Методы подобия в механике. Анализ размерностей

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

__________________________________________________________________________ 

 
 
 
 
 
 

Н.В. КРАМАРЕНКО 

 
 
 

МЕТОДЫ ПОДОБИЯ  

В МЕХАНИКЕ 

 

АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ 

 
 

Утверждено Редакционно-издательским советом университета  

в качестве учебного пособия 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

НОВОСИБИРСК 

2020 

УДК 530.17:531.111(075.8) 

К 777 

 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, профессор И.П. Олегин 
д-р техн. наук, профессор А.А. Кураев 

 

Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов  
для студентов II курса очной и IV курса заочной формы обучения 

механико-технологического факультета 

 

Крамаренко Н.В. 

К 777  
Методы подобия в механике. Анализ размерностей: учебное 

пособие / Н.В. Крамаренко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 
2020. – 212 с. 

ISBN 978-5-7782-4087-2 
Пособие написано на основе опыта чтения этого курса автором на 

механико-технологическом факультете НГТУ в течение восьми лет  
(с 2011 по 2018 год) и является продолжением ранее изданной части 
«Анализ уравнений». 

Книга предназначена для двух аудиторий: для студентов младших 

курсов бакалавриата и студентов магистратуры. Основное содержание 
написано для первой аудитории, поэтому здесь отсутствуют тяжеловесные строгие математические доказательства теорем подобия. Для 
наглядности и простоты изложения сначала приводятся примеры и 
только затем дается общая схема применения метода. Если для того, 
чтобы разобраться в теории, излагаемой в первой части, было необходимо знать курсы теоретической механики и сопротивления материалов, то для понимания материала второй части достаточно только 
школьных знаний. 

Для второй аудитории – студентов магистратуры, готовящихся к 

работе по проведению экспериментов, в книгу включены главы с историческими сведениями, обзор литературы по способам вывода критериев подобия, подробный список первоисточников и ссылки на их 
электронные копии. 

Содержание пособия нацелено на практическое применение раз
личных методов подобия в реально возникающих задачах для твердых 
тел, для жидкости и газа. Порядок рассуждений и алгоритмы действий 
при решении практических задач сопровождаются рисунками и таблицами с логическими схемами. 

 

УДК 530.17:531.111(075.8) 

ISBN 978-5-7782-4087-2 
© Крамаренко Н.В., 2020 

 
© Новосибирский государственный  

 
технический университет, 2020 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ ..................................................................................................... 7 
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................. 9 

В1. Механика ..................................................................................................... 9 
В2. Теория подобия ......................................................................................... 10 
В3. Прогнозы на основании чисел подобия .................................................. 11 
В4. Историческая справка .............................................................................. 12 
В5. О видах подобия ....................................................................................... 15 
В6. Термины .................................................................................................... 16 

1. РАЗМЕРНОСТИ ............................................................................................... 19 

1.1. Единицы измерения физических величин ............................................. 19 
1.2. Размерные и безразмерные величины .................................................... 20 
1.3. Основные и производные единицы измерения ..................................... 22 
1.4. Формула размерности .............................................................................. 23 
1.5. Системы единиц измерения .................................................................... 25 
1.6. Классы систем единиц измерения .......................................................... 27 
1.7. Пересчет в другие размерности .............................................................. 29 

2. ЧЕМ ПОЛЕЗЕН АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ (АР) ...................................... 31 

2.1. АР помогает уточнить забытую формулу .............................................. 31 
2.2. АР помогает вывести неизвестную формулу......................................... 33 
2.3. АР помогает сократить количество экспериментов .............................. 35 
2.4. АР помогает выявить скрываемую информацию .................................. 40 
2.5. Выводы по примерам ............................................................................... 44 

3. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ АНАЛИЗОМ РАЗМЕРНОСТЕЙ ......................... 45 

3.1. Три теоремы подобия ............................................................................... 45 
3.2. Примеры для обычных размерностей .................................................... 47 

3.2.1. Математический маятник ............................................................... 47 
3.2.2. Физический маятник ....................................................................... 51 
3.2.3. Движение жидкости в трубе ........................................................... 56 

3.3. Векторные размерности ........................................................................... 61 

3.3.1. Пример для векторных длин ........................................................... 62 
3.3.2. Другие векторные размерности ...................................................... 68 

3.4. Выводы по примерам ............................................................................... 70 
3.5. Общая методика определения чисел подобия ....................................... 70 

