Расчет и компьютерное моделирование трехфазных цепей (от простого к сложному)

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Ф.Э. ЛАППИ, П.В. МОРОЗОВ, Ю.Б. ЕФИМОВА 
 
 
 
РАСЧЕТ  
И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ 

ОТ ПРОСТОГО К СЛОЖНОМУ 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

УДК 621.3.011.7:004.94(075.8) 
Л 245 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф. В.Ю. Нейман 
канд. техн. наук, доц. Ю.В. Морозов 
 
Работа подготовлена на кафедре ТОЭ 
для студентов факультета механотроники и автоматизации 
 
Лаппи Ф.Э. 
Л 245  
Расчет и компьютерное моделирование трехфазных цепей 
(от простого к сложному): учебное пособие / Ф.Э. Лаппи, 
П.В. Морозов, Ю.Б. Ефимова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 
2020. – 98 с.  
ISBN 978-5-7782-4266-1  
Рассматриваются основные понятия, методы анализа трехфазных 
цепей синусоидального тока, работающие в установившемся режиме.  
Трехфазные цепи синусоидального тока имеют очень широкое 
распространение в электроснабжении всех потребителей электрической энергии. Следует заметить, что для анализа таких цепей применимы все методы и приемы, которые были рассмотрены ранее при 
анализе как цепей постоянного тока, так и однофазных цепей синусоидального тока. Но ввиду большой практической важности трехфазных цепей их анализу следует уделить особое внимание. Особенностью трехфазных цепей является то обстоятельство, что в них практически все время может меняться величина нагрузки из-за наличия 
многих потребителей.  
Показано применение компьютера для расчета и схемотехнического моделирования данных цепей, что является важным при дальнейшем анализе различных процессов, происходящих в электрических и 
электронных цепях практически любой сложности.  
Пособие будет полезно для студентов, желающих, во-первых, закрепить знания, полученные при анализе цепей постоянного и синусоидального тока, во-вторых, создать базу прочных навыков для 
дальнейшего анализа сложных электрических и электронных цепей. 
 
УДК 621.3.011.7:004.94(075.8) 

ISBN 978-5-7782-4266-1 
© Лаппи Ф.Э., Морозов П.В.,  
 
Ефимова Ю.Б., 2020 
 
© Новосибирский государственный  
 
технический университет, 2020 

ВВЕДЕНИЕ 
 
В курсе Теоретические основы электротехники изучаются принципы работы электрических цепей, работающих в различных режимах, и 
дан их анализ. Современные электрические цепи – это совокупность 
электротехнических устройств, в состав которых входит большое количество разнообразных элементов. Это обстоятельство, а также рост 
сложности устройств существенно увеличило трудности аналитических расчетов электрической цепи. Решение проблемы состоит в использовании для расчетов компьютерных программ. Применение компьютера предполагает, что пользователь осознает, в каком режиме работает электрическая цепь. Это требует от пользователя определенного 
объема знаний в области теории электрических цепей.  
Основными элементами электрической цепи являются резисторы, 
индуктивности и емкости, а также взаимная индуктивность. Цепи постоянного тока содержат три элемента: резистор, источник ЭДС и источник тока. Это наиболее простые цепи. Анализ цепей синусоидального тока требует учитывать наличие индуктивности и емкости, а также взаимной индуктивности. Необходимо отметить, что в трехфазных 
цепях действует три ЭДС, меняющиеся во времени по синусоидальному закону. Эти ЭДС имеют одну и ту же частоту, но отличаются по 
фазе друг от друга на 120°. Анализ данных цепей также предполагает 
широкое использование калькулятора и компьютера как при расчетах, 
так и при схемотехническом моделировании. Работа трехфазных цепей 
синусоидального тока, как и цепей постоянного тока, описывается алгебраической системой уравнений на основании законов Кирхгофа, но 
с комплексными числами.  

Цель учебного пособия – помочь освоить основные понятия, прие
мы и методы анализа трехфазных цепей синусоидального тока в установившемся режиме.  

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ  
ПРИ АНАЛИЗЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ  
 
Прежде всего напомним основные физические понятия и величины, используемые при анализе любого электромагнитного процесса 
(табл. 1). 

