Стержневые системы и метод конечных элементов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 
СЕРИИ «УЧЕБНИКИ НГТУ» 
 
 
д-р техн. наук, проф. (председатель) А.А. Батаев 
д-р техн. наук, проф. (зам. председателя) Г.И. Расторгуев 
 
д-р техн. наук, проф. С.В. Брованов 
д-р техн. наук, проф. А.Г. Вострецов 
д-р техн. наук, проф. А.А. Воевода 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Дубровский 
д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев 
д-р техн. наук, проф. Н.В. Пустовой 
д-р техн. наук, проф. Х.М. Рахимянов 
д-р филос. наук, проф. М.В. Ромм 
д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Селезнев 
д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор 
д-р техн. наук, доц. В.С. Тимофеев 
д-р техн. наук, проф. А.Г. Фишов 
д-р экон. наук, проф. М.В. Хайруллина 
д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко 
д-р техн. наук, проф. Н.И. Щуров 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

УДК 539.3 : 517.9(075.8) 
         П 771 
 
 
 

Рецензенты: 

д-р физ-мат. наук, ст. науч. сотр. С.Н. Коробейников 
д-р техн. наук, профессор. Е.Г. Подружин 
 
 
Присекин В.Л. 
П 771   
Стержневые системы и метод конечных элементов: учебник / В.Л. Присекин, Г.И. Расторгуев. – Новосибирск: Изд-во 
НГТУ, 2020. – 206 с. (Серия «Учебники НГТУ»). 
 
ISBN 978-5-7782-4230-2 
 
Рассматриваются стержневые системы, к которым принято относить фермы, рамы, арки, балки на упругих или жестких опорах и 
тонкостенные стержни. Материал излагается на доступном уровне, 
позволяющем осознанно применять метод конечных элементов в 
расчетах стержневых конструкций. 
Книга предназначена для студентов бакалаврского цикла обучения по направлению «Прикладная механика». Она также может 
быть полезна смежным специалистам, использующим в своей практике методы расчета стержневых конструкций. 
 
 
 
УДК 539.3 : 517.9(075.8) 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-4230-2  
 
 
 
 Присекин В.Л., Расторгуев Г.И., 2020 
 Новосибирский государственный 
    технический университет, 2020 

 

 

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ 

 
 
Введение ............................................................................................................ 7 

1. Одномерные стержневые системы ........................................................ 11 
   1.1. Определения .......................................................................................... 11 
   1.2. Система последовательных стержней ................................................ 15 
   1.3. Система параллельных стержней ........................................................ 23 
   1.4. Условия закрепления ............................................................................ 29 
   1.5. Реакции связей ...................................................................................... 33 

2. Плоские фермы ......................................................................................... 37 
   2.1. Шарниры ................................................................................................ 37 
   2.2. Системы координат .............................................................................. 39 
   2.3. Уравнения равновесия .......................................................................... 45 
   2.4. Граничные условия ............................................................................... 50 
   2.5. Преобразование уравнений равновесия .............................................. 53 
   2.6. Метод перемещений ............................................................................. 56 
   2.7. Статически определимая ферма. Метод сил ...................................... 58 
   2.8. Статически неопределимая ферма. Метод сил .................................. 61 
   2.9. Пример расчета фермы. Сравнительное решение по методам сил 
          и перемещений ...................................................................................... 65 

3. Трехмерные фермы .................................................................................. 69 
   3.1. Степени свободы стержня .................................................................... 69 
   3.2. Уравнения равновесия стержня ........................................................... 73 
   3.3. Уравнения равновесия фермы ............................................................. 76 

 

4. Изгиб и растяжение стержней ................................................................ 79 
   4.1. Стержни в рамах ................................................................................... 79 
   4.2. Осевая линия деформированного стержня ......................................... 85 
   4.3. Внутренние силы .................................................................................. 91 
   4.4. Уравнения равновесия .......................................................................... 94 
   4.5. Решение уравнений равновесия. Граничные условия ....................... 98 

5. Гипотеза Журавского ............................................................................. 111 

