Расчет и компьютерное моделирование переходных процессов в линейных цепях (от простого к сложному)

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
Ф.Э. ЛАППИ, П.В. МОРОЗОВ 
 
 
 
РАСЧЕТ И КОМПЬЮТЕРНОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 
В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ 
 
(ОТ ПРОСТОГО К СЛОЖНОМУ) 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 621.3.011.7:004.94(075.8) 
         Л 245 
 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор В.Ю. Нейман, 
канд. техн. наук, доцент Ю.В. Морозов 
 
 
Работа подготовлена на кафедре ТОЭ 
для студентов факультета механотроники и автоматизации 
 
 
Лаппи Ф.Э. 
Л 245  
Расчет и компьютерное моделирование переходных процессов в линейных цепях (от простого к сложному): учебное пособие // Ф.Э. Лаппи, П.В. Морозов. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 
2019. – 128 с.  

ISBN 978-5-7782-3976-0 

Рассматриваются основные понятия, приемы классического метода 
анализа переходных процессов в линейных цепях постоянного и синусоидального тока.  
Существует достаточно много методов анализа переходных процессов. В данной работе рассматривается так называемый классический 
метод, в котором решение находят как сумму двух составляющих.  
Показано применение компьютера для расчета и схемотехнического моделирования данных цепей, что является важным при дальнейшем 
анализе различных процессов в электрических и электронных цепях 
практически любой сложности.  
Пособие будет полезно студентам, желающим, во-первых, закрепить знания, полученные при анализе цепей постоянного тока, синусоидального тока в установившемся режиме, во-вторых, продолжать создавать в себе базу прочных навыков для дальнейшего анализа 
сложных электрических и электронных цепей. 

УДК 621.3.011.7:004.94(075.8) 

ISBN 978-5-7782-3976-0 
 Лаппи Ф.Э., Морозов П.В., 2019 
 
 Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2019 

 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

В курсе Теоретические основы электротехники изучаются принципы работы и анализа электрических цепей, работающих в различных 
режимах. Современные электрические цепи – это совокупность электротехнических устройств, в состав которых входит большое количество разнообразных элементов. Это обстоятельство, а также рост 
сложности устройств существенно увеличили трудности аналитических расчетов электрической цепи. Решение данной проблемы состоит 
в использовании для расчетов компьютерных программ. Применение 
компьютера предполагает, что пользователь осознает, в каком режиме 
работает электрическая цепь.  
Основными элементами электрической цепи являются резисторы, 
индуктивности и емкости. Цепи постоянного тока содержат три элемента: резистор, источник ЭДС и источник тока. Анализ цепей синусоидального тока потребовал учесть также наличие индуктивности и 
емкости. Вместе с тем следует заметить, что все знания и навыки, приобретенные при изучении цепей постоянного тока, помогли при изучении цепей синусоидального тока. Работа цепей синусоидального тока, 
как и цепей постоянного тока, описывается алгебраической системой 
уравнений на основании законов Кирхгофа, но с комплексными числами. При расчете этих цепей широко используют калькулятор, компьютер и схемотехническое моделирование.  
В настоящей работе будут рассмотрены цепи при действии как постоянных, так и синусоидальных источников энергии. Переходные 
процессы описываются системой дифференциальных уравнений независимо от вида и характера источников энергии. Естественно, решение 
данной системы уравнений достаточно серьезно отличается от решения системы алгебраических уравнений. Но решение системы алгебраических уравнений является составной частью решения системы дифференциальных уравнений. Цель учебного пособия – помочь освоить 
основные понятия, приемы и методы анализа электрических цепей постоянного и синусоидального тока в переходных процессах.  

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ  
ПРИ АНАЛИЗЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 

Прежде всего напомним основные физические понятия и величины, используемые при анализе любого электромагнитного процесса 
(табл. 1). 

Т а б л и ц а  1 

№ 
п/п 

Величина

Обозначение 
Понятие 
Единица 
измерения
Главная формула 

1 
q 
Электрический 
заряд
Кулон (Кл) 
 

2 
Ψ 
Потокосцеплние
Вебер (Вб)

3 
i 
Электрический ток 
Ампер (А) 
dq
i
dt

 

4 
  
Электрический 
потенциал
Вольт (В) 
 

5 
u 
Напряжение 
(разность потенциалов двух точек)
Вольт (В) 
12
1
2
u
     

6 
p 
Мгновенная 
мощность
Ватт (Вт) 
р
ui

 

 
В настоящей работе будут рассматриваться переходные процессы в 
электрических цепях, вызванные прежде всего изменением структуры 
схемы. Структура схемы (число узлов, ветвей, контуров, источников 
энергии) может изменяться за счет замыкания или размыкания ключа. 
Основные элементы рассматриваемых цепей приведены в табл. 2. 

