Механика и термодинамика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
МЕХАНИКА 
И ТЕРМОДИНАМИКА 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 531+536.7](075.8) 
М 55 
 
Коллектив авторов: 
В.Г. Дубровский, А.А. Корнилович,  
И.И. Суханов, И.Б. Формусатик 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор В.К. Макуха 
канд. физ.-мат. наук, доцент В.Н. Холявко 
 
 
Работа подготовлена кафедрой прикладной 
и теоретической физики 
 
 
М 55  
Механика и термодинамика: учебное пособие / В.Г. Дубровский, А.А. Корнилович, И.И. Суханов, И.Б. Формусатик. – 
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 95 с. 

ISBN 978-5-7782-3881-7 

В пособие включены лабораторные работы по механике поступательного и вращательного движения, молекулярно-кинетической теории и термодинамике. В каждую лабораторную работу включено теоретическое описание исследуемого явления. Во вводной части пособия рассмотрены методы статистической обработки результатов измерений. 
Учебное пособие по курсу общей физики предназначено для студентов I и II курса РЭФ, ФТФ, ФЭН всех специальностей и всех форм 
обучения.  
 
 
 
 
УДК 531+536.7](075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3881-7 
© Дубровский В.Г., Корнилович А.А.,  
 
Суханов И.И., Формусатик И.Б., 2019 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2019 

 
 
 
 
 
 
 
ОГЛАВЛЕНИЕ  
 
Предисловие ............................................................................................................ 4 
ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ ............................................................................................ 5 
Часть 1. Многократные измерения времени соударения шаров ...................... 5 
Часть 2. Обработка результатов измерений .................................................... 15 
Работа № 1. ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ СОУДАРЕНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ ....... 32 
Работа № 2. ИЗМЕРЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТИ ПУЛИ  
С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ................ 44 
Работа № 3. ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ  
МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА ............................................................... 57 
Работа № 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА 
ОБЕРБЕКА ....................................................................................... 65 
Работа № 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ  
МЕТОДОМ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА .......................................... 71 
Работа № 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО 
ТРЕНИЯ (ВЯЗКОСТИ) ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ 
СТОКСА ........................................................................................... 85 
Работа № 7. ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ......................... 89 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
В учебном пособии представлены теоретические и экспериментальные исследования физических явлений, изучаемых в разделах 
«Механика» и «Молекулярная физика и термодинамика» курса общей 
физики высших учебных заведений. При проведении исследований 
студенты, во-первых, осваивают основные принципы постановки эксперимента, методы обработки результатов измерений и представления 
этих результатов в стандартном виде. Во-вторых, студенты знакомятся 
с построением теоретической модели физического явления, исследуют 
приближения модели, т. е. условия, в рамках которых она соответствует описываемому явлению.  
Студенты знакомятся с основами теории измерений, источниками 
и видами погрешностей измерений, правилами определения доверительного интервала, т. е. границ, в пределах которых находится истинное значение измеряемой величины. Этот весьма общий материал необходим не только в курсе общей физики, но и в измерительных задачах последующих учебных курсов, прежде всего курса «Метрология». 
Соответствие теоретических моделей исследуемым физическим 
явлениям в настоящем пособии проверяют простейшим графическим 
способом. Для этого результаты измерений линеаризуют, т. е. вычисляют их функции, для которых зависимость выглядит прямой линией. 
Отклонение от прямой линии легко обнаруживается и служит мерой 
подтверждения или нарушения теоретического закона. 
В целом экспериментальные исследования – неотъемлемая часть 
курса физики. Благодаря практике измерений студент получает представление о сложности окружающего мира и о том, как много разнообразных факторов влияет на результаты даже, казалось бы, простейших измерений. 

ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ 

ЧАСТЬ 1. МНОГОКРАТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ  
СОУДАРЕНИЯ ШАРОВ 

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА 

В лабораторной работе измеряется время соударения   двух одинаковых стальных шаров.  
Цель работы: провести многократные измерения времени соударения шаров, исследовать статистическое распределение времени соударения (построить гистограмму, описать ее). 
Измерительная установка включается кнопкой «Сеть» на передней 
панели цифрового микросекундомера МС. Кнопку «Выбор работы» 
необходимо переключить в положение «Соударение шаров». Кнопка 
«Пуск» стирает предыдущее показание на индикаторе микросекундомера и переводит его в готовность к следующему измерению. Шары 1 и 2 подвешены на тонких проводящих нитях (рис. 1). 
Шар 1 отводят в сторону и помещают на 
основание 3, при этом шар поднимается. 
Затем основание 3 смещают, направление 
смещения показано стрелкой. Шар 1 срывается с основания, сталкивается со вторым, свободно висевшим шаром; электрическая цепь через шары замыкается. Время 
существования тока в этой цепи, считающееся временем соударения шаров, измеряется микросекундомером и фиксируется 
на его индикаторе. 
Теоретически столкновение шаров изучается в приближении центрального удара, когда шары движутся вдоль линии, соединяющей их 
центры масс. Поэтому в настоящей работе необходимо обеспечить 

