
.
c
Z
Z
Z
Z
Z Y
Y




 
(21) 

Назовем сопротивление 
c
Z
 волновым сопротивлением длинной 
линии. С учетом выражения (21) волновое сопротивление запишем как 

 
0

0

0
0
.
0
0

j

c
R
j L
Z
Z
e
g
j C
Y


 


 
 
(22) 

Очень важное значение при работе линий с распределенными параметрами имеет коэффициент распространения γ: 

 
0
0
.
Z Y
j
  
     
(23) 

Если подставить в уравнение (23) значение удельных параметров 
линии, получим 

 
0
0
0
0
0
0
)(
.
Z Y
R
j L
g
j C
  

 
 
 
(24) 

Как следует из уравнений (23) и (24) коэффициенты 
и

  сильно 
зависят от частоты. Отметим, что в звуковых сигналах и в речи в 
большом количестве присутствуют высшие гармонические, которые 
затухают, как следует из (24), сильнее. Последнее обстоятельство приводит к амплитудным и частотным искажениям. В результате сигнал 
на выходе линии будет значительно сильно отличаться от входного и 
становится трудно различимым (например, речь, музыка и т. д.). 
 
 

5. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ 

Представим комплексные коэффициенты в показательной форме 

 
1
2
1
2
1
2
.
j
j
A
A e
A
A e




 
(25) 

Подставим коэффициенты (25) в систему уравнений (20) с учетом 
того, что 
j
     , получим 

 
1
2
1
2
,
j
j
x
j x
x
j x
U
A e
e
e
A e
e
e





 


 
(26)