Специальные главы наноэлектроники

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
В.П. ДРАГУНОВ, Д.И. ОСТЕРТАК 
 
 
 
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ 
НАНОЭЛЕКТРОНИКИ 
 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

 

УДК 621.382-181(075.8) 
         Д 721 
 
Рецензенты: 
Главный научный сотрудник НГТУ 
д-р физ.-мат. наук, профессор О.В. Кибис 
Заведующий лабораторией теоретической физики ИФП СО РАН,  
д-р физ.-мат. наук В.М. Ковалёв 
 
Драгунов В.П. 
Д 721  
Специальные главы наноэлектроники : учебное пособие /  
В.П. Драгунов, Д.И. Остертак. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 
2020. – 104 с. 

 
 
ISBN 978-5-7782-4272-2 

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов, магистрантов и 
аспирантов, специализирующихся в области физики полупроводников, полупроводниковых приборов и наноэлектроники. Оно также может быть рекомендовано студентам, инженерам и научным работникам, желающим самостоятельно изучать физику низкоразмерных систем или расширить и систематизировать свои знания в области физических основ наноэлектроники. 
Пособие состоит из двенадцати разделов, каждый из которых включает 
краткое теоретическое введение, примеры решения задач, задачи для решения 
на практических занятиях и самостоятельной работы. 
УДК 621.382-181(075.8) 

Драгунов Валерий Павлович 
Остертак Дмитрий Иванович 
 
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ НАНОЭЛЕКТРОНИКИ 
 
Учебное пособие 
 
Выпускающий редактор И.П. Брованова 
Корректор Л.Н. Киншт 
Компьютерная верстка Н.В. Гаврилова 
 
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции 
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП) 
 
Подписано в печать 16.11.2020. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная 

Тираж 50 экз. Уч.-изд. л. 6,04. Печ. л. 6,5. Изд. № 194. Заказ № 973. Цена договорная 

 
Отпечатано в типографии 
Новосибирского государственного технического университета 
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 
 
ISBN 978-5-7782-4272-2 
 Драгунов В.В., Остертак Д.И., 2020 
 
 Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2020 

СОДЕРЖАНИЕ 
1. Проблемы миниатюризации ............................................................................... 4 
2. Основные положения квантовой механики, используемые  
в наноэлектронике ............................................................................................. 11 
3. Особенности энергетического спектра частиц в системах пониженной размерности ................................................................................................ 19 
4. Прохождение частиц через слоистые системы с учетом различия  
эффективных масс в слоях ............................................................................... 27 
4.1. Прохождение частиц через двухслойную систему ................................ 27 
4.2. Прохождение частиц через трехслойную систему ................................. 34 
4.3. Прохождение частиц через четырехслойную систему .......................... 40 
5. Влияние однородного электрического поля на энергетический  
спектр систем пониженной размерности ........................................................ 45 
6. Условия наблюдения квантовых размерных эффектов .................................. 49 
7. Распределение квантовых состояний в системах пониженной  
размерности ....................................................................................................... 55 
8. Квантование энергетического спектра носителей заряда  
в приповерхностном слое полупроводника .................................................... 59 
9. Экранирование электрического поля в системах пониженной  
размерности ....................................................................................................... 67 
10. Двумерный p–n-переход в равновесии .......................................................... 71 
11. Кондактанс идеального квантового проводника в баллистическом 
режиме ............................................................................................................... 83 
12. Особенности фононного спектра в системах пониженной размерности ......... 86 
Ответы ..................................................................................................................... 93 
Приложение .......................................................................................................... 100 
Библиографический список ................................................................................ 104 

1. ПРОБЛЕМЫ МИНИАТЮРИЗАЦИИ  

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 

Для увеличения производительности интегральных схем 
NF
 
 

стремятся уменьшить размеры элементов. При этом увеличивается 
степень интеграции (число вентилей N  на кристалле) и тактовая частота F . На пути увеличения степени интеграции стоит проблема отвода тепла, выделяемого элементами интегральной схемы (ИС). Моделируя нагрузку КМОП-инвертора конденсатором емкостью C , можно 
показать, что при изменении выходного напряжения на V

 от 
1
V  до 
0
V  

и наоборот 

1
0
V
V
V



 максимальная производительность ИС, от
несенная к единице площади поверхности кристалла, определяется 
теплопроводностью материала микросхемы, допустимым градиентом 
температуры и минимальной энергией, соответствующей одному биту 
информации (фактором качества 
2
C
V

), т. е. 

