Анализ и компьютерное моделирование явлений взаимоиндуктивности и резонанса (от простого к сложному)

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
Ф.Э. ЛАППИ, Ю.Б. ЕФИМОВА, П.В. МОРОЗОВ  
 
 
АНАЛИЗ  
И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ЯВЛЕНИЙ ВЗАИМОИНДУКТИВНОСТИ 
И РЕЗОНАНСА 
(от простого к сложному) 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 621.3.011.7:004.94(075.8) 
Л 245 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор. В.Ю. Нейман, 
канд. техн. наук, доцент Ю.В. Морозов 
 
 
Работа подготовлена на кафедре ТОЭ 
для студентов факультета мехатроники и автоматизации 
 
 
 
Лаппи Ф.Э. 
Л 245  
Анализ и компьютерное моделирование явлений взаимоиндуктивности и резонанса (от простого к сложному): учебное пособие / Ф.Э. Лаппи, Ю.Б. Ефимова, П.В. Морозов. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 88 с.  

ISBN 978-5-7782-3914-2 

Рассматриваются основные понятия, методы анализа цепей с взаимной индуктивностью, а также резонансные режимы.  
Во многих электротехнических устройствах используются явление 
взаимной индукции и резонансные режимы. Освоение особенностей 
расчета таких цепей имеет важное значение для формирования навыков анализа электротехнических устройств.  
Показано применение компьютера для расчета и схемотехнического моделирования данных цепей, что является важным при дальнейшем анализе различных процессов в электрических и электронных 
цепях практически любой сложности.  
Пособие будет полезно для студентов, желающих закрепить знания, полученные при анализе цепей синусоидального тока, и создать 
базу прочных навыков для дальнейшего анализа сложных электрических и электронных цепей. 
 
УДК 621.3.011.7:004.94(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3914-2 
© Лаппи Ф.Э., Ефимова Ю.Б., 
 
Морозов П.В., 2019 
 
© Новосибирский государственный  
 
технический университет, 2019 

 
 
 
 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
В курсе теоретических основ электротехники изучаются принципы 
работы и анализа различных режимов работы электрических цепей. 
Современные электрические цепи представляют собой совокупность 
электротехнических устройств, усложнение которых в связи с развитием техники существенно увеличило трудности аналитических расчетов 
электрической цепи. Расчет и анализ таких цепей предполагает широкое использование пакетов прикладных программ как для расчета их 
параметров, так и для схемотехнического моделирования, при этом 
требует от пользователя определенного объема знаний в области теории электрических цепей.  

Цель настоящего учебного пособия – помочь студентам освоить 

основные понятия, приемы и методы анализа линейных электрических 
цепей синусоидального тока в резонансных режимах, в том числе содержащих и взаимную индуктивность. 
Основными потребляющими элементами электрической цепи синусоидального тока являются резисторы, катушки индуктивности и 
конденсаторы, а также взаимная индуктивность, а цепей постоянного 
тока – резисторы. В рамках настоящего пособия рассматриваются линейные элементы.  
Основными типами источников являются источники тока и электродвижущей силы (ЭДС), изменяющиеся во времени по синусоидальному 
закону, что увеличивает сложность анализа и расчета, однако все знания 
и навыки, приобретенные при изучении цепей постоянного тока, могут 
быть применимы при изучении цепей синусоидального тока, включая 
сложные режимы работы, описываемые в настоящем пособии, так как 
работа цепей синусоидального тока описывается системами уравнений, 
составленных на основании изученных ранее законов Кирхгофа.  
Пособие разбито на разделы и содержит краткие теоретические 
сведения, примеры аналитических расчетов на основании фундаментальных физических законов. 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ  
И ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА  
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ  
С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ 

1.1. Физические понятия, величины и элементы цепи 

В настоящем пособии рассматриваются электрические цепи синусоидального тока, содержащие взаимную индуктивность, т. е. цепи, 
токи и напряжения в которых изменяются во времени по синусоидаль
ному закону  
 


sin
m
i
dq t
i t
I
t
dt


  
 и имеют при этом как мини
мум две катушки индуктивности с влияющими друг на друга магнитными полями. Основные физические понятия и величины, используемые при анализе цепей с взаимной индуктивностью, а также их элементы приведены в табл. 1 и 2.  
Т а б л и ц а  1 

