Механика управляемого движения объектов

Москва 

ИНФРА-М 

2022

МЕХАНИКА 

УПРАВЛЯЕМОГО 

ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ

А.И. БОХОНСКИЙ 
Н.И. ВАРМИНСКАЯ 
Т.В. МОЗОЛЕВСКАЯ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЧЕРНОМОРСКОЕ ВЫСШЕЕ  
ВОЕННО-МОРСКОЕ УЧИЛИЩЕ  
ИМЕНИ П.С. НАХИМОВА

УДК 531.1(075.4)
ББК 22.2
 
Б86

Бохонский А.И.

Б86 
 
Механика управляемого движения объектов : учебное пособие / 

А.И. Бохонский, Н.И. Варминская, Т.В. Мозолевская. — Москва : 
ИНФРА-М, 2022. — 170 с. — (Военное образование).

ISBN 978-5-16-015464-0 (print)
ISBN 978-5-16-107910-2 (online)

Учебное пособие состоит из шести глав и приложений. В пособии приве
дены примеры решений полных обратных задач вариационного исчисления, 
их приложения к манипуляторам, показана методическая актуальность межпредметных связей при постановке новых задач исследований и их решений.

Цель учебного пособия — предложить  читателям интересные задачи, акти
визирующие желание способных  студентов и курсантов участвовать  в научных 
исследованиях и конференциях, привлечь внимание преподавателей к постановке 
новых актуальных задач техники.

Для курсантов и студентов дневной и заочной форм обучения ЧВВМУ 

имени П.С. Нахимова.

УДК 531.1(075.4)

ББК 22.2

А в т о р ы :

А.И. Бохонский, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры 

физики и общетехнических дисциплин Черноморского высшего военно-морского училища имени П.С. Нахимова;

Н.И. Варминская, кандидат технических наук, заведующий кафедрой физи
ки и общетехнических дисциплин Черноморского высшего военно-морского 
училища имени П.С. Нахимова;

Т.В. Мозолевская, кандидат технических наук, профессор кафедры физики 

и общетехнических дисциплин Черноморского высшего военно-морского училища имени П.С. Нахимова

Р е ц е н з е н т ы:

Э.Ф. Бабуров, доктор технических наук, профессор;
С.М. Братан, доктор технических наук, профессор;
Ю.К. Фисун, кандидат технических наук, доцент

Т е х н и ч е с к и й  р е д а к т о р :

С.В. Леонтьева

ISBN 978-5-16-015464-0 (print)
ISBN 978-5-16-107910-2 (online)

© Черноморское высшее военно-морское 

училище имени П.С. Нахимова, 2021

Данная книга доступна в цветном  исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium

Список основных обозначений

Se — перемещение объекта в переносном движении;
Ve — переносная скорость;
Ue — переносное ускорение (управление);
ПМП — принцип максимума Понтрягина;
РПО — реверсионный принцип оптимальности;
δi — параметр варьирования функции;
H — Гамильтониан.
Определение.Кососимметричным управлением пере
носным движением объекта на интервале Т ≥ t ≥ 0 названа 
функция ускорения Ue(t), подчиненная условиям

2

0
2

( )
( )
,
(0)
( ) .

T
T

e
e
e
e

T

U
t dt
U
t dt
U
U
T
= −
=
∫
∫

Реверсионный принцип оптимальности (РПО) для пере
носного движения упругих объектов означает, что аналитической кососимметричной функции переносного ускорения 
Ue(t) соответствует уравнение Эйлера — Пуассона 

2

2
...
0
e
e
e
U
U
U

d
d
F
F
F
dt
dt

−
+
+
=
восстанавливаемого функционала — 

критерия 

0

(
,
,
, ...)
,

T

e
e
e
F U
U
U
dt
∫
принимающего за приемлемое ми
нимально возможное время T, определяемое из моментных 
соотношений в относительном движении упругого объекта, 
стационарное значение.

