Статистическая физика равновесных систем

 
 
 
 
 
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 
СЕРИИ «УЧЕБНИКИ НГТУ» 
 
 
д-р техн. наук, проф. (председатель)  А.А. Батаев 
д-р техн. наук, проф. (зам. председателя)  Г.И. Расторгуев 
 
д-р техн. наук, проф. С.В. Брованов 
д-р техн. наук, проф. А.Г. Вострецов 
д-р техн. наук, проф. А.А. Воевода 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Дубровский 
д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев 
д-р техн. наук, проф. Н.В. Пустовой 
д-р техн. наук, проф. Х.М. Рахимянов 
д-р филос. наук, проф. М.В. Ромм 
д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Селезнев 
д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор 
д-р техн. наук, доц. В.С. Тимофеев 
д-р техн. наук, проф. А.Г. Фишов 
д-р экон. наук, проф. М.В. Хайруллина 
д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко 
д-р техн. наук, проф. Н.И. Щуров 
 
 
 

УДК 53:519.25(075.8) 
К78 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, профессор В.Г. Дубровский 
д-р физ.-мат. наук, профессор О.В. Кибис 
д-р физ.-мат. наук, доцент Т.С. Шамирзаев 
 
 
Работа подготовлена на кафедре полупроводниковых приборов  
и микроэлектроники НГТУ для студентов инженерно-физических 
специальностей 
 
 
Краснопевцев Е.А.  
К78 
 
Статистическая физика равновесных систем : учебное пособие / Е.А. Краснопевцев. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 
2020. – 420 с. – (Учебники НГТУ). 

ISBN 978-5-7782-4253-1 

Излагаются основы статистической физики классических  
и квантовых равновесных систем. Приводятся примеры, иллюстрирующие теоретические положения из области микро- и наноэлектроники, фотоники, физики конденсированного состояния. 
Предлагаются задачи для самостоятельной работы.  
Издание предназначено для студентов, изучающих курсы: «Физика твердого тела», «Физика полупроводников», «Физика конденсированного состояния», «Наноэлектроника», «Фотоника», где используются методы и результаты статистической физики.  
 
 
 
 
УДК 53:519.25(075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-4253-1 
© Краснопевцев Е.А., 2020 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2020 

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ 
 
Введение .................................................................................................................. 9 

Часть 1. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ............................................................. 13 
Глава 1. Основы теории вероятностей ........................................................... 15 
1.1. Вероятность случайного события ....................................................... 15 
1.2. Случайная дискретная величина ......................................................... 17 
1.3. Производящая функция ........................................................................ 21 
1.4. Случайная непрерывная величина ...................................................... 23 
1.5. Характеристическая функция .............................................................. 24 
1.6. Биномиальное распределение .............................................................. 25 
1.7. Распределение Пуассона ...................................................................... 29 
1.8. Нормальное распределение Гаусса ..................................................... 32 
Примеры 1 ....................................................................................................... 36 
Глава 2. Фазовое пространство и спектр энергии ........................................ 53 
2.1. Фазовое пространство системы частиц .............................................. 54 
2.2. Степени свободы ................................................................................... 56 
2.3. Объем микросостояния ........................................................................ 58 
2.4. Фазовая траектория и фазовый ансамбль ........................................... 61 
2.5. Теорема Лиувилля ................................................................................ 63 
2.6. Энергетическая плотность состояний ................................................. 67 
2.7. Число микросостояний газа ................................................................. 69 
2.8. Число микросостояний частицы .......................................................... 70 
2.9. Энергетическая плотность состояний частицы ................................. 73 
Примеры 2 ....................................................................................................... 75 
Глава 3. Микроканоническое распределение ................................................ 83 
3.1. Распределение микросостояний по фазовому пространству ............ 83 
3.2. Характеристики макросостояния ........................................................ 84 
3.3. Статистический смысл давления ......................................................... 88 
3.4. Статистический смысл температуры .................................................. 91 

 