Т а б л и ц а  1 

Величина 

№ 
п/п Обозначение 
Понятие 
Единица  
измерения 
Главная  
формула 

1 
q 
Электрический заряд 
Кулон (Кл) 
 

2 
Ψ 
Потокосцепление 
Вебер (Вб) 
 

3 
i 
Электрический ток 
Ампер (А) 
dq
i
dt

 

4 
φ  
Электрический потенциал Вольт (В) 
 

5 
u 
Напряжение (разность 
потенциалов двух точек) 
Вольт (В) 
12
1
2
u
     

6 
p 
Мгновенная мощность 
Ватт (Вт) 
р
ui

 

 
В настоящей работе будут рассмотрены трехфазные электрические 
цепи, т. е. цепи, в которых действуют три ЭДС одной и той же частоты, отличающиеся друг от друга по фазе на 120°. При этом токи и 
напряжения во времени меняются по синусоидальному закону: 

sin(
)
m
i
dq
i
I
t
dt


  
. Такие цепи получили название трехфазных 

цепей синусоидального тока.  

Основные элементы таких цепей показаны в табл. 2. 

Т а б л и ц а  2 

№ 
п/п Название элемента 
Изображение 
Основная 
(вольт-амперная)  
характеристика

1 
Резистор 
 
 

2 
Конденсатор 
 
 

dq
du
i
C
dt
dt


 

 

1
u
idt
C


 

3 
Катушка  
индуктивности 
 
 
 

d
di
u
L
dt
dt



 

 

1
i
udt
L


 

4 

Две катушки  
индуктивности  
со взаимной  
индуктивностью 

 

1
1 1
12 2
L i
M
i
 

 
 

2
2 2
12 1
L i
M
i



 

i
1i

Li
 



1


u

1u

i
1i

u
Ri

R

2
1
i

u

2
1
i

u

C

q

q


1q

u
1u

q
Cu


2
1
i

u

L

1i

12
u

1L

2i

2
L

1
2

3
4

34
u

12
М

q

О к о н ч а н и е  т а б л . 2 

№ 
п/п 
Название  
элемента 
Изображение 

5 

Трехфазный 
источник  
электродвижущей силы 
(ЭДС) 
 
 

 

 
 

Соединение 
генератора звездой 
Соединение генератора 
треугольником 

 
На рис. 1 показаны графики изменения во времени трех ЭДС, имеющих одну и ту же амплитуду, частоту, но сдвинутых по фазе на 120° 
(на треть периода).  
 
 
 
 
 

 
 

Рис. 1. График трехфазных ЭДС 

 

( )
AB
u
t

A

( )
А
e
t

( )
С
e
t

0

( )
В
e
t

B

C

( )
BC
u
t

( )
CA
u
t
( )
AB
u
t

A

( )
А
e
t
( )
С
e
t

( )
В
e
t

B

C

( )
BC
u
t

( )
CA
u
t

( )
sin(
240 )
B
Am
e
t
E
t

 


T

t

( )
A
e
t
( )
B
e
t
( )
C
e
t

3
T

m
E

( )
sin(
120 )
C
Am
e
t
E
t

 

( )
sin
A
Am
e
t
E
t



2. СХЕМЫ СОЕДИНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА 
 
Трехфазные цепи широко применяются для снабжения всех без исключения потребителей электрической энергии. Эта энергия вырабатывается трехфазными генераторами, установленными на ТЭЦ, ГЭС, 
АС и т. д. Обмотки статора генератора, в которых по закону электромагнитной индукции наводятся ЭДС, могут быть соединены либо 
звездой либо треугольником. Рассмотрим эти соединения подробнее.  

2.1. Соединение звездой 

Если в схеме наблюдается установившийся режим, то для анализа 
следует использовать символический метод. Поэтому наводимые в обмотках статора электродвижущие силы можно представить в виде трех 
комплексных ЭДС. Схема соединения генератора звездой изображена 
на рис. 2. На этом же рисунке показана векторно-топографическая диаграмма для рассматриваемой схемы соединения.  
 