Введение

Главной целью учебного пособия является привлечение 

внимания к разработке моделей и алгоритмов оптимального 
управления движением объектов военной техники как абсолютно твердых и деформируемых тел и систем.

Материалы учебного пособия включают: аналитический 

обзор применения методов вариационного исчисления, 
принципа максимума Понтрягина (ПМП), аналитическое 
конструирование регуляторов, реверсионный принцип оптимальности (РПО) для решения актуальных задач оптимального управления движением объектов техники; решение задач 
динамики полета, оптимального управления преследованием 
и встречи объектов в воздушном пространстве и в морской 
среде; оптимальное переносное движение упругих объектов 
и систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы, 
оптимальное вращение длинного ствола (постоянной и переменной изгибной жесткости) длинноствольной артиллерийской установки.

Математическое моделирование предполагает оценку аде
кватности и достоверности моделей. На примерах показан 
синтез законов оптимального управления движением объектов. Предполагается использование результатов в учебном 
процессе кафедр ФиОТД, ИТ, РВНК, РАВ (БРАВ), особенно 
при выборе и обосновании тем исследований научного общества курсантов и студентов.

Привлекаются методы теории оптимального управления, 

современные компьютерные технологии, позволяющие создать модели оптимального управления движением объектов, 
повысить достоверность расчетов, выявить новые свойства 
и закономерности поведения объектов как абсолютно твердых 
и деформируемых тел.

Основными задачами оптимального управления летатель
ными аппаратами [1] являются: программирование экстре

Механика управляемого движения объектов

мальных траекторий движения центра масс аппарата; синтез 
регуляторов для обеспечения устойчивости движения по экстремальной траектории. Как известно, для решения таких 
задач применяется принцип максимума Понтрягина, динамическое программирование Беллмана, классическое вариационное исчисление.

При решении вариационных задач программирования оп
тимальных траекторий обычно для описания движения используются обыкновенные дифференциальные уравнения, 
записанные в форме Коши, формируются граничные условия 
и функционал как критерий оптимальности. Известны решения вариационным методом задачи продольного движения 
самолета и приземления космического корабля. С использованием принципа максимума Понтрягина решены актуальные 
задачи: полет беспилотного самолета на максимальную дальность, задача мягкой посадки на корабль, подъем ракеты на заданную высоту и другие.

К интересным по содержанию задачам можно отнести: за
пуск искусственного спутника Земли, встреча космического 
корабля со спутником, экстремальные управления и оптимальный маневр самолетом.

Динамическое программирование используется при ре
шении ряда задач о преследовании. Для стабилизации движения летательных аппаратов по экстремальной траектории 
эффективно использовалась теория аналитического конструирования регуляторов.

Задачи о встрече движений основаны на привлечении 

теории дифференциальных игр [2]. К наиболее характерным 
постановкам задач данного типа относятся: конфликтная задача о сближении, экстремальное прицеливание, сближение 
однотипных объектов, задача наведения, оптимальное преследование и уклонение, задача об обобщенном экстремальном 
управлении.

В работах [3, 4] приведены решения следующих задач: 

оптимальное управление движением материальной точки 

Бохонский А.И., Варминская Н.И., Мозолевская Т.В.