Рис. 1

  3

1 

2 

стабильность положения и относительной скорости шаров в момент 
удара. Для этого: 
 отрегулировать длину проводов так, чтобы центры висящих шаров располагались на одной высоте (смотреть на шары сбоку); 
 разместить шары на проводах так, чтобы их центры располагались в вертикальной плоскости симметрии установки (смотреть на шары сверху); 
 следить за тем, чтобы перед каждым ударом шар касался Основания 3 в одной и той же точке: если этого не сделать, то точка контакта шаров будет от удара к удару случайным образом смещаться по горизонтали; 
 свободно висящий шар должен быть неподвижным перед каждым ударом. 
Таблица результатов. Результаты многократных измерений и результатов промежуточных вычислений при обработке данных следует 
представить в виде табл. 1. Здесь № – порядковый номер измерения,  
  – измеренное время соударения в микросекундах,   – среднее время 
соударения. Заметим, что единицы измерения указываются (обязательно!) в отдельной (второй) строке. В третьем столбце будем указывать номер интервала при построении гистограммы. 
В последующих лабораторных работах студент может самостоятельно выбрать форму таблицы измерений (например, записывать результаты по строкам или столбцам, добавлять ячейки в таблицу для 
записи промежуточных и окончательных расчетов).  
Т а б л и ц а  1 

№ 
п/п 
i , 

6
10
c


 
Номер 
интервала

i   , 

6
10
c


 


2
i  
, 

2
12
10
c


 

Среднее СКО, 
6
10
c


 

1 
2  
3  

  
9 
10 

 
 
 
 

 

   
 

s   
 

   

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА  
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 

Многократные измерения проводятся одно за другим, последовательно. Поэтому в табл. 1 результаты упорядочены по номеру измерения (не путать с длительностью соударения  !). Нашей следующей 
задачей будет показать распределение результатов по величине. Однако 
привычный графический способ сравнения величин – нанести точки на 
числовую ось – становится не слишком наглядным, когда точек много.  
Гистограмма (пример) – графический способ представления распределения большого числа данных. Предположим, что произведено 
N  измерений времени соударения шаров, как говорят, получена выборка N  измерений (из генеральной совокупности бесконечного числа 
всех возможных результатов измерений). Среди измеренных значений 
есть 
min

 и max

. Пусть, например, 
min

= 110,6 мкс, max

= 112,0 мкс. 
Разобьем промежуток 
max
min

 
 на k  интервалов. Рекомендуется 

выбирать нечетное значение k , близкое к 
N . При 
50
N 
 возможные значения 
6
k 
, 7 или 8 . Выберем k   7. Ширина интервала  

max
min
(
) /
b
k
 
 
. 

В нашем случае b = (112,0 – 110,6) / 7 = 0,200 мкс. Следовательно, 
границами первого интервала будут 
min

 = 110,60 мкс и 
min
b


 = 
= 110,80 мкс, границами второго – 
min
b


 = 110,80 мкс и 
min
2b


 = 
= 111,00 мкс и т. д. Составим таблицу расчетов гистограммы (табл. 2). 
Здесь первый столбец – порядковый номер m  интервала от 1 до k  = 7. 
Второй и третий столбец – границы интервалов, левая и правая.  

Т а б л и ц а  2 

m 
Границы интервалов 

m
N
 
Относительная частота 

m
m
P
N
N

 
левая, 
мкс 
правая, 
мкс 

1 
110,60 
110,80
4
0,08

2  
110,80 
111,00
10
0,20

  
  




k 
min
6b


 
max

 
2 
0,04 

 

В промежуточных расчетах необходимо брать одну-две запасные 
значащие цифры по отношению к цене деления прибора. Цена деления 
микросекундомера 0,1 мкс, поэтому величину b следует округлять до 
0,001 мкс, а границы интервалов до 0,01 мкс. Именно так в табл. 2 записаны численные значения границ первого интервала. 
Подсчитаем число результатов измерений 
m
N
 из табл. 1, попавших в каждый из m  интервалов (1
7)
m


