Линейная задача об ударной волне

МОНОГРАФИИ НГТУ


Серия основана в 2001 году

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ СЕРИИ «МОНОГРАФИИ НГТУ»



   д-р техн. наук, проф. (председатель) А.А. Батаев
   д-р техн. наук, проф. (зам. председателя) А.Г. Вострецов
   д-р техн. наук, проф. (отв. секретарь) В.Н. Васюков

   д-р техн. наук, проф. А.А. Воевода
   д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Дмитриев
   д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Дубровский
   д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев
   д-р физ.-мат. наук, проф. О.В. Кибис
   д-р социол. наук, проф. Л.А. Осьмук
   д-р техн. наук, проф. Н.В. Пустовой
   д-р техн. наук, проф. Г.И. Расторгуев
   д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Селезнев
   д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик
   д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор
   д-р техн. наук, доц. В.С. Тимофеев
   д-р техн. наук, проф. А.Г. Фишов
   д-р экон. наук, проф. М.В. Хайруллина
   д-р техн. наук, проф. В.А. Хрусталев
   д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко

Е. В. СЕМЕНКО, Т. И. СЕМЕНКО




ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ОБ УДАРНОЙ ВОАНЕ








НОВОСИБИРСК

2020

УДК 533.6.011.72:51
   С 301

Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор А. М. Блохин д-р физ.-мат. наук, профессор В. А. Селезнев

         Семенко Е.В., Семенко Т.И.
С 301 Линейная задача об ударной волне:
         монография / Е.В.Семенко, Т.И.Семенко. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. - 256 с. - (Серия "Монографии НГТУ").
           ISBN 978-5-7782-4205-0
           Монография посвящена линейной задаче о возмущениях ударной волны. Эта задача имеет долгую историю и может считаться классической. В данной работе предлагается сравнительно новый метод построения решения задачи, в основе которого лежит применение преобразования Фурье сразу по всем переменным. Это преобразование переводит задачу в алгебраическую, что позволяет выписать решение задачи в явном виде, проанализировать с помощью современных математических методов его структуру, качествнные свойства, уточнить некоторые известные результаты теории ударных волн и получить новые результаты.
            Монография предназначена для специалистов, аспирантов, докторантов, студентов, которые интересуются современными методами математической физики и их приложениями в гидро-и аэродинамике.

                                            УДК 533.6.011.72:51



ISBN 978-5-7782-4205-0

      (с) Семенко Е.В., Семенко Т.И., 2020 © Новосибирский государственный технический университет, 2020

      Е. V. SEMENKO, Т. I. SEMENKO





LINEAR PROBLEM
   OF SHOCK WAVE









NOVOSIBIRSK

2020

УДК 533.6.011.72:51
    С 301

Reviewers:
Professor А. М. Blokhin
Professor V. A. Selesnev

       Semenko E.V., Semenko T.I.
C 301 Linear problem of shock wave:
       monograph / E.V.Semenko, T.I.Semenko. - Novosibirsk:

          NSTU Publishers, 2020. - 256 p. - ("NSTU Monographs" series).
            ISBN 978-5-7782-4205-0

             The monograph is devoted to the linear problem of shock wave disturbances. This problem has a long history and may be considered as classical. The relatively new method of the construction of the problem’s solution is suggested in this work. The basis of this method is the Fourier transform use with respect to all variables at once. This transform converts the problem to the algebraic one, what allows to write out the solution explicitly, analyze its structure with the help of modern mathematical methods, clarify some known results of shock wave theory and obtain some new results.
              The monograph is intended for the specialists, post-graduate students, doctoral students and students, which are interested in modern methods of mathematical physics and their applications in hydro- and aerodynamics.



                                              УДК 533.6.011.72:51



ISBN 978-5-7782-4205-0     © Semenko E.V., Semenko T.I., 2020
                           © Novosibirsk state technical university, 2020

                Введение





   Монография посвящена линейной задаче о возмущениях ударной волны. Рассматривается распространение малых возмущений гидродинамических величин и малых деформаций фронта ударной волны по отношению к основному течению. В исходной нелинейной задаче искомые гидродинамические величины связаны обычными функциональными соотношениями (уравнениями состояния), подчиняются уравнениям Эйлера в области течения и условиям Рен-кина-Гюгонио на поверхности разрыва. Линейная задача возникает после линеаризации исходной нелинейной задачи на основном решении. В качестве основного течения (основного, или невозмущенного, решения) выступают кусочно-постоянные величины, и поверхность их разрыва (основной, или невозмущенный, фронт) - это плоскость x = 0. Эта задача имеет долгую историю и может считаться классической, мы отсылаем читателя к общеизвестной монографии [1].
   В истории изучения проблемы условно можно выделить два направления. Первое направление - это изучение важных классов частных решений задачи, причем обычно рассматриваются решения в виде плоских волн, в частности - для изучения преломления и отражения. Данное направление представлено в пионерских работах [2, 3] и [4], достаточно полное описание и подробное исследование преломления и отражения может быть найдено в статье [5], в более поздних публикациях [6]—[14] и во многих других работах.
   Второе направление - это решение начальной задачи, то есть задачи с заданными значениями искомых величин в момент времени t = 0. В качестве основных источников можно указать публикации