2
теплопроводность
NF
dT
S
dx
C
V



. 

Основой успешного преодоления «тепловой» проблемы стала раз
работка принципов масштабирования физической структуры полупроводниковых приборов и в первую очередь принципа пропорциональной миниатюризации. В рамках этого принципа производится уменьшение всех трех размеров элементов (длины, ширины и высоты) в одно и то же число раз, а для сохранения неизменной напряженности 
электрического поля во столько же раз изменяется и напряжение источника питания. 

В рамках данного принципа масштабирования при заданной (неиз
менной) площади кристалла увеличение числа элементов (например, 
логических вентилей) может не сопровождаться увеличением общей 
рассеиваемой мощности. 

При переходе к субмикронным размерам элементов (порядка 0.1 

мкм и менее) наряду с проблемой отвода тепла всё большую роль играют: 
1) трудности практической реализации (плазма не «травит», свет не 
«лезет» куда надо) и стоимость технологии; 
2) ограничения, связанные со спецификой компонента (ускоренное 
старение МОП-транзисторов; электромиграция и ускоренное старение 
межсоединений; возрастание сопротивлений истока и стока; проявление 
случайных флуктуаций в омических контактах; токи утечки и т. д.); 
3) технологический шум (ограничения, связанные с одновременной 
работой огромного количества компонентов, например, из-за разброса 
пороговых напряжений); 
4) статистический шум (ограничения, связанные с необходимостью 
передачи большого количества пакетов электронов много раз в секунду, 
так как тактовая частота современных процессоров составляет гигагерцы); 
5) ограничения, налагаемые фундаментальными физическими законами независимо от специфики компонента (эффект «просачивания»; туннелирование через тонкие изолирующие слои; энергетические потери; квантовые ограничения). 

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 

 Контактная разность потенциалов 

 
0
0
0
0
0
2
2
ln
ln
n
p
A
D

i
i

n
p
k T
k T
N N
q
q
n
n





 













, 
 (1.1) 

здесь 
0
k  – постоянная Больцмана; q  – заряд электрона; T  – темпера
тура в кельвинах, К; 
0
0
, 
n
p
n
p
 – концентрации основных носителей со
ответственно в n- и p-областях; 
in  – собственная концентрация при 

данной температуре; 
A
N  и 
D
N
 – концентрация акцепторов и доноров 

соответственно. 

 Ширина ступенчатого р–п-перехода 

 
0
0
0
2
1
1

A
D
W
q
N
N


 







. 
 (1.2) 

 Ширина плавного «узкого» р–п-перехода 

 
0
0
3
0
9

A
D
W
q
N
N
 





, 
 (1.3) 

здесь 
0
  – электрическая постоянная;   – относительная диэлектриче
ская проницаемость материала перехода; 
A
N  и 
D
N  – градиенты кон
центрации акцепторов и доноров. 

Сформулированы два вида ограничений в совершенствовании суб
микронных ИС. 

Первое связано с необходимостью снижения токов утечки и объяс
няется снижением порогового напряжения при уменьшении длины канала и смыканием областей обеднения стока и истока в объеме подложки («короткоканальные эффекты»), а также наличием туннельной 
компоненты тока утечки стокового перехода в области перекрытия 
стока затвором и лавинным пробоем р–п-перехода стока. 

Второе вызвано необходимостью обеспечения надежного функци
онирования ИС в течение заданного срока работы приборов и связано 
с воздействием горячих носителей и зависимым от времени пробоем 
подзатворного диэлектрика. 

Снижение порогового напряжения приводит к увеличению роли 

тока утечки вдоль канала МОПТ. В свою очередь, путь компоненты 
тока утечки, обусловленной эффектом смыкания ОПЗ истока и стока, 
проходит в объеме подложки. При этом напряжение смыкания можно 
оценить, используя приближенное соотношение 

3
см
подл
эф
(
)
j
V
N
L
X


, 

здесь 
подл
N
 – концентрация легирующей примеси в подложке; 
эф
L
 – 

эффективная длина канала; 
j
X  – глубина залегания сток-истоковых  

р–п-переходов. 