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ В СРАВНИТЕЛЬНОМ АНАЛИЗЕ  

И МОДЕЛИРОВАНИИ.................................................................................... 72 
4.1. Общая схема применения методов подобия .......................................... 72 
4.2. Общая методика сравнительного анализа .............................................. 74 
4.3. Общая методика моделирования ............................................................ 75 

5. СПОСОБЫ ВЫВОДА ЧИСЕЛ ПОДОБИЯ ИЗ АНАЛИЗА РАЗМЕР
НОСТЕЙ НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ ГРУЗА ................... 78 
5.1. Способ Р1 – комбинации переменных, или способ непосред
ственных рассуждений, или способ Бертрана ...................................... 80 

5.2. Ранние способы Р2 – Апелля, Федермана, Толмэна, Ипсена ............... 81 
5.3. Способ Р3 – преобразования формул размерностей в степенные 

комплексы ................................................................................................ 81 

5.4. Способ Р4 – частичных комплексов, или способ предваритель
ной группировки, или способ нулевых размерностей, или способ Букингема .......................................................................................... 82 

5.5. Способ Р5 – полного двустороннего комплекса, или способ Рэлея ....... 86 
5.6. Способ Р6 – полного одностороннего комплекса, или способ 

глобального критерия ............................................................................. 89 

5.7. Способ Р7 – качественного физико-математического анализа, 

или способ Морозова .............................................................................. 94 

5.8. Выводы по способам Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6, Р7...................................... 97 

6. ПРИМЕРЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ МЕХАНИКИ АБСОЛЮТНО  

ТВЕРДЫХ ТЕЛ ................................................................................................ 98 
6.1. Закон Кеплера ........................................................................................... 98 

6.1.1. Историческое введение ................................................................... 98 
6.1.2. Пример 1 – гравитационная постоянная ...................................... 100 
6.1.3. Пример 2 – период обращения планеты ...................................... 100 

6.2. Задача Галилея – падение тела .............................................................. 103 

6.2.1. Подход 1 – с учетом массы тела ................................................... 103 
6.2.2. Подход 2 – без учета массы тела .................................................. 104 
6.2.3. Подход 3 – с учетом массы и веса тела ........................................ 105 

6.2.4. Подход 4 – с учетом скорости тела .............................................. 107 
6.2.5. Выводы по примеру ....................................................................... 109 

7. ПРИМЕРЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ 

ТВЕРДЫХ ТЕЛ .............................................................................................. 110 
7.1. Статическая жесткость и прочность ..................................................... 110 

7.1.1. Задача 1 – общие условия подобия .............................................. 110 
7.1.2. Задача 2 – подобие напряжений ................................................... 117 
7.1.3. Задача 3 – подобие деформаций ................................................... 120 
7.1.4. Выводы по примеру (задачи 1, 2, 3) ............................................. 124 
7.1.5. Добавление из сопротивления материалов ................................. 125 

7.2. Статический изгиб балки ....................................................................... 126 

7.2.1. Подход 1 – класс размерностей LMT ........................................... 128 
7.2.2. Подход 2 – класс размерностей LF .............................................. 133 
7.2.3. Подход 3 – класс векторных размерностей LxLyF ....................... 135 
7.2.4. Подход 4 – класс векторных размерностей LxLyLzFϴ  

для поворота ................................................................................... 138 

7.2.5. Подход 5 – класс векторных размерностей LxLyLzFϴ  

для прогиба .................................................................................... 141 

7.3. Удар ......................................................................................................... 144 

8. ПРИМЕРЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ ...... 150 

8.1. Движение жидкости в трубе .................................................................. 150 
8.2. Движение жидкости через водослив .................................................... 157 
8.3. Обтекание тела газом или невесомой жидкостью ............................... 159 

8.3.1. Вывод критериального уравнения ............................................... 159 
8.3.2. Алгоритм проведения экспериментов ......................................... 162 
8.3.3. Добавление из аэродинамики ....................................................... 163 

8.4. Движение корабля с учетом волнообразования .................................. 164 

8.4.1. Частичное моделирование без учета вязкости жидкости .......... 164 
8.4.2. Полное моделирование с учетом вязкости жидкости ................ 167 
8.4.3. Удешевление экспериментов ........................................................ 170 

9. ПРИМЕРЫ ПОДОБИЯ РАЗНЫЕ .................................................................. 172 

9.1. Опоздание студента ............................................................................... 172 
9.2. Крупные перевозки дешевле ................................................................. 175 