7

ВВЕДЕНИЕ

[15] - [22], и этот список далеко не полон. На этом пути, в частности, было выяснено, что решение началвной задачи единственно, и задание начальных значений является самым простым и естественным способом параметризации общего решения задачи.
   Работы, связанные с решением началвной задачи, отличаются многими важными деталями, но между ними еств болвшое сходство, которое состоит в том, что они исполвзуют аналогичные методы исследования, а именно: выполняется преобразование Фурве по тангенциальным по отношению к фронту ударной волны переменным и преобразование Лапласа по времени, а затем решается оставшаяся система дифференциальных уравнений с единственной переменной, нормальной к ударной волне. Для возмущения фронта ударной волны получается алгебраическое линейное уравнение, которое по существу одинаково во всех работах с точностью до обозначений (в настоящей работе это уравнение (2.75) из и. 2.4 главы 2). Специфическим свойством решения этого линейного уравнения является наличие или отсутствие особенностей в области аналитичности, что разделяет так называемые случаи устойчивости, неустойчивости и промежуточный случай - неустойчивости по Дьякову-Конторовичу, или, в современной терминологии, случай нейтральной устойчивости. Само решение при таком подходе выписывается в довольно асимметричной форме как по отношению к различным переменным, так и по отношению к областям перед фронтом/за фронтом ударной волны. Эта асимметрия, а особенно - необходимость решения системы дифференциальных уравнений, существенно затрудняют анализ решения задачи. В частности, поэтому здесь не рассматривается естественное разложение решения на сумму акустической и энтропийно-вихревой волн и, более того, - на падающие и преломленные и/или отраженные волны. Это - отдельная и, видимо, сложная задача для применяемых методов.
   С другой стороны, если рассматривать только частные решения в виде плоских волн, то разложение решения на акустические и энтропийно-вихревые и на падающие и преломленные и/или отраженные волны не является проблемой, и все сводится только к алгебраическим вычислениям. На этом пути впервые были разд ел е

8

ВВЕДЕНИЕ

ны случаи устойчивости, неустойчивости и нейтралвной устойчивости (впервые это сделано в [2], затем классификация неоднократно уточняласв), а также была подробно исследована проблема преломления и отражения волн (см. [3] - [14]). Однако если рассматриватв толвко частные решения конкретного вида, то некоторые важные решения задачи или составные части решений могут быть упущены, что может привести к некоторым ошибкам или недоразумениям, в частности - к парадоксам в линейной теории, к которым относятся, например, случаи так называемого аномалвного усиления при преломлении или же случаи спонтанного излучения волн фронтом [2], [3], [7], [11], [12], [14]?
   Отделвно следует отметитв внесшие значительный вклад в теорию ударных волн работы [23] - [28]. В частности, в [23, 24] впервые полно и подробно исследовалась устойчивость задачи. Кроме этого, в работах [25] - [28], посвященных несколько иной задаче, а именно -так называемой задаче об обтекании клина, впервые использовалась идея построения точного решения линейной задачи и на этой основе исследования ее свойств. Аналогичная идея положена в основу настоящей работы.
   Ряд статей посвящен исходной нелинейной задаче, например -[29, 30], и этот список также далеко не окончателен. Поскольку нелинейная задача намного сложнее линейной, результаты здесь менее глобальны. Как правило, все выводы о свойствах решения основаны на анализе ударной адиабаты Гюгонио. На этом пути были проверены и перепроверены условия устойчивости/неустойчивости/нейтра-льной устойчивости и проанализированы случаи неустойчивости и нейтральной устойчивости. Общие результаты этих работ можно суммировать следующим образом: в случае неустойчивости не наблюдается экспоненциального роста решения по времени, как предсказывает линейная теория, но ударная волна распадается на несколько различных волн (линейная теория не предвидит никакого расщепления); в случае нейтральной устойчивости причиной парадокса со спонтанным излучением предполагается то, что источником спонтанного излучения являются возмущения второго порядка малости, которыми линейная теория пренебрегает. В настоящей ра

9

ВВЕДЕНИЕ

боте показано, что источник спонтанного излучения вполне может быть описан в рамках линейной теории.
   Наконец, стоит отметить публикации [31, 32, 33], посвященные экспериментальным или численным исследованиям задачи. В работе [31] подтверждаются предсказания линейной теории о спонтанном излучении; в работе [33] расщепление ударной волны в случае неустойчивости исследовано численно, и выводы в целом подтверждают результаты [29, 30].
   Настоящая работа основана на результатах, полученных авторами в работах [34, 35, 36, 37, 38, 39]. В них мы предлагаем метод решения линейной задачи об ударной волне, объединяющий оба указанных подхода: анализ частных решений в виде плоских волн и решение начальной задачи. В общем, это довольно обычный метод решения уравнений в частных производных с помощью преобразования Фурье. Главная особенность заключается в том, что преобразование Фурье применяется по всем переменным. Это "общее" преобразование Фурье сразу переводит задачу в алгебраическую, что позволяет выписать решение задачи, то есть возмущение фронта, волны до фронта и волны за фронтом, в явном и строго алгебраическом виде, причем в достаточно несложных выражениях. Это, в свою очередь, создает дополнительные возможности для анализа решения.
   Полученные алгебраические (в спектральных переменных) формулы позволяют сразу выделить в решении особые члены (например, плоские волны) и регулярные члены, то есть затухающие волны. Кроме того, мы получаем абсолютно естественный способ разложить любое решение в сумму акустических, энтропийных и вихревых волн, а также в сумму падающих и преломленных и/или отраженных волн. При этом мы можем проанализировать полученные слагаемые отдельно или в любой комбинации. Таким образом, мы можем рассмотреть преломление или отражение либо для решений в общем виде, что ранее не было проделано, либо только для плоских волн. Кроме того, поскольку имеется явное представление любого решения, то "не теряются" какие-либо важные его составляющие, когда описываются свойства решения. Это дает возможность иссле

10