Основы сопротивления материалов

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
Г.А. КУРИЛЕНКО 
 
 
 
 
 
ОСНОВЫ  
СОПРОТИВЛЕНИЯ  
МАТЕРИАЛОВ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом  
университета в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

 

УДК 539.3/.6(075.8) 
         К 931 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, профессор В.Г. Атапин 
д-р техн. наук, профессор А.В. Гуськов 
 
 
Работа подготовлена на кафедре ПЛА и предназначена 
для студентов II и III курсов МТФ по направлению 15.03.02 –  
Технологические машины и оборудование и 15.03.05 –  
Конструкторско-технологическое обеспечение 
 машиностроительных производств 
 
 
 
Куриленко Г.А. 
К 931   
Основы сопротивления материалов: учебное пособие /  
Г.А. Куриленко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. –139 с. 

ISBN 978-5-7782-3567-0 

Учебное пособие предназначено для инженерно-технических 
направлений и специальностей механико-технологического факультета и в нем сделан акцент на самые ключевые проблемы курса сопротивления материалов.  
Пособие охватывает основные вопросы статической прочности, 
жесткости и устойчивости стержня при простых деформациях (растяжение-сжатие, кручение и плоский изгиб) и сложных деформациях. 
Также рассмотрены динамические задачи (расчет элементов конструкций при движении с ускорением, инженерная теория удара, расчет на прочность при колебаниях) и даны элементы теории пластин и 
оболочек. 
По всем темам приводятся типовые примеры с решениями. 
 
УДК 539.3/.6(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3567-0  
 
 
 
 
 
 
© Куриленко Г.А., 2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Новосибирский государственный 
технический университет, 2018    

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение ................................................................................................................... 6 

Глава 1. Алгоритм расчета на прочность. Основные понятия курса .......... 9 
   1.1. Алгоритм расчета на прочность ................................................................... 9 
   1.2. Составление расчетной схемы ...................................................................... 9 
   1.3. Расчет опорных реакций ............................................................................. 11 
   1.4. Понятие о внутренних силах. Их расчет .................................................... 11 
   1.5. Напряжения и деформации.  Связь между ними (закон Гука) ................. 14 
   1.6. Условие прочности ...................................................................................... 17 
   1.7. Основные допущения  и ограничения, накладываемые  на все задачи 
           в сопротивлении материалов  (основные гипотезы и принципы) .......... 17 

Глава 2. Расчет на прочность и жесткость при растяжении-сжатии  
                бруса ....................................................................................................... 19 
   2.1. Вывод расчетных формул  для напряжений и деформаций ..................... 19 
   2.2. Условие прочности ...................................................................................... 22 
   2.3. Три типа задач при расчетах на прочность ................................................ 23 
   2.4. Статически неопределимые задачи  при растяжении-сжатии ................. 23 

Глава 3. Механические характеристики материалов ................................... 29 
   3.1. Испытание на растяжение образцов  из малоуглеродистой стали .......... 29 
   3.2. Испытание на сжатие образцов  из малоуглеродистой стали .................. 34 
   3.3. Испытание на растяжение и сжатие образцов из серого чугуна ............. 35 
   3.4. Таблица основных механических характеристик малоуглеродистых 
           сталей и серых чугунов .............................................................................. 35 
   3.5. Хрупкость и пластичность .......................................................................... 36 

Глава 4. Теория напряженно-деформированного  состояния ..................... 37 
   4.1. Напряженное состояние точки ................................................................... 37 
   4.2. Деформированное состояние в точке.  Объемная деформация.  
          Обобщенный закон Гука ............................................................................. 43 

Глава 5. Теории предельных напряженных  состояний  
                (теории прочности) .............................................................................. 49 
   5.1. Назначение теорий прочности.  Эквивалентное напряжение .................. 49 
   5.2. Теория наибольших касательных  напряжений  
          (3-я теория прочности) ................................................................................ 50 
   5.3. Энергетическая теория  прочности (4-я теория) ....................................... 50 
   5.4. Обобщенная теория прочности Мора ........................................................ 52 

Глава 6. Кручение брусьев круглого  поперечного сечения ........................ 54 
   6.1. Вывод расчетных формул  для напряжений и перемещений ................... 54 
   6.2. Рациональные формы  поперечных сечений при кручении ..................... 60 

Глава 7. Геометрические характеристики  плоских сечений ...................... 62 
   7.1. Статические моменты сечения ................................................................... 62 
   7.2. Моменты инерции сечения ......................................................................... 63 
   7.3. Свойства моментов инерции ....................................................................... 64 