9.2.1. Перевозки судами .......................................................................... 175 

9.2.2. Перевозки самолетами .................................................................. 180 
9.2.3. Размеры двигателей ....................................................................... 181 

9.3. Парадокс Рябушинского ........................................................................ 181 

10. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО СПОСОБАМ ВЫВОДА ЧИСЕЛ  

ПОДОБИЯ ИЗ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ ........................................... 185 
10.1. Способ Р1 – комбинации переменных, или непосредственных 

рассуждений, или способ Бертрана .................................................... 185 

10.2. Ранние способы Р2 ............................................................................... 186 
10.3. Способ Р3 – преобразования формул размерностей в степенные 

комплексы ............................................................................................. 187 

10.4. Способ Р4 – частичных комплексов, или способ предварительной 

группировки, или способ нулевых размерностей, или способ 
Букингема ............................................................................................. 187 

10.5. Способ Р5 – полного двустороннего комплекса, или способ Рэлея ..... 188 
10.6. Способ Р6 – полного одностороннего комплекса, или способ 

глобального критерия .......................................................................... 189 

10.7. Способ Р7 – качественного физико-математического анализа, 

или способ Морозова ........................................................................... 190 

Выводы ........................................................................................................... 190 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................... 192 

З1. Общая схема применения методов подобия ......................................... 192 
З2. Достоинства анализа размерностей ....................................................... 192 
З3. Недостатки анализа размерностей ......................................................... 193 
З4. Сопоставление анализа размерностей и анализа уравнений ............... 194 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................... 195 
Приложение 1. Термины и определения ........................................................... 200 
Приложение 2. Десятичные приставки ............................................................. 203 
Приложение 3. Система единиц измерения СИ ............................................... 204 
Приложение 4. Рисунки к законам Кеплера ..................................................... 210 
 

 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
Учебное пособие «Методы подобия в механике» предполагается 

издать в трех частях: анализ уравнений, анализ размерностей, практикум. Первая часть уже издана [42], настоящее издание является второй 
частью пособия. Оно написано на основании опыта чтения этого курса 
автором на механико-технологическом факультете НГТУ в течение 
восьми лет – с 2011 по 2018 год.  

Книга предназначена для двух аудиторий – для студентов младших 

курсов бакалавриата и для студентов магистратуры. Основное содержание написано для первой группы, поэтому здесь отсутствуют тяжеловесные строгие математические доказательства теорем подобия.  
Для наглядности и простоты изложения сначала приводятся примеры, 
и только затем дается общая схема применения метода. Если для того, 
чтобы разобраться в теории, излагаемой в первой части [42], было 
необходимо иметь знания курсов теоретической механики и сопротивления материалов, то для понимания материала второй части достаточно только школьных знаний.  

Для второй аудитории – студентов магистратуры, готовящихся  

к работе по проведению экспериментов, в книгу включены главы с историческими сведениями, обзор литературы по способам вывода критериев подобия, подробный список первоисточников и ссылки на их 
электронные копии. 

О желательности преподавания теории подобия для студентов тех
нических специальностей говорится уже давно. В 1979 году на Всесоюзном совещании-семинаре заведующих кафедрами механики вузов 
страны Л.Г. Лойцянский в своем докладе [47] отмечал «важность введения в преподаваемые курсы теоретической механики хотя бы элементарных сведений о подобии и размерности». При этом он говорил, 
что ранее «в курсах теоретической механики, не говоря уже о замечательных хрестоматийных “Беседах о механике” В.Л. Кирпичёва, вопросы подобия и размерности в том или другом объеме освещались. 

Это имело место в конце первого тома классического курса Апелля,  
в конце второго тома “Основного курса” Н.Н. Бухгольца, в одном из 
изданий курса Л.Г. Лойцянского и А.И. Лурье, в курсах Вебстера, Каббана и др. В новых учебниках вопросы подобия и размерностей, к сожалению, выпали». В 1998 году такую же мысль высказывал И.Ш. Коган [37]: «Основы теории подобия следует излагать перед началом 
изучения технических дисциплин, с тем чтобы применять полученные 
знания при изучении каждой из них». 

В настоящем пособии упоминаются литературные источники раз
ных годов издания, в том числе и такие, которые трудно найти. Для заинтересованных читателей отметим, что доступ ко многим классическим источникам по теории подобия можно получить на веб-странице [50] по адресу http://gidropraktikum.narod.ru/pi-theorem-history.htm. 