6. Плоские рамы .......................................................................................... 119 
   6.1. Метод перемещений ........................................................................... 120 
   6.2. Матрица жесткости и узловые силы стержня .................................. 129 
   6.3. Уравнения равновесия рамы .............................................................. 132 
7. Расчет пространственных рам ............................................................. 135 
   7.1. Системы координат ............................................................................ 135 
   7.2. Стержни с конечным числом степеней свободы ............................. 142 

8. Гибкие стержни ....................................................................................... 155 
   8.1. Уравнения равновесия ........................................................................ 159 
   8.2. Уравнения равновесия стержня ......................................................... 167 

9. Тонкостенные стержни .......................................................................... 169 
   9.1. Перемещения поясов и панелей ........................................................ 175 
   9.2. Депланации поясов ............................................................................. 179 
   9.3. Уравнения равновесия тонкостенного стержня ............................... 184 
   9.4. Деформирование стержня внешними силами .................................. 187 
   9.5. Внутренние силы и деформирование стержня от действия 
          крутящего, и изгибающего момента, а также от осевых сил .......... 190 
Библиографический список ......................................................................... 202 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ÂÂÅÄÅÍÈÅ 

К стержневым системам принято относить фермы, рамы, арки, 
балки на упругих или жестких опорах и тонкостенные стержни [1–10], 
которые широко применяются в инженерной практике при создании 
сооружений и конструкций, а также в наномеханике при моделировании ковалентных связей атомов балочными элементами [47]. Начальное применение метода конечных элементов (МКЭ) для расчета задач 
изгиба и растяжения стержней, как правило, приводит к ощущению 
неготовности применять МКЭ. 
Первое, что трудно уяснить, это понятие внутренних и внешних 
сил из-за одинаковых обозначений; это же замечание относится к изгибающим и крутящим моментам. Установившиеся с XIX века обозначения сил и моментов приводят к сложностям в разъяснении студентам разницы между силами внешними и внутренними, а также 
моментами. Даже определение в локальной системе координат 
направления положительных и отрицательных сил и моментов существенно отличается от определения внешних сил, хотя обозначения 
этих понятий абсолютно одинаковые. Большие сложности вызывает 
формулировка граничных условий при решении краевых задач изгиба и растяжения балок внешними силами и моментами. Имеются 
трудности с заданием граничных условий перемещений и углов поворота поперечного сечения. Нет четкости в определении связи положительных перемещений и углов поворота как в задачах изгиба 
балок, так и в задачах кручения тонкостенных стержней. 
В учебниках по сопротивлению материалов, например в [1–10],  
в задачах растяжения балок (стержней) на границах изображены 
внешние силы, направленные в разные стороны по отношению к 
осевой линии стержня, т. е. на стержень действуют положительные и отрицательные внешние силы. Пояснений, почему так заданы силы, нет. 

 

В учебниках при расчете статически неопределимых ферм, как 
правило, излагают метод сил, хотя метод перемещений, на наш 
взгляд, намного проще и понятнее для студентов. В методе перемещений не надо формировать основную систему, вводить понятие 
«лишние» стержни и т. д. Метод сил можно изложить на задачах изгиба стержней, закрепленных на упругих опорах [24]. 
В учебниках по строительной механике вывод уравнений равновесия стержневой системы при изложении МКЭ выполняют для закрепленной конструкции. Следует отметить, что выполнять формирование уравнений равновесия намного проще для свободной незакрепленной конструкции. После вычисления матрицы жесткости 
стержневой системы K, узловых сил и моментов R  формируется 
уравнение равновесия 
0
K
R


, здесь   – вектор-столбец перемещений узловых точек. Решение уравнения позволяет изучить влияние любых условий закрепления на перемещение узлов и усилий в 
стержнях.
В настоящем учебнике изложены необходимые разделы теории 
стержневых систем для изучения и последующего применения МКЭ. 
В выводах уравнений равновесия стержней принято, что степени 
свободы стержня определяются степенями свободы узловых точек. 
Эта проблема детально обсуждается в четвертом разделе. 
Остановимся кратко на содержании разделов учебника. 
В разделе 1 дано определение одномерной фермы как системы 
прямолинейных стержней, осевые линии которых расположены на 
оси координат. Эта ферма представляет собой простую и наглядную 
конструкцию для применения метода сечений, определения внешних и внутренних сил, напряжений в стержне и удлинения. Для закрепления узлов фермы введено понятие связи и реакции связи. Получена матрица жесткости фермы и сформулированы уравнения равновесия узловых точек стержней. Приведен пример расчета реакций 
для жестких связей. 
В разделе 2 для плоских ферм обобщены определения одномерных ферм. Введена декартова система координат для задания узловых точек фермы, внешних сосредоточенных и распределенных сил. 
Для вычисления деформаций стержней введена матрица соединения, 
с помощью которой определены напряжения и усилия в стержнях 