Т а б л и ц а  2 

№ 
п/п 
Название элемента 
Изображение элемента
Основная характеристика элемента

1 
Резистор 

 
 

R

2
1
i

u

u

1u

i
1i

u
Ri


П р о д о л ж е н и е  т а б л. 2 

№ 
п/п 
Название элемента 
Изображение элемента
Основная характеристика элемента

2 

 
Конденсатор 

 

 

 
 

3 

 
Катушка  
индуктивности 

 

 

 
 

4 
Источник  
постоянной ЭДС 
 

5 
Источник  
постоянного тока 
 
 

6 

 
Синусоидальный 
источник электродвижущей силы 
(ЭДС) 
 

 

0

0

( )
sin
(
)

sin(
)

m

m

e t
E
t
t

E
t







  
 

 

2

1

( )
e t
( )
i t
( )
( )
u t
e t


1
i
udt
L
 

d
di
u
L
dt
dt




dq
du
i
C
dt
dt



1
u
idt
C



2
1
i

u

C

q

q


q

1q

u
1u

q
Cu


2
1
i

u

L

i
1i

Li
 



1


J

t

I

2

1

( )
u t
J

t

0t

T

e

m
E

t

U

Е

2

1

Е

I

U
Е


О к о н ч а н и е  т а б л. 2 

№ 
п/п 
Название элемента 
Изображение элемента
Основная характеристика элемента

7 
Синусоидальный 
источник тока 

 

8 
Ключ 
 
Разомкнут –  
замкнут 

 
Замкнут –  
разомкнут 

 
Авторы работы предлагают читателям обратить внимание на рисунки, показанные в табл. 2. Если ВЫ не поработали с учебными пособиями, посвященными цепям постоянного и синусоидального тока, то 
для того чтобы понять, что будет сказано ниже, вам следует изучить, 
как анализируются цепи постоянного и синусоидального тока в установившемся режиме. 
Пояснения к табл. 2: 
1) направления токов выбирают произвольно, но обычно слева 
направо или сверху вниз – так обычно мы читаем все тексты; 
2) направление напряжения на элементе следует выбирать так, 
чтобы оно совпадало с выбранным направлением тока в элементе. 
Направление напряжения на источнике тока направлено навстречу току (см. табл. 2, пп. 5 и 7); 
3) если ключ замкнут, то по нему может протекать ток, если разомкнут, то ток на участке, где находится ключ, равен нулю. 
Далее 
проведем 
анализ 
свойств 
элементов 
по 
виду 
их 
характеристик. 
Вольт-амперная характеристика резистора 
Так как вольт-амперная характеристика резистора – это прямая, 
проходящая через начало координат, то говорят, что это линейная 
ВАХ. Поэтому, во сколько раз меняется напряжение на резисторе, во 
столько же раз меняется и ток. И, наоборот, во сколько раз меняется 

2

1

( )
J t
( )
( )
i t
J t


( )
u t

0

0

( )
sin (
)

sin(
)
m

m

J t
J
t
t

J
t


 



  

t

0t

T

m
J

J

ток, во столько же раз меняется напряжение на резисторе, а их отношение остается постоянным и равным величине сопротивления 

1

1

u
R
i

. Если ток станет отрицательным (начнет протекать в направ
лении, противоположном принятому первоначально), то и напряжение станет отрицательным – потенциал точки 2 станет больше потенциала точки 1. Еще одно важное свойство резистора, вытекающее из 
вида ВАХ: ток и напряжение в резисторе имеют одинаковый характер изменения. Например, если ток имеет синусоидальный характер 
изменения во времени, то и напряжение меняется по синусоиде во 
времени (рис. 1). Другими словами, в резисторе ток и напряжение 
жестко связаны выражением u
Ri

. Это выражение не что иное, как 
знаменитый закон Ома. Законом Ома надо обязательно научиться 
пользоваться. В резисторе происходит преобразование энергии электромагнитного поля в тепловую. Мощность преобразования определяется законом Джоуля–Ленца: 
2
R
R
P
U I
I R


. Следует отметить, 
что в последнем выражении напряжение и ток носят название действующих значений. Мощность в системе Си измеряется в ваттах 
(Вт). Для получения мощности в калориях за секунду последнее выражение следует умножить на коэффициент 0,24.  
 

i

u

t

BAXR 
 
Рис. 1. Совпадение форм тока и напряжения  
на резисторе 

Кулонвольтная характеристка конденсатора 
Кулонвольтная характеристика конденсатора – это прямая, проходящая через начало координат, вследствие чего говорят, что она 

линейная. Поэтому, во сколько раз меняется напряжение на конденсаторе, во столько же раз меняется заряд на его обкладках. И, наоборот, 
во сколько раз меняется заряд, во столько раз меняется напряжение на 
конденсаторе, а их отношение остается постоянным и равным 