 
<К ОГЛАВЛЕНИЮ> 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Перед обсуждением частных вопросов необходимо дать общие 

определения того, что такое механика, подобие, дать историческую 
справку об истории появления теории подобия, определить основные 
термины. Эти вопросы уже обсуждались во введении к первой части 
издания [42]. Здесь приведем краткое упоминание тех рассуждений  
и необходимые дополнения. 

В1. МЕХАНИКА 

Механика (рис. В1) – это раздел физики. В соответствии с агрегат
ными состояниями вещества механика подразделяется на механику 
твердых тел, механику жидкости, газа и плазмы. Поэтому здесь будем 
рассматривать применение понятия подобия к задачам как для твердых 
тел, так и для жидкостей и для газа. 

Механика абсолютно твердых тел (МАТТ) называется теоретиче
ской механикой (сокращенно – термех). Механика деформируемых 
твердых тел (МДТТ) состоит из нескольких дисциплин, из которых 
базовая – сопротивление материалов (на языке инженеров – сопромат). 
При выводе основных математических соотношений в сопромате используются формулы из термеха. Точно так же базовые понятия  
и формулы термеха используются в механике жидкости, газа и плазмы. 

На теоремах и формулах, выведенных в термехе и сопромате, бази
руются прикладные дисциплины, такие как теория механизмов и машин (ТММ), детали машин (ДМ) и другие. Блок из четырех дисциплин – термех, сопромат, ТММ, ДМ – объединяют общим названием 
«механика», которую изучают в вузе студенты младших курсов машиностроительных специальностей. Иногда последние три дисциплины, в 
отличие от теоретической механики, объединяют названием «прикладная механика». 

Студенты старших курсов изучают профессиональные дисциплины 

механики: 

 для деформируемых твердых тел такие предметы, как теории 

упругости, пластичности; 

 для механики жидкости – гидродинамика, гидравлика; 
 для механики газа – аэродинамика, аэромеханика. 
Все эти дисциплины относятся к одному разделу физики – к меха
нике, и во всех этих дисциплинах применяются методы подобия. 

 

 

Рис. В1. Механика и теория подобия как разделы физики 

<К ОГЛАВЛЕНИЮ> 

В2. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ 

Теория подобия относится к общефизическим дисциплинам и свя
зывает математический и экспериментальный разделы физики (рис. В1). 
Она находит применение не только в механике, но и в других физических науках: в электродинамике, теплофизике и т. п. В настоящем издании приводятся примеры только для механических задач. 

В литературе используются термины методы подобия и теория 

подобия. Какой более правильный?  

С общефизической точки зрения теорией можно называть такой 

раздел физики, в котором изучаются те или иные реальные физические 
процессы, происходящие с веществом или полем. Поэтому с таких позиций правильнее говорить методы подобия в той или иной физической теории по аналогии с названиями других методов, например, численные методы, вариационные методы, методы оптимизации. 

С математической точки зрения все методы решения физических 

задач имеют свою теорию, и с этих позиций естественно говорить 
теория подобия. В настоящем издании будем употреблять оба термина. 

Кроме того, в литературе используются термины «методы (теория) 

подобия и размерностей» или «методы (теория) подобия и анализ размерностей». В обоих случаях теория подобия противопоставляется 
анализу размерностей. Такое противопоставление может сформировать неправильное понимание предмета. Для целостного восприятия 
методов подобия в этом издании вместо термина «теория подобия» 
используется термин «анализ уравнений». Таким образом, теория подобия разделяется на два направления: 

 анализ уравнений; 
 анализ размерностей. 
Такая терминология не нова, она встречается, например, в работах 

[33, с. 90; 44, введение]. Добавим, что в [44] термины «теория» и «методы» подобия заменены единым термином «анализ» подобия. 

Анализу уравнений посвящено пособие [42], анализ размерностей 

рассмотрен в настоящем издании. 

<К ОГЛАВЛЕНИЮ> 

В3. ПРОГНОЗЫ НА ОСНОВАНИИ ЧИСЕЛ ПОДОБИЯ 

Оба метода – и анализ размерностей, и анализ уравнений – приме
няются лишь для получения чисел подобия π. Дальнейшая работа  
с числами подобия не зависит от того, каким методом они получены.  
В пособии [42] было показано, что, зная одно или несколько чисел подобия π, можно проделать (рис. В2) следующее: 

 либо качественный прогноз параметров задачи через сравни
тельный анализ, 

 либо количественный прогноз через моделирование (экспери
мент).  