Глава 8. Плоский (прямой) изгиб  прямых брусьев ...................................... 68 
   8.1. Классификация изгибов .............................................................................. 68 
   8.2. Дифференциальные зависимости Журавского при плоском  
          поперечном изгибе ....................................................................................... 69 
   8.3. Вывод формулы для расчета напряжений  при чистом плоском изгибе ...... 71 
   8.4. Условие прочности ...................................................................................... 77 
   8.5. Поперечный плоский изгиб ........................................................................ 78 
   8.6. Расчет на жесткость при плоском изгибе .................................................. 83 

Глава 9. Сложное нагружение ........................................................................... 86 
   9.1. Основные понятия ....................................................................................... 86 
   9.2. Алгоритм расчета на прочность ................................................................. 86 
   9.3. Совместное действие изгиба и кручения ................................................... 87 

Глава 10. Энергетические методы  определения перемещений .................. 90 
   10.1. Принцип возможных перемещений  для деформируемых систем ........ 90 
   10.2. Вывод интеграла Мора .............................................................................. 90 
   10.3. Алгоритм определения  перемещений по интегралу Мора .................... 92 
   10.4. Вычисление интеграла Мора  по способу Верещагина .......................... 93 
   10.5. Вычисление интеграла Мора  по формуле Симпсона ............................ 95 

Глава 11. Устойчивость равновесия сжатых  стержней  
                  (продольный изгиб) ........................................................................... 97 
   11.1. Понятие об устойчивости .......................................................................... 97 
   11.2. Определение критической силы по Эйлеру............................................. 98 
   11.3. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня ........ 99 
   11.4. Пределы применимости формулы Эйлера ............................................ 100 
   11.5. Определение критических напряжений для стержней 
             малой гибкости, когда 
пред
  
  ........................................................... 101 

Глава 12. Расчет на прочность при движении с ускорением ..................... 103 

Глава 13. Инженерная теория удара .............................................................. 105 
   13.1. Допущения инженерной теории удара ................................................... 105 
   13.2. Понятие о динамическом перемещении,  динамической силе 
            и коэффициенте динамичности .............................................................. 105 
   13.3. Приведение массы тела,  воспринимающего удар, 
            к точке соударения ................................................................................... 106 
   13.4. Энергетический метод определения  коэффициента динамичности ..... 108 
   13.5. Расчет на прочность и жесткость  по инженерной теории удара ........ 110 

Глава 14. Расчет на прочность  и жесткость при колебаниях ................... 111 
   14.1. Основные понятия ................................................................................... 111 
   14.2. Собственные колебания систем  с одной степенью свободы 
            без наличия сил сопротивления .............................................................. 112 
   14.3. Собственные колебания систем  с одной степенью свободы 
            с линейным затуханием ........................................................................... 113 
   14.4. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы 
            с учетом сил сопротивления ................................................................... 114 

Глава 15. Элементы теории пластин  и оболочек ...................................... 117 
   15.1. Расчет тонкостенных осесимметричных оболочек  
            по безмоментной теории ......................................................................... 117 
   15.2. Изгиб цилиндрической оболoчки при симметричном нагружении .... 122 
   15.3. Изгиб круглых симметрично нагруженныx плaстин ............................ 127 
Вопросы и задания для самоконтроля ............................................................... 134 
Библиографический список ................................................................................ 138 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Настоящее пособие написано на основе лекций, читаемых автором 
в НГТУ для студентов механико-технологического факультета. Автор 
опускает некоторые второстепенные вопросы, акцентируя внимание 
только на самых основных, но в то же время для формирования научного кругозора студентов дается часть материала, помеченного звездочкой, которую можно при необходимости опустить без ущерба для 
понимания остального текста. 
Перед тем как приступить к изучению новой дисциплины, необходимо понять, какое место она занимает в науке. Сопротивление материалов – это один из разделов механики – науки, изучающей законы 
взаимодействия материальных тел. Этой науке около 5000 лет, столько 
же, сколько и современной человеческой цивилизации. За это время 
механика разделилась на отдельные направления, поскольку в одной 
науке было трудно сконцентрировать весь объем накопленных знаний. 
Единой классификации этих направлений механики не существует, но 
ее можно попытаться изобразить в виде схемы, представленной на рисунке. 

Релятивистская 
механика 

Механика 
Квантовая 
механика 

Классическая механика 
(механика) 

Механика деформируемого 
твердого тела 

Теоретическая 
механика 

Механика 
жидкостей и газов 

Статика 
Кинематика 
Динамика 

 
В основе релятивистской механики лежит теория относительности, 
и она используется при скоростях движения тел, близких к скорости 