3.5. Статистический смысл энтропии ........................................................ 95 
Примеры 3 ....................................................................................................... 97 
Глава 4. Каноническое распределение ............................................................ 99 
4.1. Распределение микросостояний по фазовому пространству ............ 99 
4.2. Статистический интеграл ................................................................... 101 
4.3. Распределение микросостояний по энергии .................................... 104 
4.4. Макрохарактеристики и статистический интеграл .......................... 105 
4.5. Принцип Ландауэра ............................................................................ 109 
4.6. Теорема Бора – ван Лёвен .................................................................. 112 
4.7. Распределение тепловой энергии по степеням свободы ................. 113 
4.8. Теплоемкость простого тела .............................................................. 116 
4.9. Погрешность измерения на основе упругой силы ........................... 117 
4.10. Флуктуационное напряжение на активном сопротивлении ......... 119 
Примеры 4 ..................................................................................................... 122 
Глава 5. Распределение Максвелла – Больцмана ....................................... 131 
5.1. Распределение Максвелла .................................................................. 132 
5.2. Потоки .................................................................................................. 140 
Примеры 5 ..................................................................................................... 144 
Задачи 1 ......................................................................................................... 153 
5.3. Распределение Больцмана .................................................................. 158 
Примеры 6 ..................................................................................................... 161 
Глава 6. Термодинамические потенциалы системы  
с переменным числом частиц ......................................................... 169 
6.1. Химический потенциал ...................................................................... 170 
6.2. Активность системы ........................................................................... 174 
6.3. Распределение частиц по уровням энергии ...................................... 175 
6.4. Химический потенциал и плотность состояний .............................. 179 
6.5. Вероятность энергии у частицы ........................................................ 179 
6.6. Термодинамический потенциал Гиббса ........................................... 182 
6.7. Большой термодинамический потенциал ......................................... 183 
Глава 7. Большое каноническое распределение ......................................... 185 
7.1. Статистический интеграл и макрохарактеристики .......................... 186 
7.2. Большое каноническое распределение ............................................. 188 
7.3. Термодинамические характеристики системы ................................ 189 
7.4. Распределение по энергии и числу частиц ....................................... 191 
Примеры 7 ..................................................................................................... 192 
Задачи 2 ......................................................................................................... 195 

Глава 8. Флуктуационно-диссипационная теорема ................................... 199 
8.1. Восприимчивость и передаточная функция ..................................... 199 
8.2. Сопоставление системы с электрической цепью ............................. 202 
8.3. Тепловые флуктуации силы ............................................................... 204 
8.4. Мощность тепловыделения ............................................................... 205 
8.5. Корреляция .......................................................................................... 206 
8.6. Броуновское движение ....................................................................... 208 
Глава 9. Условия применимости классической статистической 
физики ................................................................................................. 211 
9.1. Противоречия классической теории с экспериментом ................... 211 
9.2. Квантовые свойства микрочастиц и применимость классической теории ...................................................................................... 212 

Часть 2. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ................................ 217 
Глава 10. Энергетическая плотность состояний ........................................ 219 
10.1. Плотность состояний квантовой частицы ...................................... 219 
10.2. Локальная плотность состояний и функция Грина........................ 223 
Примеры 8 ..................................................................................................... 226 
Глава 11. Каноническое распределение квантового газа .......................... 243 
11.1. Распределение системы по состояниям .......................................... 244 
11.2. Распределение частицы по состояниям .......................................... 245 
11.3. Газ гармонических осцилляторов ................................................... 248 
11.4. Вращательное движение молекул ................................................... 252 
11.5. Парамагнетизм электронного газа .................................................. 254 
11.6. Диамагнетизм электронного газа .................................................... 258 

Часть 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИОНОВ  
И БОЗОНОВ .......................................................................................... 261 
Глава 12. Большое каноническое распределение квантовой  
системы ............................................................................................. 263 
12.1. Состояния многочастичной системы .............................................. 263 
12.2. Состояния частицы ........................................................................... 264 
12.3. Распределение Ферми – Дирака ...................................................... 265 
12.4. Распределение Бозе – Эйнштейна ................................................... 269 
12.5. Распределения классических и квантовых частиц ........................ 272 
12.6. Дисперсия и корреляция числа частиц ........................................... 278 
Глава 13. Электронный газ металла и полупроводника ........................... 289 
13.1. Трехмерный электронный газ .......................................................... 289 
13.2. f-мерный газ фермионов ................................................................... 294 

13.3. Контакт металлов .............................................................................. 298 
13.4. Собственная электропроводность полупроводника ...................... 300 
13.5. Характеристики вырожденного электронного газа ....................... 306 
13.6. Мезоскопические системы пониженной размерности .................. 309 
13.7. Кондактанс баллистического проводника ...................................... 311 
13.8. Теплопроводность баллистического проводника .......................... 318 
13.9. Измерение плотности состояний сканирующим  
туннельным микроскопом ............................................................... 320 
Примеры 9 ..................................................................................................... 324 
Глава 14. Фотонный газ ................................................................................... 335 
14.1. Фотон ................................................................................................. 336 
14.2. Фотонный газ в полости ................................................................... 338 
14.3. Электронные переходы в атомах ..................................................... 350 
14.4. Когерентность теплового излучения ............................................... 354 
Примеры 10 ................................................................................................... 358 
Глава 15. Фононный газ .................................................................................. 363 
15.1. Характеристики фононного газа ..................................................... 364 
15.2. Термодинамика кристалла ............................................................... 370 
Примеры 11 ................................................................................................... 373 
Глава 16. Конденсация Бозе – Эйнштейна ................................................... 379 
16.1. Характеристики бозе-конденсата атомов ....................................... 381 
16.2. Термодинамика идеального бозонного газа ................................... 385 
16.3. Удержание газа ловушкой ............................................................... 389 
16.4. Охлаждение газа ............................................................................... 395 
Примеры 12 ................................................................................................... 400 
Задачи 3 ......................................................................................................... 407 
Приложения ......................................................................................................... 413 
1. Физические постоянные .......................................................................... 413 
2. Интегралы классической статистики ...................................................... 414 
3. Интегралы квантовой статистики ........................................................... 415 
4. Суммы рядов ............................................................................................. 416 
Библиографический список ............................................................................... 417 
Предметный указатель ....................................................................................... 418 
 