Компонента тока утечки, индуцированная затвором (GIDL (Gate
induced Drain Leakage) – эффект,), представляет собой междузонный 
туннельный ток, инициированный вертикальной составляющей напряженности электрического поля в области перекрытия затвора и стока. 
Предельное значение напряжения питания, при котором эта компонента 
достигает максимально допустимой величины, для случая LDD-МОПТ 
(LDD (lightly Doped Drain) – слаболегированная область стока) определяется выражением 

6
0
4 10 [В/см]
[см] 1.2[В]
[В]
ox
fb
V
L
V





, 

где 
ox
L
 – толщина подзатворного диэлектрика; 
fb
V
 – напряжение 

плоских зон в области перекрытия стока затвором; в случае n  – поли
кремниевого затвора и n  – стока 
0
fb
V

, а в случае n  – поликрем
ниевого затвора и p  – стока 
1.1
fb
V

 В. Заметим, что МОПТ без 

LDD-области характеризуются намного бóльшим GIDL-током. 

Величина максимального напряжения питания, при котором 

напряженность продольного электрического поля вблизи стока не пре
вышает критической величины 
5
кр
(
3 10 [В/см])
E


, снижающей срок 

службы прибора ниже 10 лет, дается выражением 




1
1
2
3
0
,нас
эф
кр
LDD
(
)
0.22
C
ox
j
V
V
L
E
L
X
l



, 

где 
,нас
C
V
 – напряжение насыщения; LDD
l
 – эффективная длина LDD
области. В этом выражении 
ox
L
, 
j
X  и LDD
l
 должны быть представле
ны в сантиметрах. 

Средняя квадратичная флуктуация числа невзаимодействующих 

частиц газа, находящихся в заданном объеме, 

2
(
)
N
N


, 

здесь N  – среднее число частиц в данном объеме. 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 

1.1. Предположим, что процессор компьютера площадью 1 см2 со
держит 10 млн транзисторов, которые можно рассматривать как конденсаторы с емкостью 
10
n
C 
 фФ. При работе процессора эти конден
саторы перезаряжаются с тактовой частотой 
1
f   ГГц, причем вся 

энергия конденсаторов переходит при этом в тепло. Оценить плотность потока тепла в Вт/см2 от поверхности такого процессора. Считать, что напряжение питания составляет 
1
V   В. Сравнить тепловы
деление от поверхности процессора с потоком тепла от электрической 
плитки мощностью 1 кВт и диаметром конфорки 15 см. 

Р е ш е н и е  
Мощность, выделяемая процессором компьютера площадью 1 см2, 

равна 
2
7
9
14
2
0.5
10
10
0.5 10
1
50
N F
C V










 Вт. Таким образом, 

плотность потока тепла от процессора составляет 50 Вт/см2. При этом 
плотность потока тепла от электрической плитки составляет 5.66 Вт/см2. 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 

1.2. Предположим, что кристалл микропроцессора площадью 1 см2 

содержит 10 млн транзисторов, которые можно рассматривать как 
конденсаторы с емкостью 
10
n
C 
 фФ. При работе процессора эти 

конденсаторы перезаряжаются с тактовой частотой f , причем вся 
энергия конденсаторов переходит при этом в тепло. Найти, при какой 
тактовой частоте f  плотность потока тепла в кристалле еще не превысит допустимой для кремния, если напряжение питания микропроцессора составляет 
1
V   В, а допустимый градиент температуры со
ставляет 3.3·10–3 К/мкм. 

1.3. Из анализа работы КМОП-инвертора, нагруженного на такой 

же инвертор с входной емкостью C , покажите, что максимальная производительность ИС, отнесенная к единице площади поверхности кристалла, определяется теплопроводностью материала микросхемы, допустимым градиентом температуры и фактором качества.. 

1.4. Оцените равновесную ширину плавных «узких» р–п-переходов 

в Si и GaAs при 300 К, если градиенты концентрации акцепторов и  

доноров в области переходов равны соответственно 
19
4 10
A
N 

 см–4 и 

17
4 10
D
N 

 см-4. Принять, что на участках, непосредственно приле
гающих к переходу, в обоих случаях 
17
10
A
N

 см–3 и 
15
10
D
N

 см–3. 

1.5. Определите на сколько необходимо изменить заряд на затворах 

КМОП-инвертора и какое количество электронов потребуется, чтобы передать бит информации, если длина каналов транзисторов 
0.2
L 
 мкм, 

ширина 
0.5
b 
 мкм, а толщина окисла (SiO2) 
0.1
d 
 мкм? Принять, 

что для переключения инвертора необходимо изменить входное 
напряжение на 4 В. 

