Расчет и компьютерное моделирование цепей синусоидального тока в установившемся режиме (от простого к сложному)

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
 
РАСЧЕТ И КОМПЬЮТЕРНОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦЕПЕЙ 
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА 
В УСТАНОВИВШЕМСЯ  
РЕЖИМЕ 
(от простого к сложному) 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

УДК 621.3.011.7:004.94(075.8) 
   Р 248 
 
Коллектив авторов: 
Ф.Э. Лаппи, Ю.Б. Ефимова, П.В. Морозов, О.Э. Пауль 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф. В.Ю. Нейман, 
д-р техн. наук, проф. Д.Л. Калужский 
 
Работа подготовлена на кафедре ТОЭ  
для студентов дневного и заочного отделений  
электротехнических специальностей 
  
 
Р 248   
Расчет и компьютерное моделирование цепей синусоидального тока в установившемся режиме (от простого к 
сложному): учебное пособие / Ф.Э. Лаппи, Ю.Б. Ефимова,  
П.В. Морозов, О.Э. Пауль. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 
104 с.  

ISBN 978-5-7782-3657-8 

Рассматриваются основные понятия и методы анализа установившихся 
режимов работы линейных цепей синусоидального тока. Показано применение 
компьютерных программных продуктов для расчета и схемотехнического моделирования данных цепей, что является важным для дальнейшего анализа как 
установившихся, так и переходных режимов в электрических и электронных 
цепях практически любой сложности. 
Материал пособия включает в себя краткие теоретические сведения, 
примеры задач с анализом их решения, задания для самостоятельного решения 
с ответами, а также примеры использования численного и схемотехнического 
моделирования. 
Настоящее пособие рекомендуется студентам в рамках освоения ими основной образовательной программы по электротехническим дисциплинам, а 
также для самостоятельной работы в целях подготовки к тестированию и аттестационным экзаменам. 
  
УДК 621.3.011.7:004.94(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3657-8  
© Коллектив авторов, 2018 
 
© Новосибирский государственный  
 
    технический университет, 2018 

ВВЕДЕНИЕ 

В курсе теоретических основ электротехники изучаются принципы 
расчетов и анализа различных режимов работы электрических цепей. 
Современные электрические цепи представляют собой совокупность 
электротехнических устройств, усложнение которых в связи с развитием техники существенно увеличило трудности аналитических расчетов 
электрической цепи. Расчет и анализ таких цепей предполагает широкое использование пакетов прикладных программ как для расчета их 
параметров, так и для схемотехнического моделирования, но при этом 
требует от пользователя определенного объема знаний в области теории электрических цепей.  

Цель настоящего учебного пособия – помочь студентам освоить 

основные понятия, приемы и методы анализа линейных электрических 
цепей синусоидального тока, работающих в установившемся режиме.  
Основными потребляющими элементами электрической цепи синусоидального тока являются резисторы, катушки индуктивности и 
конденсаторы. В рамках настоящего пособия рассматриваются вышеперечисленные элементы, имеющие линейные характеристики. Основными типами источников являются источники тока и электродвижущей силы (ЭДС), изменяющиеся во времени по синусоидальному 
закону, что увеличивает сложность анализа и расчета. Однако все 
знания и навыки, приобретенные при изучении цепей постоянного 
тока, могут быть применимы при изучении цепей синусоидального 
тока, так как работа цепей синусоидального тока описывается системами уравнений, составленных на основании изученных ранее законов Кирхгофа.  
Пособие состоит из разделов и содержит краткие теоретические 
сведения, примеры аналитических расчетов на основании фундаментальных физических законов. 

Для отработки навыка в настоящем пособии приведены задания 
для самостоятельного решения, которые разделены на классы сложности в соответствии с требуемыми знаниями, умениями, навыками  
(см. таблицу). 