света с = 300 000 км/c. В релятивистской механике сформулированы 
законы, применимые для всей механики. 
Квантовая механика – это механика элементарных частиц, масса 
которых стремится к нулю и которые движутся со скоростями, близкими к скорости света. В основе квантовой механики лежит соотношение неопределенности Гейзенберга. 
И релятивистской, и квантовой механикой занимаются физики. 
Классическая механика (или просто механика) – частный случай 
релятивистской механики, когда скорости тел относительно невелики, 
а массы – относительно велики. Это инженерная наука, которую 
условно называют механикой. 
Разберемся в разветвлениях этой механики. Все науки призваны 
изучать реальные природные явления и реальные объекты. Но учитывать все свойства реальных объектов практически невозможно, поэтому все науки занимаются моделями (или расчетными схемами) изучаемых явлений и объектов, в которых какие-то свойства не учитываются или смягчаются. Как правило, свойства изучаемого объекта описываются соответствующими уравнениями и получается его математическая модель, с которой дальше и работают. 
Так, в теоретической механике не учитывается деформируемость 
тел, и поэтому из ее рамок выпадают вопросы прочности. 
Механика деформируемого твердого тела, опираясь на законы 
теоретической механики и учитывая дополнительно деформируемость 
тела, позволяет решать вопросы прочности. Эта обширная наука о 
прочности за 300 с лишним лет своего существования также разделилась на несколько направлений: теория упругости, теория пластичности, механика разрушения, сопротивление материалов и т. д. 
Вот мы и подошли к тому, что сопротивление материалов является 
одним из разделов механики деформируемого твердого тела. Чтобы 
понять, какое место в этой науке занимает сопротивление материалов, 
сопоставим его с теорией упругости. 
Отметим еще раз, что все науки, призванные изучать реальные 
объекты, на самом деле занимаются их расчетными схемами, в которых накладываются ограничения на рассматриваемую задачу, касаемые формы тела, нагрузки, внешних условий и т. д. 
Теория упругости – наиболее общая наука о прочности, в которой 
учитываются практически все свойства объекта, влияющие на прочность, и накладывается только одно ограничение: деформации тела 
должны быть упругими, т. е. после снятия нагрузки его размеры и 

форма должны полностью восстанавливаться. В результате математическая модель в теории упругости получается очень сложной, и уравнения, ее описывающие, не имеют, как правило, аналитического решения, и даже численными методами их нередко трудно решить. Теория 
упругости позволяет достаточно точно описать математически задачу, 
но для ее практического решения нужно что-то упростить, наложить 
какие-то ограничения. Без этого теория упругости будет чисто описательной наукой. 
Поэтому на противоположном полюсе механики деформируемого 
твердого тела и находится инженерная наука о прочности – сопротивление материалов. 
Сопротивление материалов – наука о прочности, а точнее – это 
раздел механики деформируемого твердого тела, рассматривающий 
методы расчета на прочность и жесткость типовых элементов конструкций при условии их долговечности и экономичности. 
Задачей курса сопротивления материалов является разработка достаточно простых инженерных приемов расчета типовых деталей. При 
этом на решаемую задачу накладывается максимально возможное количество ограничений и допущений на форму тела, свойства материала, нагрузку и т. д. В результате расчетные формулы получаются удобными для практических инженерных расчетов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Г л а в а  1 

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ  
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КУРСА 

1.1. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ 

Оказывается, что все задачи сопротивления материалов можно в 
принципе решить по одному алгоритму (рис. 1). 

 
Рис. 1 

Рассмотрим ступени этого алгоритма. 

1.2. СОСТАВЛЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ 

При составлении расчетной схемы производится схематизация детали, опор и нагрузки. 

Схематизация детали. При всем разнообразии конструктивных 
элементов их можно свести к сравнительно небольшому числу основных форм, а именно к четырем. 
1. Форма бруса (рис. 2). Брус – это тело, у которого длина существенно (в 10 и более раз) превышает характерный размер поперечного 
сечения. Ось бруса может иметь любую форму. Брус может быть плоским или пространственным. 
Брус – основное тело, рассматриваемое в сопротивлении материалов. 

Рис. 2 

 
Рис. 3 

 
Рис. 4 
 
Рис. 5 

2. Форма оболочки (рис. 3). Оболочкой называется тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми существенно меньше других размеров оболочки. Поверхность, равноудаленная 
от внешней и внутренней поверхности, называется срединной поверхностью. Линия пересечения срединной поверхности с верхним торцом 
показана на рисунке штрихпунктиром. Форма оболочки может быть 
любая. На рис. 3 показана цилиндрическая оболочка. В сопротивлении 
материалов рассматриваются оболочки простейшей формы. 
3. Форма пластины (рис. 4). 
Пластина – оболочка с плоской срединной поверхностью. Пластина 
может быть прямоугольной, круглой, треугольной и т. д. В сопротивлении материалов рассматриваются пластины простейшей формы. 
4. Массивное тело – элемент конструкции, размеры которого во 
всех направлениях мало отличаются друг от друга (рис. 5). В сопротивлении материалов массивные тела не рассматриваются, их рассчитывают в теории упругости.