под действием реактивной силы, использование автопилота 
для посадки самолета по глиссаде и др. В [5] решены задачи 
плоского движения тела переменной массы, задачи о вертикальном подъеме ракеты и ракеты-зонда.
В последних исследованиях [6, 7, 42, 43] в общем виде сформулирован реверсионный принцип оптимальности (РПО), 
на основании которого найден широкий класс кососимметричных оптимальных управлений переносным движением 
упругих систем с конечным и бесконечным числом степеней 
свободы. Конструирование управлений переносным движением объектов с учетом цели и естественных ограничений 
приводит, в конечном счете, к восстановлению функционала 
как критерия, принимающего за минимально возможное 
время движения стационарное значение. Стратегия поиска 
управлений в соответствии с предполагаемыми свойствами 
и целью движения может приводить к появлению функционалов, отражающих в определенном смысле достигнутую оптимальность решения (решение полных обратных задач вариационного исчисления, от функции к функционалу, названо 
реверсионным исчислением).
Выявлены и исследованы аналитические функции оптимальных (по быстродействию) кососимметричных ускорений для реализации переносного движения деформируемых объектов из исходного в конечное состояние покоя 
[6, 43]. Пакеты систем автоматических вычислений (САВ) 
фирмы WaterlooMapleInc (Канада) позволяют без привлечения больших коллективов осуществлять сложные аналитические и численные эксперименты, решать актуальные задачи 
анализа и синтеза с использованием методов теории оптимального управления. Развитие САВ привело к пересмотру 
предпочтений в методах поиска решений трудоемких задач, 
к возрастанию интереса к обратным задачам вариационного 
исчисления.
Оптимальному управлению движением и колебаниями 
систем посвящены монографии А.Г. Бутковского, Ф.Л. Чер

Механика управляемого движения объектов

ноусько, В.А. Троицкого, И.А. Карновского, Ю.М. Почтмана, 
Р.Н. Фурунжиева [16, 32, 39] и других.
Продолжают вызывать интерес задачи снижения колебаний упругих объектов при их оптимальном (в смысле быстродействия) перемещении в конечное состояние абсолютного 
либо относительного покоя.
Представляют теоретический и практический интерес 
дальнейшие исследования применения аппарата обратных 
задач вариационного исчисления для поиска управлений. Появляется множество приемов восстановления функционалов 
по заданным функциям, а также возникает необходимость 
в интерпретации полученных функционалов. Таким образом, 
расширяется множество функционалов как критериев оптимальности конструируемого движения систем.
В учебном пособии осуществляется попытка привлечения 
внимания курсантов, студентов и преподавателей к постановке и решению новых актуальных задач управления движением объектов в тесном единстве методов классической механики и теории оптимального управления.
Авторы благодарят рецензентов доктора технических наук, 
профессора Э.Ф. Бабурова, доктора технических наук, профессора С.М. Братана и кандидата технических наук, доцента 
Ю.К. Фисуна за критические замечания и советы, способствовавшие улучшению содержания учебного пособия. Благодарим также аспиранта А.И. Рыжкова за непосредственное 
участие в решении новых задач оптимального управления 
движением упругих объектов.
Особая благодарность сотрудникам «ИНФРА-М» за плодо творную помощь в подготовке рукописи к изданию.

Глава 1 

ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО 

ИСЧИСЛЕНИЯ

1.1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 
КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Основы вариационного исчисления изложены в класси
ческих трудах [11–15, 20–26].

По легенде начало вариационного исчисления связано 

с появлением задачи Дидо, просившей участок земли, который 
охватит шкурой вола. Этапы развития: принцип геометрической оптики Ферма (1660 г.) (
min,
vds =
∫
 где v — скорость 

света); П. Мопертьюи распространил принцип Ферма на механическое движение (1747 г.), назвав его «принципом наименьшего действия»; Л. Эйлер и Ж. Лагранж использовали 

вариацию функционала 

2

1
2
0,

t

t

Tdt
δ
=
∫
 δ — символ вариации 

(введен Ж. Лагранжем); И. Бернулли (1696 г.) — сформулировал задачу о брахистохроне, которая привела к развитию 
вариационного исчисления. Термин «вариация» ввел Л. Эйлер 
(1764 г.) в книге «Основы вариационного исчисления».

Ж. Лагранж издал «Аналитическую механику» (1788 г.). 

Принцип Гамильтона установлен в 1834 г. Принцип Гамильтона — Остроградского появился в 1848 г.