. Удобно сделать это следующим образом. Рядом с каждым результатом в табл. 1 в третьем 
столбце укажем номер интервала, в который попал данный результат. 
Если результат измерения попал точно на границу, его следует относить всегда к левому либо всегда к правому интервалу. Под это правило не будет подпадать одна точка: либо крайняя правая, либо крайняя 
левая. Однако такое единичное исключение из правила незначительно 
влияет на форму гистограммы, а с увеличением выборки это влияние 
уменьшается. Теперь число единиц в третьем столбце табл. 1 – это количество результатов, попавших в первый интервал, число двоек – во 
второй и т. д. 
Пусть, например, в первый интервал, между 
min

 и 
min
,b


 попало 4 измерения, во второй – 10 и т. д. Запишем значения 
m
N
 в четвертый столбец табл. 2. При этом необходимо проверить, что сумма всех 

m
N
 равна полному числу измерений N . Подсчитаем относительную 
частоту попадания в m-й интервал 
/
m
m
P
N
N

 для каждого интервала и запишем их все в четвертый столбец таблицы. Сумма всех частот 
равна единице: 

7
1
7
1
1
7
 
 
1
N
N
N
N
P
P
N
N
N






 . 

Мы все результаты измерений распределили по интервалам. Можно сказать, что вероятность попадания результата измерений в m-й интервал равна 
/
,
m
m
P
N
N

 а в любой из интервалов промежутка 


min
max
;  


 равна единице. Поэтому относительную частоту 
m
P  
называют эмпирической, т. е. опытной, вероятностью попадания результата измерений в m-й интервал. 
 

Построение гистограммы. По горизонтали – ось измеряемой величины  , по вертикали две оси: слева от гистограммы – ось 
m
N
 (количество измерений, попавших в m-й интервал), а справа от гистограммы – ось эмпирической вероятности 
/
m
m
P
N
N

. На рис. 2 масштабы по осям выбраны для рассмотренного выше примера гистограммы.  
 

110,60 
111,00 
111,40 
111,80 
, мкс

0 

0,08 

0,16 

0,24 

0,32 

m
P  

110,80 
111,20 
111,60 
112,00 

ПШПВ 

0 

4 

8 

12 

16 

m
N
 

 
Рис. 2 

Над каждым интервалом строим прямоугольник высотой 
m
N
 (ширина прямоугольника равна b). Гистограмма, представляющая собой 
ступенчатый график относительной частоты, наглядно показывает 
распределение результатов измерений. 
Обработка гистограммы (предварительная). Необходимо графически определить полуширину гистограммы на полувысоте (ПШПВ), 
выборочное среднее результатов измерений   и выборочное среднеквадратичное отклонение 

 . 
Для определения ПШПВ найдите на гистограмме столбец наибольшей высоты. Затем на уровне половины высоты проведите горизонтальную линию до пересечения с границами гистограммы. 
Половина этого отрезка между границами и есть полуширина на полувысоте. Определите величину ПШПВ в микросекундах по масштабу горизонтальной оси времени. Запишите это значение на миллиметровке. 
 

Выборочное среднее результатов измерений определите по формуле 

 
1
2
1
...

N

i
N
i

N
N




   
 
 




. 
(1) 

Выборочное среднеквадратичное отклонение от среднего определите через сумму квадратов отклонений результатов измерений от 
среднего значения 

 







2
2
2
2
1
2
1
...
1
1

N

i
N
i
N
N



  
  
   

 
 
 





. 
(2) 

Для трех измерений расчеты могут быть произведены на простом 
калькуляторе без математических функций. Однако для 
50
N 
 попытка расчетов по формуле (2) вручную обречена на провал. Необходимо 
использовать статистические функции инженерного калькулятора или 
вид «Статистика» программы «Калькулятор» в операционной системе 
Windows. На калькуляторе режим статистики обычно вызывается 
кнопкой «STAT» или  . В этом режиме каждое значение выборки 
набирается на клавиатуре и затем вводится кнопкой «DATA» (ДАННЫЕ), а в «Калькуляторе» Windows – кнопкой «ADD» (ДОБАВИТЬ). 
После этого осталось нажать кнопку x  и записать выборочное среднее 
значение, затем нажать кнопку 
1
n

 (или 
1
n
s  ) и записать выборочное 
среднеквадратичное значение. 

ЗАДАНИЕ К ЧАСТИ 1 ВВОДНОГО ЗАНЯТИЯ 

1. Измерить время столкновения шаров 
50
N 
 раз.  
2. Построить гистограмму результатов измерений. 
3. Обозначить полуширину на полувысоте (ПШПВ) гистограммы и 
рассчитать ее величину в масштабе оси времени. 
4. По формулам (1) и (2) рассчитать выборочные среднее   и среднеквадратичное отклонение 

 . 
5. Обозначить среднее   на горизонтальной оси времени.