 

 

Рис. В2. Место теории подобия и размерностей (ТПР) в сравнительном  

анализе и моделировании 

<К ОГЛАВЛЕНИЮ> 

В4. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 

Краткая историческая справка о появлении теории подобия приве
дена в пособии [42]. Здесь сделаем некоторые добавления по истории 
появления анализа размерностей, опираясь на сведения, приведенные  
в [31, 44, 64, 69, 72]. 

Основы – Ньютон и Фурье 
Как отмечает Г. Хантли [69], метод размерностей, или анализ 

размерностей, основан на принципе, предложенном Ньютоном в его 
«Началах» [87] в 1687 году. Это «принцип подобия». Он был исполь

зован Ньютоном в период разработки основ механики как фундаментальной науки. В системе Ньютона четко выделены три физические 
категории: длина, инерция (масса) и время, которые рассматривались 
как основные и независимые. Они до сих пор считаются первичными 
понятиями, и никакими философскими рассуждениями не удалось 
доказать, что одна из величин зависит от любой из двух других.  
На основе немногих простых принципов, четко сформулированных 
Ньютоном (например, тех, которые воплощены в его законах движения), были получены уравнения, описывающие поведение материальных частиц или тел при действии на них системы внутренних или 
внешних сил. Именно для таких уравнений Ньютон применил «принцип подобия». Этот принцип можно пояснить с помощью простого 
примера. Уравнение 

2
2 F
v
s
m



 




 

определяет конечную скорость тела  v  с массой  m,  перемещающегося 
прямолинейно из состояния покоя на расстояние  s  под действием постоянной силы  F.  Если имеется ряд тел с различными массами и одинаковым отношением F / m, то в этом случае принцип подобия утверждает, что отношение 
2 /
v
s  также одинаково для всех тел. Или, дру
гими словами, если конечные скорости, приобретаемые телами с различной массой на одинаковых расстояниях, равны, то действующие на 
них силы прямо пропорциональны их массам. Ньютон часто использовал принцип подобия. По-видимому, это было первое применение метода размерностей. 

Более ста лет спустя после Ньютона теория размерностей иссле
довалась Фурье в его классической работе «Аналитическая теория 
теплоты» [81], опубликованной в 1822 году. Фурье ввел два понятия, которые имеют важнейшее значение в современной теории 
размерностей. Первое является понятием того, что в настоящее время называется «формулой размерности», а второе соответствует 
«однородности по размерностям» уравнений физики. Хотя исторически метод размерностей был развит вначале применительно к 
изучению проблем теплопередачи, позднее он гораздо более широко 
использовался при решении задач механики, в частности динамики 
и гидродинамики.  

Эксперименты 
Основным применением анализа размерностей является определе
ние необходимости в постановке того или иного эксперимента при 
планировании всех экспериментов, так как в ряде случаев эксперименты оказываются ненужными, и информация, которую они могли бы 
дать, выявляется уже на основании априорных выкладок. В 1910-х годах, когда складывалась теория подобия, такой подход не привлек  
достаточного внимания со стороны физиков. Известно высказывание 
Рэлея (1915) по этому поводу [88]: «Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия 
даже со стороны весьма крупных ученых. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как вновь открытые “законы”, которые тем не менее можно было получить априорно  
в течение нескольких минут». 

Благодаря работам Рэлея, Букингема [78], Бриджмена [12] анализ 

размерностей в 1910–1920-х годах получил дальнейшее развитие. Постепенно он стал основным методом при планировании экспериментов, в частности как способ объединения нескольких переменных эксперимента в одну. Шенк [72] отмечает, что с 1920-х годов «анализ 
размерностей применялся главным образом при проведении экспериментов в таких областях, как гидромеханика и теплотехника. Почти 
все крупные эксперименты в этих областях проводились с применением данного метода». В настоящее время считается, что теория подобия 
является основой эксперимента [31]. 

Обучение 
Как отмечает Шенк [72], «анализ размерностей стали включать  

в программы технических учебных заведений, и постепенно он утратил свое первоначальное назначение. Часто анализ размерностей  
рассматривался не как принцип, с помощью которого можно существенно усовершенствовать методику работы, а как педагогический 
прием».  

Существенное значение для дальнейшего развития представлений 

о физическом подобии имело установление связи в форме Пи-теоремы между максимально возможным числом безразмерных комплексов и числом размерных величин, из которых они составлены. 
Исторический обзор становления Пи-теоремы содержится в статье 
Гёртлера [82].