 

0

В
Е
B

C

1
V

С
Е

А
Е

2
V

A

А
U

     

 

A

0

B
C

1

j

30

2
V

1
V
CA
U

AB
U

BC
U

А
Е

 
Рис. 2. Схема и векторная диаграмма трехфазного генератора,  
соединенного звездой 

Рассмотрим введенные обозначения: 
0 – нейтральная точка генератора; 
, , 
A B C  – выводы соответствующих фаз; 
, 
, 
A
B
C
E
E
E  – действующие значения ЭДС фаз. У симметричного 
генератора 
A
B
C
E
E
E


. Фазные ЭДС сдвинуты относительно друг 
друга на 120°. При этом обычно принимают угол фазы «А», равный 
нулю: 
0
0
j
A
A
A
E
E e
E


 . Если генератор симметричный, то 

120
120
j
A
A
B
E
E e
E




; 

120
120
j
A
A
C
E
E e
E


; 

0
0
j
A
A
A
U
E e
E


  – фазное напряжение генератора, фазы «А»; 

30
3
3
30
j
A
A
AB
U
E e
E




  – линейное напряжение; 

120
3
3
90
j
A
A
BC
U
E e
E






  – линейное напряжение;  

150
3
3
150
j
A
A
AB
U
E e
E




  – линейное напряжение.  
При построении векторно-топографической диаграммы оси комплексной плоскости по традиции поворачивают на 90° против часовой 
стрелки. Слово «топографическая», означает, что на ней показывают, 
где располагаются точки, обозначенные на схеме, и чему равны их потенциалы. Потенциал точки «0» обычно принимают равным нулю.  
Вольтметр 
1
V  показывает действующее значение фазной ЭДС; 
вольтметр 
2
V  – действующее значение линейного напряжения. 

2.2. Соединение треугольником 

Схема соединения генератора треугольником изображена на рис. 3. 
Имеется два вида соединений (двигаемся по направлению ЭДС фазы А). 
 

Левое соединение обмоток 
(движение влево) 
Правое соединение обмоток 
(движение вправо) 

 
 

Рис. 3. Два способа соединения обмоток генератора треугольником

В

С

Х

Y

Z

A
E

B
E

C
E

A

В

С

Х

Y

Z

A
E

B
E

C
E

A

Левому соединению обмоток соответствует треугольник ЭДС, 
изображенный на рис. 4, а, а правому – на рис. 4, б. 
 

 
 
 
а 
б 

Рис. 4. Векторные диаграммы генераторов, соединенных  
треугольником 

 
 
Рис. 5. Схема и топографическая диаграмма трехфазного генератора, 
соединенного треугольником (слева) 

 

 
       
Рис. 6. Схема и топографическая диаграмма трехфазного генератора, 
соединенного треугольником (справа) 

A

B
C

1

j


C
CA
U
E

A
AB
U
E


B
BC
U
E


A
E

C
E

B
E

A

C

B
A
E

C
E

B
E

A

C

B

A

A
E

B

C

C
E

B
E

AB
U

BC
U

BC
U

AB
I

BC
I

CA
I

A

A
E

B

C

C
E

B
E
AС
U

СВ
U

AB
I

BC
I

CA
I

BА
U

C

A
AС
U
E


A
B

1
j


В
ВA
U
E


С
СВ
U
E


Если в схеме один генератор, то непринципиально, как соединены 
обмотки генератора (правое или левое). Однако, если имеются два генератора, у которых одно соединение правое, а другое левое, то необходимо проверить, могут ли эти генераторы параллельно работать на 
одну нагрузку.  
Пример 1. На рис.7 показаны два генератора, имеющие разные 
схемы соединения. Генератор №1 собран по левой схеме, а генератор №2 – по правой. 
1
2
220 В,
A
A
E
E


 
1
2
220 120  В,
B
B
E
E




 

1
2
220120  В.
C
C
E
E



 Определить показания вольтметров, показывающих действующее значение. 
 
 

 
Рис. 7. Схема генератора к примеру № 1 

Расчетная модель изображена на рис. 8. 

 
Рис. 8. Расчетная модель схемы генератора к примеру № 1 

1
A

1
A
E

1
B
1
C

1
C
E

1
B
E

3
V

5
V

2
A

2
A
E

2
B
2
C

2
C
E

2
B
E

4
V

6
V

1
V
2
V

3
V
U

1
V

3
V

2
V

4
V
5
V
6
V

1
Г

2
А

2
В

2
С

1
С
1
В

1
А

2
Г