Соответствие классов сложности со знанием и умением 

Класс  
сложности 
Описание уровня знаний, умений, навыков 

 

Минимальный 

Уровень отвечает большинству основных требований, теоретическое содержание курса освоено частично, но пробелы не 
носят существенного характера 

 

Средний 

Уровень отвечает всем основным требованиям, теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, но 
некоторые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы недостаточно 

 

Высокий 

Уровень отвечает большинству требований, теоретическое 
содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом в основном сформированы 

 
 

 

Очень высокий 

Уровень отвечает всем требованиям, теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые 
практические навыки работы с освоенным материалом 
сформированы, сформирована способность находить решения нетривиальных олимпиадных задач 

 
Структура пособия – «от простого к сложному» – позволяет включать его в работу вместе с основной рекомендуемой литературой на 
любом этапе изучения цепей синусоидального тока и при любом 
уровне предварительной подготовки студентов.  

 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ  
ПРИ АНАЛИЗЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 

Основные физические понятия и величины, используемые при 
анализе любого электромагнитного процесса, приведены в табл. 1. 

Т а б л и ц а  1 

Основные физические понятия и величины для анализа 

Обозначение 
Понятие 
Единица  
измерения 
Главная  
формула 

q 
Электрический заряд 
Кулон (Кл) 
– 

Ψ 
Потокосцеплние 
Вебер (Вб) 
– 

i 
Электрический ток 
Ампер (А) 
dq
i
dt

 

φ  
Электрический потенциал 
Вольт (В) 
 

u 
Напряжение  
(разность потенциалов двух 
точек) 
Вольт (В) 
12
1
2
u
     

p 
Мгновенная мощность 
Ватт (Вт) 
р
ui


 
В настоящем пособии рассматриваются электрические цепи, в 
которых 
токи 
и 
напряжения 
изменяются 
во 
времени 
по 

синусоидальному закону 
sin(
)
m
i
dq
i
I
t
dt


  
. Такие цепи получили 

название цепей синусоидального тока. Основные элементы цепей 
синусоидального тока показаны в табл. 2, при этом: 
 условно-положительные направления токов выбираются произвольно, но обычно слева направо и сверху вниз; 

 направление напряжения на элементе принимается совпадающим с выбранным направлением тока. 

Т а б л и ц а  2 

Основные элементы цепей синусоидального тока 

Название элемента 
Изображение элемента 
Основная
характеристика

Резистор 
 
u
Ri

 

Конденсатор 

dq
du
i
C
dt
dt


 

 
 
 

 
 
 

Катушка 
индуктивности 

d
di
u
L
dt
dt



 

Источник  
электродвижущей 
силы (ЭДС) 

2
2 f
T

   
 

Источник тока 

 

u

1u

i
1i

u
Ri


i
1i

Li
 



1


t

0t

T

e

m
E

J

t

0t

T

m
J

2
1
i

u

L

q

1q

u
1u

q
Cu

2
1
i

u

C

q

q


2

1

0

0

( )
sin (
)

sin(
)

m

m

e t
E
t
t

E
t







  

( )
e t
( )
i t
( )
( )
u t
e t


2

1
( )
( )
i t
J t


( )
u t
( )
J t

0

0

( )
sin (
)

sin(
)

m

m

J t
J
t
t

J
t







  

2
1
i
R

u

Описание основных характеристик элементов (табл. 2) 

1. Вольт-амперная характеристика (ВАХ) резистора – это прямая, проходящая через начало координат (см. табл. 2), линейная ВАХ,  
в которой отношение напряжения к току постоянно и равно величине 

сопротивления 
u
R
i

, поэтому ток и напряжение в резисторе имеют 

одинаковый характер изменения, так как связаны законом Ома u
Ri

.  
В резисторе происходит преобразование энергии электромагнитного поля в тепловую. Мощность преобразования определяется законом 
Джоуля–Ленца, который при использовании действующих значений 
токов и напряжений имеет вид 
2

R
R
P
U I
I R


. 
2. Кулон-вольтная характеристика конденсатора – прямая, проходящая через начало координат (см. табл. 2), поэтому говорят, что она 
линейна, в ней отношение заряда к напряжению постоянно и равно 