1.6. Оцените равновесную ширину ступенчатых р–п-переходов в Si 

и GaAs при 300 К, если концентрации акцепторов и доноров в области 
переходов равны соответственно 
21
10
A
N

 см–3 и 
18
10
D
N

 см–3. 

1.7. Оцените напряжение смыкания ОПЗ истока и стока, МОПТ, 

если концентрация акцепторов в подложке 
15
10
A
N

см-3, эффективная 

длина канала равна 0.4 мкм, а глубина залегания р–п-переходов стока и 
истока 0.25 мкм. 

1.8. Определите предельное значение напряжения питания, при ко
тором компонента тока утечки GIDL достигает максимально допустимой величины, если толщина подзатворного окисла составляет 50 нм, 
используется n  – поликремниевый затвор и p  – сток. 

1.9. Оцените величину максимального напряжения питания, при 

котором напряженность продольного электрического поля вблизи стока 
не превышает критической величины, снижающей срок службы прибора 
ниже 10 лет, если напряжение насыщения транзистора равно 2 В, 

LDD
50
l

 нм, 
j
X  порядка 0.2 мкм, а 
0.1
ox
L

 мкм. 

1.10. Электрон с энергией 
0.4
E 
 эВ и эффективной массой 
0
0.1m  

движется в положительном направлении оси x . Высота U  потенциального барьера равна 0.5 эВ. При какой ширине 
ox
L
 барьера вероят
ность P  прохождения электрона через него будет равна 0.01? Принять, 
что эффективная масса электрона во всех областях остается неизменной. 

1.11. Определите, сколько доноров в среднем будет находиться в 

одном монослое под затвором МОПТ, а также абсолютную среднюю 

квадратичную и относительную флуктуации этого числа доноров, если 
длина канала транзистора 
0.1
L 
 мкм, ширина 
0.5
b 
 мкм, а концен
трация доноров в подложке 1015 см–3? 

1.12. Определите какой заряд надо создать на входе КМОП
инвертора, чтобы передать бит информации, если входная емкость инвертора равна 0.2 фФ, напряжение логического нуля равно 0.5 В, а 
напряжение единицы 4.5 В? Оцените, какое количество электронов для 
этого потребуется, и относительную среднюю квадратичную флуктуацию этого числа электронов. 

1.13. Многие металлы могут иметь как объемно центрированную, 

так и гранецентрированную кубическую кристаллическую решетку. 
Причем переход от одной структуры к другой сопровождается лишь 
незначительным изменением объема. Предполагая, что в таком переходе объем кристалла совсем не изменяется, найти отношение 
1
2
d
d , 

где 
1
d  и 
2
d  – наименьшие расстояния между атомами металла соот
ветственно в гранецентрированной и объемно центрированной решетках. 

1.14. Определить соотношение атомов в вершинах, на ребрах (без 

учета атомов в вершинах) и на гранях (без учета атомов на ребрах и в 
вершинах) куба для двух случаев, показанных на рисунке. 

1.15. Для двух случаев, показанных на рисунке, определить отно
шение количества поверхностных атомов к количеству атомов в объеме куба, если вдоль граней кубов будут располагаться соответственно 
12 и 6, 10 и 5, 8 и 4, 6 и 3 атома. 
 

 

Показана только 
одна грань 

8 × 

 

В обоих случаях общее количество атомов одинаково 
 

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ  
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ,  
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В НАНОЭЛЕКТРОНИКЕ 

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 

 Одномерное уравнение Шрёдингера для стационарных состоя
ний имеет вид 

 



2

2
2
2
( )
0
m E
U x

x

  

 



, 
 (2.1) 

где m  – масса частицы; E  – полная энергия частицы; x  – координата; 

( )
U x  – потенциальная энергия;  – постоянная Планка. 

 Волновая функция, описывающая одномерное стационарное 

движение свободной частицы, 

 
( )
exp i
x
A
px









, 
(2.2) 

где A – амплитуда волны де Бройля; p  – импульс частицы. 

 Вероятность dP  обнаружить частицу в интервале от x  до x
dx

 

(в одномерном случае) выражается формулой 

2
( )
dP
x
dx
 
, 

где 
2
( )
x

 – плотность вероятности. 

 Вероятность P  обнаружить частицу в интервале от 
1x  до 
2
x  

находится интегрированием dP  в указанных пределах: 

 

2

1

2
( )

x

x
P
x
dx



. 
(2.3) 

 Плотность потока вероятности для одномерного случая 

 
*
*
(
)
2
i
j
m




  

. 
 (2.4)