Основные физические понятия и величины 

Обозначение 
Понятие 
Единица 
измерения 
Главная 
формула 

q 
Электрический заряд
Кулон (Кл)

Ψ 
Потокосцепление 
Вебер (Вб) 
 

i 
Электрический ток 
Ампер (А) 
dq
i
dt

 

φ  
Электрический потенциал 
Вольт (В) 
 

u 
Напряжение (разность потенциалов двух точек) 
Вольт (В) 
12
1
2
u
     

p 
Мгновенная мощность 
Ватт (Вт) 
р
ui


Т а б л и ц а  2 

Элементы электрических цепей с взаимной индуктивностью 

№ 
п/п 
Название  
элемента 
Изображение  
элемента 
Основная  
характеристика 

1 
Резистор 

 
 

2 
Конденсатор 
 
 

dq
du
i
C
dt
dt


 

 

 
1
u
idt
C


 

3 
Катушка  
индуктивности 

d
di
u
L
dt
dt



 

 

 

1
i
udt
L


 

 

4 
Две индуктивно 
связанные катушки

 

1
1 1
12 2
L i
M
i
 

 

2
2 2
12 1
L i
M
i



 
«  » для согласного 
включения, 
«  » для встречного 
включения 

1i

12
u

1L

2i

2
L

1
2

3
4

34
u

12
Ì

2
1
i

u

C

q

q


u

1u

i
1i

u
Ri


1q

u
1u

q
Cu


i
1i

Li
 



1

2
1
i

u

L

R

2
1
i

u

q

О к о н ч а н и е  т а б л . 2 

№ 
п/п 
Название  
элемента 
Изображение  
элемента 
Основная  
характеристика 

5 
Источник  
электродвижущей 
силы (ЭДС) 

0

0

( )
sin
(
)

sin(
)

m

m

e t
E
t
t

E
t


 



  
 

 

 

 

 

6 
Источник тока 

0

0

( )
sin
(
)

sin(
)

m

m

J t
J
t
t

J
t







  
 

 

 

 

 

 
Явление взаимной индуктивности основано на взаимодействии 
магнитных потоков, создаваемых токами в катушках индуктивности. 
Эти потоки могут усиливать или ослаблять друг друга. Данным обстоятельством объясняется наличие двух знаков в выражении для потокосцепления   (табл. 2, п. 4).  

1.2. Разметка одноименных зажимов  
катушек индуктивности 

Выбор знака для учета магнитной связи в выражении для потоко
сцепления   (табл. 2, п. 4) зависит от направлений токов в катушках 
индуктивности относительно одноименных зажимов. Под одноимен
( )
e t

2

( )
i t

( )
( )
u t
e t


t

0t

T

e

m
E

J

t

0t

T

m
J

2

1

( )
J t

( )
( )
i t
J t


( )
u t

1

ными зажимами понимают такие два зажима катушек индуктивности, 
относительно которых одинаковое направление токов вызывает одинаковое направление потоков. Тогда если оба тока втекают (или оба вытекают) через одноименные зажимы индуктивно связанных катушек, 
то к собственному потокосцеплению каждой катушки 
1
1 1
L
L i


, 

2
2 2
L
L i


 добавляется потокосцепление 
M

 от тока в другой катуш
ке: 
1
1 1
12 2
L i
M
i
 

 и 
2
2 2
12 1
L i
M
i
 

, и такое включение называет
ся согласным (знак «  » в табл. 2, п. 4). 
Таким образом, анализ цепей с взаимной индуктивностью предполагает предварительную разметку одноименных зажимов и определение включения. Одноименные зажимы обозначают одинаковым значком: 
, 
, 
 или 
. 
 
Пример 1. Определить одноименные зажимы двух катушек индук
тивности, изображенных на рис. 1. 

 
Рис. 1. Разметка одноименных зажимов  
для двух катушек индуктивности 

Для определения одноименных зажимов двух катушек выполняют 
ряд действий в следующей последовательности. 
1. Выбирают произвольно направления токов. 
2. У одной катушки (например, левой) ставят значок одноименного 
зажима (
) произвольно (например, вверху). 
3. Используя правило правого буравчика (или правило правой руки), определяют направление магнитного потока 
1
 , создаваемого 
левой катушкой. 
4. Используя правило правого буравчика (или правило правой руки), определяют направление магнитного потока 
2
 , создаваемого 
правой катушкой.  