величине емкости 
q
С
U

. Обратим особое внимание на то обстоятель
ство, что при анализе электрических цепей в первую очередь представляет интерес связь между током и напряжением на элементе. Кулонвольтная характеристика такого ответа напрямую не дает. Чтобы 
найти связь между током и напряжением в конденсаторе, воспользуем
ся выражением 
.
dq
du
i
C
dt
dt


 Отсюда следует, что ток в конденсаторе 

определяется не величиной напряжения между обкладками конденсатора, а скоростью изменения этого напряжения. Рассмотрим три случая изменения напряжения на конденсаторе. 
1. Напряжение на конденсатор длительное время постоянно: 
const
U 
, тогда очевидно, что ток через конденсатор не протекает и 
равен нулю. В этом случае конденсатор разрывает цепь тока. 
2. Напряжение на конденсаторе длительное время меняется по синусоидальному закону: 
( )
sin
m
u t
U
t

 . Ток в конденсаторе равен: 

( )
соs
cos
sin(
90 )
m
m
m
du
i t
С
СU
t
I
t
I
t
dt

 
 
 
 
 . Сравнивая вы
ражения для тока и напряжения, можно сделать два важных вывода: 
 ток, как и напряжение, меняется по гармоническому закону, но 
фаза тока на 90 или на четверть периода больше фазы напряжения; 
 амплитуды тока и напряжения связаны между собой законом 

Ома: 
1
m
m
m
U
I
СU

С

 




. Следовательно, в установившемся режиме 

конденсатор в расчетном смысле – это сопротивление, величина кото
рого определяется выражением 
1
C
X
С
 
. 

3. Если напряжение меняется по пилообразному закону, то, используя 
графическое трактование производной, получим, что через конденсатор в 
течение полупериода протекает постоянный ток (см. табл. 4, п. 3).  

Проведем формальное сравнение ведра (это тоже емкость) и конденсатора (табл. 3). 

Т а б л и ц а  3 

№ 
п/п 
Ведро 
Конденсатор 

1 
Объем (V – в литрах, м3)
Емкость (С, в фарадах)

2 
Масса вещества в ведре (М, кг)
Заряд на обкладках (q, кулон)

3 

Скорость наполнения ведра

3
м
, С
V






 

Скорость изменения заряда – ток 

Кл
, С
i





 

4 
Уровень вещества в ведре 
(h, в метрах)

Напряжение между обкладками 
(u, В)

Примечания к табл. 3. 
Очевидно, что вещество (например, воду) в ведро можно наливать быстро или 
медленно, но невозможно скачком (без затрат времени) изменить массу воды в ведре. 
Аналогично можно менять ток через конденсатор с большей или меньшей скоростью, 
но невозможно скачком (без затрат времени) изменить заряд на обкладках конденсатора. Следовательно, делаем очень важный вывод: заряд на конденсаторе нельзя изменить скачком. 
 
Проведем дальнейшие сравнения. Наполнять ведро водой можно с 
постоянной скоростью, но рано или поздно оно переполнится. Таким 
же образом можно пропускать через конденсатор постоянный ток, и он 
рано или поздно будет заряжен. Следовательно, делаем другой важный 
вывод: постоянный ток не может бесконечно долго протекать через 
конденсатор. Если же ведро то наполнять, то опорожнять, то это может продолжаться бесконечно долго. Точно так же, если конденсатор 
то заряжать (пропускать ток в одном направлении), то разряжать (сменить направление тока на противоположное), такой процесс может 
продолжаться бесконечно долго. Следовательно, переменный ток (ток, 
который меняется во времени и по направлению) может протекать через конденсатор бесконечно долго. 
Каким бы высоким не было ведро, рано или поздно, если уровень 
воды достиг его края, дальнейшее наполнение становится невозможным. И точно так же можно долго заряжать конденсатор, но как только 
напряжение достигнет определенного уровня, произойдет пробой  
диэлектрика, и конденсатор потеряет свои свойства. Следовательно, 
делаем важный вывод: предельно возможное напряжение для конденсатора ограничено.  

Естественно, емкости могут быть соединены последовательно, параллельно, звездой или треугольником.  
При последовательном соединении емкостей напряжения на них 
обратно пропорциональны величине емкости. Это утверждение вытекает из того обстоятельства, что через них протекал один и тот же ток, 
а следовательно, на всех конденсаторах – один и тот же заряд. При параллельном соединении на емкостях одно и то же напряжение, но разный заряд. 
В табл. 4 приведены графики напряжения и тока для трех рассмотренных выше случаев изменения напряжения, приложенного к конденсатору (при длительном протекании процесса). 

Т а б л и ц а  4 

№ 
п/п 
Вид кривых напряжения и тока 

1 

 

2 

 

3 

t

)
(t
u

)
(t
i

Т

4
Т

m
I
m
U

t

U

I

m
U

m
I

)
(t
i
)
(t
u

Т

t