Операционное исчисление

Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Å. Â. ÊÀÇÀÍÖÅÂÀ, È. Ì. ÏÓÏÛØÅÂ,
Ã. Ñ. ØÅÔÅËÜ
ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Утверждено Редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2018

УДК 517.445(075.8)
К142
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент Â. Â. Õàáëîâ,
д-р физ.-мат. наук, профессор Â. À. Ñåëåçíåâ
Работа подготовлена на кафедре высшей математики
для студентов технических направлений факультетов
РЭФ, ФТФ, МТФ
Казанцева Е. В.
К142 Операционное исчисление : учеб. пособие / Е. В. Казанцева,
И. М. Пупышев, Г. С. Шефель.  Новосибирск : Изд-во
НГТУ, 2018.  64 с.
ISBN 978-5-7782-3477-2
Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов всех направлений факультетов РЭФ, ФТФ, МТФ, изучающих в курсе математики раздел ¾операционное исчисление¿. Пособие содержит теоретический материал, примеры типовых задач с подробными решениями,
задания для самостоятельной работы студентов. Все замечания по содержанию пособия просим передавать на кафедру высшей математики.
Они будут с благодарностью приняты и учтены в следующих изданиях.
УДК 517.445(075.8)
ISBN 978-5-7782-3477-2
c
⃝
Казанцева Е. В., Пупышев И. М.,
Шефель Г. С., 2018
c
⃝
Новосибирский государственный
технический университет, 2018

Оглавление
Введение
4
Глава 1. Основные понятия и свойства операционного
исчисления. Нахождение изображений
6
1.1. Определения оригинала и изображения . . . . . . . . . . .
6
1.2. Свойства, используемые для нахождения изображений . .
8
1.3. Оригиналы и их изображения (формулы соответствия) . .
12
1.4. Примеры нахождения изображений . . . . . . . . . . . . .
16
Глава 2. Нахождение оригиналов по изображениям
26
2.1. Способы нахождения оригинала по изображению . . . . .
26
2.2. Примеры нахождения оригиналов по изображениям
. . .
28
Глава 3. Решение линейных дифференциальных уравнений
и их систем операционном методом
35
3.1. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем. Примеры. . . . . . . . . . . .
35
3.2. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля. Примеры. . . . . . . . . . . . .
38
3.3. Применение операционного исчисления для расчета электрических контуров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Глава 4. Задачи для индивидуальных заданий
43
Список литературы
63
3

Введение
В 1893 г. английский физик О. Хевисайд предложил метод работы
с уравнениями, содержащими производные и интегралы от неизвестных функций, который назвал операционным.
Точка зрения Хевисайда, который скорее руководствовался интуицией и физическим смыслом явлений, чем математической строгостью,
состояла в следующем.
Хевисайд рассматривал знак дифференцирования
d
dt как оператор p. Операция дифференцирования функции f(t) записывалась как
p f(t), а производная порядка n  как pn f(t) (так как оператор p применялся n раз к функции f(t) ). Оператор 1
p или p−1 представлял операцию интегрирования, так как оператор p, приложенный к p−1f(t),
снова давал в результате функцию f(t), т. е. pp−1f(t) = f(t).
Формула, содержащая интегралы или дифференциалы, сводилась
к алгебраической форме при рассмотрении p в качестве алгебраической
переменной. Это Хевисайд называл ¾алгебраизацией¿ задачи. Однако
обращение с p как с алгебраической переменной таило в себе множество ловушек. И только гениальная интуиция Хевисайда позволяла ему
обходиться без ошибок при вычислениях.
Строгое математическое обоснование операционного исчисления
было дано в работах П. Леви и Дж. Р. Карсона. Было определено интегральное преобразование Лапласа, которое функции f(t) (оригиналу) ставит в соответствие новую функцию (изображение) F(p). При
этом свойства этого преобразования таковы, что при дифференцировании (интегрировании) оригинала изображение умножается (делится)
на переменную p. Таким образом, при переходе в дифференциальных
4

уравнениях от функций к их изображениям по существу используются
идеи Хевисайда.
Отметим, что операционное исчисление изначально рассматривало либо функции, связанные интегральным преобразованием Карсона
f(p) = p
∞
Z
0
h(t)e−pt dt,
либо функции, связанные преобразованием Лапласа
F(p) =
∞
Z
0
h(t)e−pt dt.
Между функциями f(p) и F(p), связанными с h(t) этими формулами,
имеется соотношение pF(p) = f(p).
Интегральное преобразование Карсона естественно входит в изучение электрических цепей. Мы, однако, будем рассматривать преобразование Лапласа, которое получило в мировой практике более широкое
распространение.
5

Глава 1
Основные понятия и свойства
операционного исчисления.
Нахождение изображений
1.1. Определения оригинала и
изображения
Пусть f(t)  комплекснозначная функция действительного переменного, удовлетворяющая условиям:
а)
f(t)  кусочно-непрерывна при t ⩾0;
б)
f(t) = 0 при t < 0;
в)
f(t) может расти не быстрее некоторой показательной функции,
т. е. существуют такие константы M и α, что |f(t)| ⩽Meαt. Такие
функции будем называть оригиналами. Точная нижняя грань множества всех чисел α, для которых выполняется условие в) с некоторой
константой M, называется показателем роста функции f(t).
Преобразованием Лапласа функции f(t) называется функция
комплексного переменного F(p), определяемая формулой
F(p) =
+∞
Z
0
f(t)e−pt dt.
(1.1)
6

Функцию F(p) называют изображением функции f(t). Она определена и аналитична в полуплоскости Re p > α0, где α0  показатель
роста функции f(t).
Доказательство. Пусть p = α1 + iα2, α1 > α0. Выберем α ∈(α0; α1),
тогда |f(t)| ⩽Meαt для некоторого M. Так как
|f(t)e−pt| = |f(t)e−α1t| · |e−α2it| ⩽Meαte−α1t = Me−(α1−α)t,
и интеграл
+∞
0
=
M
∞
Z
0
Me−(α1−α)t dt = −
M
α1 −α
α1 −αe−(α1−α)t




сходится, то и интеграл
F(p) =
+∞
Z
0
f(t)e−pt dt
сходится абсолютно. Аналитичность функции F(p)  без доказательства.
В дальнейшем, записывая аналитическое выражение для оригинала f(t), мы будем считать, что функция задается этим выражением на
[0; +∞), а при t < 0 полагаем, что f(t) = 0. Иными словами, вместо
функции f(t) будем на самом деле рассматривать функцию f(t)η(t),
где через
η(t) =
(
1, t ⩾0,
0, t < 0
обозначена функция Хевисайда.
Для обозначения соответствия между f(t) и F(p) используются
следующие формы записи: f(t) ←
: F(p), f(t) ≑F(p), F(p) = L{f(t)}.
7