ÂÂÅÄÅÍÈÅ 

 
9 

фермы. Вывод уравнений равновесия фермы выполнен на основе 
принципа возможных перемещений. Рассмотрены два метода решения уравнений равновесия. В методе перемещений число неизвестных совпадает с числом степеней свободы перемещений для статически определимых и неопределимых задач. Решение сводится к выполнению условий закрепления и численного решения уравнений 
равновесия. В методе сил за неизвестные приняты усилия в стержнях 
фермы. Для решения статически неопределимых задач из стержней 
фермы формируется основная (статически определимая) ферма и система из оставшихся стержней. Получены уравнения равновесия 
этих двух систем и построено их решение. Приведен пример расчета 
дважды статически неопределимой фермы и выполнено сравнение 
методов расчета. В разделе 3 дан вывод уравнений равновесия пространственной фермы. 
В разделе 4 для произвольно расположенного стержня в декартовой системе координат приведен вывод уравнений равновесия в локальной системе координат. Стержень нагружен распределенными 
осевыми силами и крутящими и изгибающими моментами. Сосредоточенные силы и моменты приложены только к узловым точкам 
стержней. Получена система нелинейных уравнений равновесия. 
Для малых перемещений и углов поворота сформированы известные 
варианты нелинейных и линейных уравнений. Выделены четыре 
группы линейных уравнений: растяжение, кручение и изгиб стержней. В двух плоскостях дано решение уравнений равновесия для типовых граничных условий: в узлах стержня задаются перемещения, 
углы поворота, внешние силы и моменты. 
В разделе 5 приведен вывод уравнений для расчета касательных 
напряжений по гипотезе Журавского Д.И. в задачах изгиба стержня 
перерезывающими внешними силами. В учебниках по сопротивлению материалов [1–10] приведены эпюры касательных напряжений 
для разных форм поперечных сечений стержня. Отметим, что для 
точного определения касательных напряжений балку следует рассматривать как трехмерное тело с выбором подходящих конечных 
элементов. 
В разделах 6 и 7 на основе уравнений раздела «Изгиб и растяжение стержней» дан вывод уравнений равновесия плоских и пространственных рам. Исходные параметры конструкций: координаты узлов 

стержней заданы в декартовой системе координат с указанием первого и второго узла. Это необходимая информация для построения 
локальной системы координат. В локальной системе координат задают распределенные осевые силы и распределенные моменты. Вычисляются матрицы жесткости стержней, узловые силы и моменты с 
последующим преобразованием в глобальную систему координат 
для формирования уравнений равновесия конструкций. 
В разделе 8 приведен вывод уравнений изгиба и растяжения гибких стержней. Получена система нелинейных уравнений. 
В заключительном девятом разделе учебника на основе работ авторов [36, 37] рассмотрен изгиб и стесненное кручение тонкостенного стержня. В статьях по стержням отмечается незавершенность 
исследований стесненного кручения стержней. В этом разделе изложен вывод уравнений равновесия на основе гипотезы плоских сечений и гипотезы недеформируемости контура поперечного сечения 
тонкостенного стержня. При кручении стержня из-за формы контура 
возникают внутренние силы в поясах, которые удовлетворяют трем 
однородным уравнениям равновесия. Анализ этих уравнений приводит к выводу, что все пояса следует разделить на ортогональные 
группы с четырьмя и более поясами. Тогда перемещения поясов каждой группы можно выразить функциями продольной координаты 
стержня. Дифференциальные уравнения равновесия изгиба и кручения тонкостенного стержня построены на основе принципа возможных перемещений. Рассмотрены примеры.