величине емкости 
q
С
u

. При анализе электрических цепей в первую 

очередь представляет интерес связь между током и напряжением на 

элементе: 
dq
du
i
C
dt
dt


; 
1
u
idt
C


. Отсюда следует, что ток в конден
саторе определяется не величиной напряжения между обкладками 
конденсатора, а скоростью изменения напряжения. Рассмотрим три 
случая изменения напряжения на конденсаторе. 
 Напряжение на конденсаторе постоянно: 
const
U 
,  
Ток через конденсатор равен нулю. 
Это означает, что конденсатор разрывает 
цепь тока, если напряжение на нем постоянно (см. рисунок). 
 Напряжение на конденсаторе меняется по синусоидальному закону: ( )
sin
m
u t
U
t

 . Ток через конденса
тор ( )
соs
sin(
90 )
m
m
du
i t
C
CU
t
I
t
dt

 
 
 
 .  

Следовательно, ток, как и напряжение, меняется по гармоническому закону, но по начальной фазе опережает напряжение на 90 (четверть периода, см. рисунок). Амплитуды тока и напряжения связаны 
законом Ома:  

t

U

I

,
1
m
m
m
U
I
СU

С

 




 

т. е. в цепи синусоидального тока конденсатор в расчетном смысле – 
это сопротивление, величина которого определяется выражением 

1
C
x
С
 
. 

 

 
 
 Напряжение на конденсаторе меняется по пилообразному закону. С помощью графического трактования производной получим, что  
через конденсатор в течение полупериода протекает постоянный ток 
(см. рисунок). 
 

 
 
3. Вебер-амперная характеристка катушки индуктивности – 
это прямая, проходящая через начало координат (см. табл. 2), поэтому 
говорят, что она линейная: во сколько раз меняется потокосцепление, 
во столько же раз меняется и ток в катушке индуктивности, а их 

t

)
(t
u

)
(t
i

Т

4
Т

m
I
m
U

m
U

m
I

)
(t
i
)
(t
u

Т

t

отношение остается постоянным и равным величине индуктивности 

L
i


. Представляет интерес связь между током и напряжением на 

элементе. Вебер-амперная характеристика такого ответа напрямую не 
дает. Чтобы найти связь между током и напряжением в катушке ин
дуктивности, воспользуемся выражениями: 
;
d
di
u
L
dt
dt



 
1
i
udt
L


. 

Отсюда следует, что напряжение на катушке индуктивности определяется не величиной тока в ней, а скоростью изменения тока. Рассмотрим 
три случая изменения тока в катушке индуктивности. 
 Ток в катушке индуктивности постоянный: 
const
I 
, тогда очевидно, что напряжение на зажимах катушки индуктивности равно  
нулю (см. рисунок). В расчетном 
смысле – это короткозамкнутый участок при условии, что активное сопротивление катушки также принимается 
равным нулю. 
 Ток в катушке индуктивности 
меняется по синусоидальному закону: ( )
sin
m
i t
I
t

 . Напряжение на 

зажимах 
катушки 
индуктивности 
будет 
равно: 
( )
di
u t
L dt

  

соs
sin(
90 )
m
m
LI
t
LI
t
 
  
 
 . Сравнивая выражения для тока и 
напряжения, можно сделать два важных вывода: 
а) напряжение, как и ток, меняется по гармоническому закону, но по 
начальной фазе опережает ток на 90 (четверть периода, см. рисунок); 
 

 

t

)
(t
u

)
(t
i

Т

4
Т

m
I

m
U

t
U

I

б) амплитуды тока и напряжения связаны между собой законом 
Ома: 
m
m
U
LI
 
. Отсюда следует важный вывод: в цепи синусоидального тока катушка индуктивности в расчетном смысле – это сопротивление, величина которого определяется выражением 
L
x
L
  . 
 Если ток меняется по пилообразному закону, то, используя графическое трактование производной, получим, что напряжение на зажимах катушки индуктивности в течение полупериода остается постоянным (см. рисунок).  
 

 
 
Емкость и индуктивность получили название реактивных элементов электрической цепи. Это означает, что их поведение в цепи зависит от формы воздействующего сигнала (тока, напряжения).  
 
 
 
 
 

m
U

m
I
)
(t
i
)
(t
u

Т

t