Интерес к классическому вариационному исчислению ес
тественен в связи с 300-летием со дня рождения выдающего 
математика и механика Леонарда Эйлера (15 апреля 2007 г.), 
одного из основоположников вариационного исчисления: 
«Строение изохорных кривых в сопротивляющейся среде» 
(1726 г.); «О кратчайшей линии на произвольной поверхности, 

Механика управляемого движения объектов

соединяющей две произвольные точки» (1728 г.); «Основы вариационного исчисления».

И. Ньютон ставил задачи, близкие к вариационному исчи
слению, например, «выбор формы корпуса корабля, которая 
обеспечивала бы наименьшее сопротивление воды».

Задача И. Бернулли о брахистохроне сыграла важную роль 

в становлении вариационного исчисления. Формулировка 
задачи: среди всех линий, соединяющих две заданные точки, 
найти кривую, двигаясь по которой под действием силы тяжести материальное тело прошло бы путь между этими точками за кратчайшее время. Эту задачу решили: Я. Бернулли, 
Г. Лопиталь, И. Ньютон, Г. Лейбниц, Л. Эйлер. Алгоритм решения задач об экстремуме функционала развил Ж. Лагранж 
(«Аналитическая механика», 1788 г.).

Как отмечалось ранее, П. Ферма сформулировал принцип 

геометрической оптики, согласно которому лучи света распространяются по кратчайшему пути. Ферма писал, что «природа действует наиболее легким и доступным путем», «если 
в природе происходит какое-то изменение, то необходимая 
для этого изменения мера действия является минимальной».

Развитие вариационного исчисления и вариационных 

принципов механики связано с работой Ж. Лагранжа «Аналитическая механика». Глубокое исследование вариационных 
принципов механики связано с Гамильтоном (принцип Гамильтона, принцип Гамильтона — Остроградского). Гамильтон 
развил и обосновал интегральный вариационный принцип

 
(
)

2

1

t

t

S
dt
=
−
∫ T
П
,

где S — действие, Т — кинетическая энергия, П – потенциальная энергия. В истинном движении действие по Гамильтону достигает стационарного значения в сравнении с его 
значениями на всех близких движениях. Принцип действия 
в математическом виде является функционалом.

Бохонский А.И., Варминская Н.И., Мозолевская Т.В.

Функционал — отображение произвольного множества 

во множество чисел. В вариационном исчислении функционал — переменная величина, зависящая от функций. Простейший функционал представляет собой определенный интеграл вида

 
(
)

2

1

, ( ),
( )

x

x

J
F x y x
y x
dx
=
′
∫
,

который в данном случае зависит от y(x) и ее производной 

( )
y x
′
. В вариационном исчислении функция y(x) доставляет 

экстремум функционалу J, если она удовлетворяет дифференциальному уравнению Эйлера (является решением этого уравнения):

 
0.
F
d
F
y
dx
y
∂
∂
−
=
∂
∂ ′

Экстремаль y(x) в данном случае проходит через две точки: 

1
1
2
2
(
)
,
(
)
y x
y
y x
y
=
=
. Если же функционал зависит от не
скольких функций

 
(
)

2

1

1
1
,
,...,
,
,...,
,

x

n
n

x

J
F x y
y
y
y dx
=
′
′
∫

то такие функции, доставляющие экстремум функционалу, находятся из системы n уравнений Эйлера:

 

1
1

0,...,
0.

n
n

F
d
F
F
d
F
y
dx
y
y
dx
y
∂
∂
∂
∂
−
=
−
=
∂
∂
∂
∂
′
′

Прямые методы вариационного исчисления связаны 

со сведением задачи отыскания экстремума функционала 
к задаче отыскания экстремума функций многих переменных. 
Метод Ритца решения задач вариационного исчисления основывается на минимизации функционала на конечномерных 
функциональных пространствах. Как отмечалось во введении, 
вариационные методы применяются в теории оптимального 
управления при решении актуальных задач современной техники.