1i
2i

1
Ф
2
Ф

5. Так как магнитные потоки при выбранных направлениях токов 
по сердечнику магнитопровода направлены навстречу друг другу 
(встречное включение), то значок одноименного зажима (
) у второй 
катушки надо обозначить внизу. Тогда если ток 2i  будет втекать через 
нижний зажим, то направления магнитных потоков 
1
  и 
2
 совпадут.  
Если в цепи присутствует несколько катушек индуктивности с взаимной индуктивностью, то обычно делают разметку одноименных зажимов отдельно для каждой пары катушек. На рис. 2 показана такая 
разметка для трех катушек индуктивности. 
 

 
Рис. 2. Разметка одноименных зажимов для трех  
катушек индуктивности 

1.3. Задания № 1–3 для самостоятельного решения 

Задание № 1. (Класс сложности 3). Определить одноименные зажимы двух катушек индуктивности, изображенных на рис. 3. 

Ответы: приложение, ответы к заданиям № 1–20. 
 

 
Рис. 3. Макет расположения двух катушек  
индуктивности для задания № 1 

Задание № 2. (Класс сложности 4). Определить одноименные зажимы двух катушек индуктивности, изображенных на рис. 4.  

Ответы: приложение, ответы к заданиям № 1–20. 

1i
3i

2i
1кат
2кат
3кат

2
Ф

1i
2i

1кат.
2 кат.

1
Ф
3
Ф

Рис. 4. Макет расположения трех катушек  
индуктивности для задания № 2 

Задание № 3. (Класс сложности 5). Определить одноименные за
жимы трех катушек индуктивности, изображенных на рис. 5.  

Ответы: приложение, ответы к заданиям № 1–20. 
 

 
Рис. 5. Макет расположения трех катушек  
индуктивности для задания № 3 

1.4. Особенности записи законов Кирхгофа в цепях  
с взаимной индуктивностью 

В записи первого закона Кирхгофа особенностей нет. При записи 
второго закона Кирхгофа в цепях с взаимной индуктивностью необходимо учитывать, что потокосцепление каждой катушки зависит не 
только от величины собственного тока, но и от величины и направления тока в другой катушке (табл. 2, п. 4). При этом следует пользоваться следующим мнемоническим правилом (рис. 6). 
 

 
Рис. 6. Мнемоническое правило записи напряжения взаимной  
индуктивности 

1кат.
2кат.
3кат.

1i
2i
3i

1 кат.
2 кат.
3 кат.

M

1L

2i
1i

направление обхода

2 катушка
1 катушка

2
1 
M
di
u
M dt

2
L

Ток 
2i  за счет взаимной индуктивности M создает напряжение 

1
2
M
di
u
M dt
 
 на зажимах 1-й катушки индуктивности. Для выбора 

знака этого напряжения сравнивают направление обхода 1-й катушки 
индуктивности и направление тока во 2-й катушке. На рис. 6 направление обхода 1-й катушки и ток во 2-й катушке одинаковы: из одноименного зажима (
) в катушку. Поэтому напряжение 
1
M
u
 следует 

записать со знаком «  ».  
 
Пример 2. Записать уравнения по законам Кирхгофа для мгновен
ных значений в конструкции, изображенной на рис. 7.  

Разметка одноименных зажимов, приведенная на рис. 7, выполнена 

по макету рис. 3 и является ответом к заданию № 1. 
 
 
 

1u
2
u
2i
1i
 

Рис. 7. Макет расположения двух катушек  
индуктивности для примера 2 

Изображенному на рис. 7 макету соответствует электрическая схе
ма рис. 8. В данной схеме два контура, следовательно, можно записать 
два уравнения по второму закону Кирхгофа. Используя мнемоническое 
правило рис. 6, получим 
 

1
2
1
1

2
1
2
2

;

.

di
di
L
M
u
dt
dt

di
di
L
M
u
dt
dt