 

ÂÂÅÄÅÍÈÅ 

9 

 
 
 
 
 
 
 
ÂÂÅÄÅÍÈÅ 
 
ногие важные для практического применения физические 
системы близки к идеальному газу, например: 
 разреженные газы атомов и молекул;  
 свободные электроны металла;  
 электроны и дырки полупроводника;  
 фононы – кванты упругих волн теплового движения узлов 
кристалла;  
 фотоны – кванты электромагнитных волн теплового излучения в полости.  
Такие системы имеют характерные особенности:   
 частицы движутся независимо друг от друга; 
 суммарный объем частиц мал по сравнению с объемом сосуда; 
 частицы не взаимодействуют между собой на расстоянии; 
 соударения частиц друг с другом и со стенкой упругие и происходят за пренебрежимо малое время.   
Газ (от греч. χάος – хаос) – множество из условно 
20
~10
N
 частиц, 
находящихся в объеме V в виде потенциальной ямы с непроницаемыми стенками и совершающих хаотические тепловые движения. Термодинамика описывает равновесный газ с макроскопической точки зрения, рассматривая его как единый объект с постоянными во времени 
макрохарактеристиками: температурой, давлением, термодинамическими потенциалами, удовлетворяющими универсальным законам. 
Изолированная система после внешнего воздействия самопроизвольно 
приходит к термодинамическому равновесию по истечении времени 
релаксации.  
Статистическая физика рассматривает газ с микроскопической 
точки зрения, когда его состояние определяется состояниями всех частиц. В результате устанавливаются связи между микро- и макрохарактеристиками, последние получают микроскопический физический 
смысл. Такое высокоинформативное описание использует стати
Ì

 

стические распределения, показывающие, какая часть хаотически 
движущихся микрочастиц имеет определенные свойства. Статистика (от лат. status – состояние дел) представляет сложные и многообразные факты в сжатой форме, используя методы теории вероятностей. Классическая частица идеального газа массой m в каждый момент имеет положение в пространстве ,r  импульс 
,
m

p
v  кинетиче
скую энергию 
2
кин
/ 2 ,
p
m


 потенциальную энергию во внешнем поле ( ).
u r  Ее движение описывается формулами кинематики, законами 
Ньютона и обобщающими их уравнениями Гамильтона. Получить 
траекторию и характер движения для 
20
~10
N
 частиц газа на основе 
законов механики и электродинамики невозможно. Малая неопределенность начального положения частицы 
(0)
x

 экспоненциально уве
личивается с течением времени 
( )
(0)
,
at
x t
x
e

 
 где 
0,
a 
 и кардинально меняет последующее поведение частицы. Достичь нулевых погрешностей одновременно для координаты и импульса невозможно в 
соответствии 
с 
соотношением 
неопределенностей 
Гейзенберга 
/ 2,
x
x p
 
 
 где 
/ 2
h



 – постоянная Планка. В результате экспериментального исследования невозможно зарегистрировать данные о 
всех микрочастицах, но получаются лишь усредненные характеристики. При недостатке информации о системе применяется вероятностный метод описания, использующий вероятности реализации состояний всех частиц.  
Основным понятием статистической физики является микросостояние системы – совокупность координат и импульсов всех частиц газа, взятых в один момент. Информация о микросостоянии вы
ражается массивом из 
20
~10
 чисел. Для ее отображения используется 
фазовое пространство с соответствующей размерностью 
20
~ 10 .
f
 
Каждая точка пространства представляет микросостояние газа, т. е. 
содержит проекции координат и импульсов всех частиц, взятых в один 
момент. Минимальный объем, который занимает микросостояние в 

фазовом пространстве, равен 
.
f
h
 С течением времени микросостояние 
перемещается по фазовому пространству; например, микросостояние 
электронного газа металла изменяется за время свободного пробега 

электрона 
15
~10

с. Вероятность реализации микросостояния описывается функцией распределения микросостояний по фазовому пространству.